Распределение напряжений в массиве грунта. Тема № 4

1. Тема № 4: Распределение напряжений в массиве грунта

1) Действие сосредоточенной силы (Задача Буссинеска)
– является основной задачей в теории распределения
напряжений в грунтах (1885 г.).
N
О
Y
R
β
r
1
Z
z
3 N z3
z 5
2 R
N
z K 2
z
(4.1)
(4.2)
M
где K - табличный коэффициент,
зависящий от соотношения r/z.

2.

2) Действие нескольких сосредоточенных сил
N1
N2
N3
Nn
z
M
r3
r2
r1
z K 1
rn
Если
к
поверхности
однородного линейно-деформируемого
полупространства
приложено несколько сосредоточенных сил (N1, N2, N3….. Nn),
то напряжение в любой точке
грунтового массива определяется простым суммированием напряжений от действия
всех сил:
Nn
N1
N2
K 2 2 ... K n 2
2
z
z
z
(4.3)
где K 1, K 2… K n - табличные коэффициенты, зависящие от
2
соотношений ri / z.

3.

3) Действие любой распределенной нагрузки
Для определения сжимающих
напряжений z используют способ
Y
элементарного суммирования:
площадь
загрузки
делят
на
Ri
небольшие элементы и нагрузку
z
M
li
прикладывают в центре тяжести
каждого элемента как сосредоточенную.
bi
n
Ni
z K i 2
M
(4.4)
z
i 1
ri
где K I – коэффициент, определяемый
по таблице в зависимости от
отношения ri /z
При Ri > 2li погрешность определения напряжений будет
составлять около 6% (в сторону увеличения напряжений);
Ni
при Ri > 3li – 3%; при Ri > 4li – не более 2%.
3

4.

4) Действие равномерно распределенной нагрузки
по круглым и прямоугольным площадкам
Р
Впервые решение этой задачи в
1935 году получил профессор А. Ляв:
Y
z
M Z
b
C
O
X l
zc
Y
P l b z l 2 b 2 2z 2
l b
2 2
arcsin
2
2
2
2
D l b D 2 z 2
l z b z
(4.5)
2
D
где D – детерминант; l 2 b 2 z 2
2
Под центром прямоугольной
круглой площадки загружения:
zo 0 P
или
(4.6)
Под углом прямоугольной или краем круглой площади загружения:
zс 0,25 с P
(4.7)
z l
c f ;
b b
(4.9)
где z0 и zc – табличные коэффициенты (СНиП 2.02.01-83*):
2z l
0 f ;
b b
(4.8)
4

5.

4.5 Метод угловых точек
Сущность метода заключается в том, что грузовая
площадь разбивается на такие прямоугольники, в которых
рассматриваемая точка оказалась бы угловой.
Сжимающее напряжение z в этой точке будет равно
сумме напряжений от прямоугольных площадей загрузки,
для которых эта точка является угловой.
Рассмотрим три основных случая:
I Точка М находится на контуре загруженного
прямоугольника:
I
M
z zI zII 0,25( I II )P (4.10)
II
5

6.

II Точка М находится внутри прямоугольника:
I
M
IV
0,25( ) P
II
z
III
zI
zII
I
zIII
II
III
zIV
(4.11)
IV
III Точка М находится за пределами прямоугольника:
z 0,25( I II III IV ) P
III
I
(4.12)
M
II
IV
z 0,25( I II III IV ) P
III
I
II
M
IV
(4.13)
6

7.

4.6 Действие равномерно распределенной
полосовой нагрузки (плоская задача)
Условия плоской задачи будут иметь место в том случае,
когда напряжения распределяются в одной плоскости, а в
перпендикулярном направлении они либо постоянные, либо
равны нулю.
Дорожная насыпь
Ленточный фундамент
0
x
l
y
z
y
l
Напряженное состояние в массиве будет определяться
тремя составляющими: нормальными напряжениями z, y и
7
касательными напряжениями .

8.

Выражения для этих напряжений получены на основе
решения Фламана (1892 г.) для сосредоточенной силы в
условиях плоской деформации.
dy
b
Р
y
R
y
z
М
0
dP
β
z
- угол видимости;
R – расстояние от
начала координат до
рассматриваемой
точки;
β – угол между радиусом и осью z.
P
z sin cos 2
P
y sin cos 2
P
sin sin 2
(4.14)
z K z P
y K y P
K yz P
(4.15)
где Kz, Ky, Kyz – коэффициенты
влияния, определяемые по таблице в
зависимости от относительных
8
координат z/b и y/b.

9.

Напряженное состояние в грунтовом массиве в случае
плоской задачи может также определяться через главные
напряжения (Митчел, 1902).
Главные – это наибольшие и наименьшие
нормальные напряжения.
Главные напряжения будут возникать на площадках,
расположенных по вертикальной оси симметрии нагрузки
(при β=0), по биссектрисам углов видимости и площадках,
им перпендикулярным.
Главные напряжения можно вычислить из выражений
(4.14) подставляя в них угол β=0:
P
z sin
P
(4.16)
sin
y
0
9

10.

Эпюры распределения сжимающих напряжений z
по вертикальным (а) и горизонтальным (б)
сечениям массива грунта
10

11.

Линии равных напряжений в линейно-деформируемом
массиве при действии равномерно распределенной
полосовой нагрузки:
а – изобары ( z), б - распоры ( y) и в - сдвиги ( ).
11

12.

Эллипсы напряжений при действии равномерно
распределенной нагрузки в условиях плоской задачи
12

13.

4.7 Распределение напряжений от действия
собственного веса грунта
Напряжения от собственного веса грунта увеличиваются
с глубиной.
1) При однородном грунтовом
постоянном удельном весе грунта):
0
Эпюра zq
основании
zq z
(при
(4.17)
где = g – удельный вес грунта;
z – глубина заложения
рассматриваемой точки.
z, м
13

14.

2) Для грунтовой массы (полностью водонасыщенного
грунта):
0
zq z
(4.18)
Эпюра zq
z, м
где ’ = ’ g – удельный вес грунта с
учетом взвешивающего действия воды
(плотность с учетом взвешивающего
действия воды определяется по формуле
(2.16) - s w ).
1 e
3) При неоднородной грунтовой толщи:
0
h1
0
zq
I слой
h2
2 > 1
h1
n
zq
II слой h2
z, м
z, м
УГВ
zq i hi (4.19)
i 1
где I – удельный вес i-го
слоя грунта;
hi – толщина i-го слоя.
14