Похожие презентации:
Дифференциальные уравнения и ряды
1. Дифференциальные уравнения и ряды
Лекция 92.
Тема 3. Ряды§1. Числовые ряды: основные понятия
Рассмотрим числовую последовательность
а1, а2,…, аn,…={an}, где an − действительные или
комплексные числа.
Выражение вида
называется числовым рядом,
а1, а2, а3, … − члены ряда,
аn − общий член ряда.
2
3.
Сумма первых n членов ряда называется n-йчастичной суммой ряда и обозначается Sn, т.е.
Sn= а1+а2+…+аn.
Если последовательность частичных сумм ряда
имеет конечный предел S при n→∞, то ряд называется
сходящимся, число
называют суммой ряда.
Если
не существует или
то говорят,
что ряд расходится. Такой ряд суммы не имеет.
3
4.
Пример 1. Рассмотрим рядИсследуем ряд на сходимость по определению.
Если q 1, то члены ряда образуют геометрическую
прогрессию, поэтому сумма первых n членов
находится по формуле:
1. Если |q|<1, то qn→0 при n→∞,
следовательно, ряд сходится и его сумма S=a/(1−q).
2. Если |q|>1, то qn→∞ при n→∞, поэтому
и ряд расходится.
4
5.
3. Если q = 1, то ряд примет вид: а + а + а +…В этом случае Sn= nа,
ряд расходится.
4. Если q = −1, то ряд примет вид: а − а + а −…
В этом случае Sn = 0 при четном n и Sn = а при
нечетном n, поэтому
не существует и ряд
расходится.
Таким образом, ряд
сходится при |q| < 1 и
расходится при |q| ≥ 1.
5
6.
Пример 2. Рассмотрим рядИсследуем ряд на сходимость по определению.
Сначала преобразуем общий член ряда
1
A(n 1) B(n 1)
A
B
an 2
2
n 1 n 1 n 1
n 1
A(n 1) B(n 1) 1.
A 1 2;
0
n : A B 1
B 1 2.
n1 : A B 0
1 1
1
Таким образом, an
.
2 n 1 n 1
6
7.
Составим n-ую частичную сумму ряда:n 1
1
1 n 1 1
1
Sn 2
2 k 2 k 1 k 1
k 2 k 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ...
2 3 2 4 3 5 4 6
k 3
k 4
k 5
k 2
1 1
1 1
1 1
1
1
n 3 n 1 n 2 n n 1 n 1 n n 2
k n 2
k n 1
k n
k n 1
1 1
1
1 3 1 1
1
1
.
2 2 n 1 n 2 4 2 n 1 n 2
7
8.
Таким образом, Sn 3 1 1 1 .4 2 n 1 n 2
Теперь вычисляем предел частичной суммы ряда
3 1 1
1 3
lim S n lim
.
n
n 4
2 n 1 n 2 4
0
0
Предел равен конечному числу, следовательно, данный
ряд сходится по определению и его сумма S = 3/4.
8
9.
Свойства числовых рядов1. Если ряд
сходится и его сумма равна S, то ряд
также сходится и
его сумма равна с·S.
2. Если ряды
сходятся и их суммы
соответственно равны Sа и Sb, то сходятся ряды
и их суммы соответственно равны Sа ± Sb.
9
10.
3. Если к рядуприбавить (или отбросить)
конечное число членов, то исходный ряд и
полученный ряд сходятся или расходятся
одновременно.
Ряд
называется n-м
остатком ряда. Он получается из ряда
отбрасывания n первых его членов.
путем
Из 3 свойства следует, что если исходный ряд
сходится, то при n→∞ его остаток стремится к нулю.
10
11.
§2. Признаки сходимости числовых рядовУстановить сходимость или расходимость ряда по
определению (путем вычисления
) во многих
случаях является непростой задачей. Поэтому для
выяснения сходимости ряда используют специальные
признаки сходимости.
11
12.
Теорема 1 (необходимый признак сходимости).Если ряд сходится, то предел его общего члена при
n → ∞ равен нулю.
Доказательство.
Пусть ряд
сходится.
Тогда, учитывая, что an = Sn−Sn −1, получим
Следствие (достаточное условие расходимости ряда).
Если предел n-го члена ряда отличен от нуля или
не существует, то ряд расходится.
12
13.
Замечание. Теорема 1 дает необходимое условиесходимости ряда, но не достаточное, т.е. если
то из этого не следует, что ряд сходится.
В качестве примера (1) рассмотрим ряд
называемый гармоническим.
Здесь
Однако этот ряд является расходящимся (докажем это).
Запишем сумму первых 2n и n членов ряда:
13
14.
Найдем разностьв которой
каждое слагаемое заменим наименьшим, равным 1/(2n).
Получим
Теперь предположим, что ряд сходится, тогда
Переходя к пределу в неравенстве, получим, что
S − S > 1/2, или 0 > 1/2.
Пришли к противоречию, следовательно
предположение о сходимости ряда неверно, т.е.
гармонический ряд расходится.
14
15.
Пример 2. Записать общий член ряда1
2
3
1 1 1
1 1 1 ..., указать краткую запись
1 2 3
для ряда и исследовать его на сходимость.
Решение.
На основании первых трех элементов определяем
n
1
закономерность и видим, что an 1 .
n
n
1
Поэтому в краткой записи ряд имеет вид: 1 .
n
n 1
Вычислим предел общего члена ряда:
n
1
lim an lim 1 e 0.
n
n
n
15
16.
Общий член ряда не стремится к 0, следовательно, подостаточному условию расходимости, данный ряд
расходится.
Замечания
1. Предел вычислен на основании второго
замечательного предела.
2. Достаточное условие расходимости еще называют
критерием расходимости. Поэтому при решении задач
ответ можно формулировать в виде: ряд расходится по
критерию расходимости.
16
17.
Достаточные признаки сходимостиРассмотрим некоторые достаточные признаки
сходимости для знакоположительных рядов, т.е.
рядов с неотрицательными членами
(ряд с отрицательными членами превращается в
знакоположительный путем умножения на (−1), что,
согласно свойствам рядов, не влияет на сходимость
ряда).
17
18.
Теорема 2 (признак сравнения).Пусть даны два ряда
.
Если для всех n выполняется неравенство an ≤ bn,
то из сходимости ряда
из расходимости ряда
следует сходимость ряда
следует
расходимость ряда
(Суть признака: из сходимости большего ряда следует
сходимость меньшего ряда, а из расходимости
меньшего ряда следует расходимость большего ряда.)
18
19.
Пример 3. Исследовать сходимость рядаРешение.
Очевидно, что lim an 0. Поэтому ряд может как
n
сходиться, так и расходиться.
Рассмотрим гармонический ряд 1 , который
n 1 n
расходится (см. пример 1).
1
1
Обозначим an
, bn и сравним an и bn:
n
n
n 3
1
1
n
n : 3 1
an bn .
n
n
n 3
В этом случае теорема 2 не применима, т.к. из
расходимости большего ряда не следует расходимость
меньшего ряда. И нужно искать другой ряд для сравнения.
19
20.
1Рассмотрим степенной ряд n , который сходится
n 1 3
(см. §1, пример 1).
Обозначим bn 1n и сравним an и bn:
3
1
1
n 1:
n an bn .
n
n 3
3
1
Следовательно, по признаку сравнения ряд n
n 1 n 3
тоже сходится.
20
21.
Теорема 3 (предельный признак сравнения).Если
– ряды с положительными
членами и существует конечный, отличный от нуля
предел
то ряды одновременно сходятся или
расходятся.
Замечание. Здесь важно, что k 0 и k .
Если при вычислении предела возникает одно из этих
значений, значит, нужно либо подбирать другой ряд
для сравнения, либо использовать другой признак
сходимости.
21
22.
Пример 4. Исследовать сходимость рядаРешение.
lim
a
0
Очевидно, что
и an sin
при n .
n
n
2n
2n
Поэтому
для сравнения возьмем гармонический ряд
1
и используем предельный признак сравнения:
n 1
n
an
1
lim
lim sin
lim n k .
n b
n
2n n n 2n 2
n
Значение k конечное и не нулевое, поэтому, по
предельному признаку сравнения, оба ряда ведут себя
одинаково.
Т.к. гармонический ряд расходится, то и данный ряд
22
расходится.
23.
Теорема 4 (признак Даламбера).Пусть для ряда
с положительными членами
существует предел
Тогда ряд сходится при k < 1 и расходится при k > 1.
Замечание
При k = 1 признак Даламбера ответа о сходимости не
дает. Нужно применить другой признак.
23
24.
Пример 5. Исследовать сходимость рядаРешение.
Здесь сложно оценить предел общего члена ряда, поэтому
используем достаточный признак сходимости.
nn
(n 1) n 1
, тогда an 1
.
По условию an
(n 1)!
(n 2)!
Воспользуемся признаком Даламбера:
(n 1) n 1
(n 1) n (n 1) (n 1)!
an 1
nn
lim
lim
lim
n
n a
n
(n 2)! n
n
(n 2)! (n 1)! n
(n 2)! 1 2 3 ... ( n 1) ( n 2) ( n 1)! ( n 2)
n
n
(n 1) (n 1) (n 1)!
1 (n 1)
lim
1
lim
e 1.
n
n
n
(n 1)! (n 2)
n
n (n 2)
е
1
Следовательно, по признаку Даламбера, ряд расходится.
24
25.
Теорема 5 (радикальный признак Коши).Пусть для ряда
с положительными членами
существует предел
Тогда ряд сходится при k < 1 и расходится при k > 1.
Замечание
Как и в случае признака Даламбера, данный признак
при k = 1 ответа о сходимости не дает.
25
26.
Пример 6. Исследовать сходимость рядаРешение.
Исследуем по радикальному признаку Коши:
n
2
2
n
lim
0 1.
lim an lim n
n
n n 1
n
n ( n 1)
По радикальному признаку Коши, данный ряд сходится.
26
27.
Теорема 6 (интегральный признак Коши).Пусть члены знакоположительного ряда
являются значениями некоторой непрерывной
монотонно убывающей на промежутке [1; +∞)
функции f(x) так, что a1 = f(1), a2 = f(2),…, an = f(n),...
Тогда
1) если
сходится, то сходится и ряд
2) если
расходится, то и ряд
расходится.
27
28.
Пример 7. Доказать, что рядсходится при
> 1 и расходится при ≤ 1.
Доказательство.
Воспользуемся интегральным признаком Коши.
Составим
соответствующий несобственный интеграл I
1
рода dx и вычислим его.
1
x
Если 1, то
1
b
1 b
1
x
dx
lim
x
dx
lim
b
b 1
x
1
1
1
lim (b 1 1)
1 b
Таким образом, интеграл сходится при > 1 и
расходится при < 1.
28
29.
Рассмотрим случай когда = 1:1
b
b
1
1
dx lim dx lim ln x lim ln b
1
b x
b
b
x
1
интеграл расходится.
Согласно интегральному признаку Коши, из сходимости
интеграла следует сходимость ряда, а из расходимости –
расходимость ряда.
Поэтому ряд сходится при > 1 и расходится при ≤ 1.
Замечание.
Ряд вида
называют обобщенным гармоническим
рядом и часто используют в признаках сравнения.
29
30.
Задание для самоконтроляИсследовать сходимость ряда
,
используя интегральный признак Коши.
30