Многогранники и тела вращения

1. Многогранники

2.

ПРИЗМА
A2
(n-угольная) это многогранник, у которой
одна грань n-угольник, а
остальные n-граней –
ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ
A3
A1
An
An-1
Элементы призмы:
1.Грань
2.Ребро
3.Высота
4.Основание
5.Боковая
поверхность
.
H
B2
B3
O
B1
Bn
Bn-1
β

3.

Призма называется прямой, если……..
Призма называется правильной, если……..
Диагоналями призмы называются отрезки, соединяющие..
Диагональными сечениями призмы
называются сечения, проходящие…
A3
A2
A1
An
An-1
B3
B2
B1
Bn
Bn-1

4. Площадь поверхности призмы

Площади
оснований
Площадь боковой
поверхности
S ПОЛН S БОК 2 SОСН
V= Sосн H

5. Площадь боковой поверхности призмы

Sбок Pосн h
Sбок Pсеч l

6.

Параллелепипед - это призма, основание
является ПАРАЛЛЕЛОГРАМОМ.
Параллелепипед называется прямым, если…
Параллелепипед называется прямоугольным, если…
которой

7.

ПИРАМИДА
(n-угольная) -
S
это многогранник, у которой
одна грань n-угольник, а
остальные n-граней –
треугольники.
H
Элементы пирамиды:
1.Грань
2.Ребро
3.Высота
4. Апофема
5.Основание
6.Боковая поверхность
A2
A3
O
A1
An
An-1

8.

• ПРАВИЛЬНАЯ
ПИРАМИДА (n-угольная)
это пирамида, основание
которой – правильный
n-угольник, а все
вершина проектируется в
центр основания.
Апофема – высота боковой
грани правильной
пирамиды, проведенная
из её вершины.
S
A2
A3
A1
An
An-1

9. Площадь поверхности пирамиды

Площадь
основания
Площадь боковой
поверхности
S ПОЛН S БОК SОСН
V= 1/3 Sосн H

10. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

S БОК
1
Pl
2

11.

Усеченная пирамида –
многогранник, основаниями
которого являются подобные nугольники, расположенные в
параллельных плоскостях, а
боковые грани – трапеции.
,

12. Площадь поверхности усеченной пирамиды

Площадь полной Площадь боковой
поверхности
поверхности
(Сумма площадей всех граней)
(Сумма площадей боковых
граней)
Sполн = Sбок +Sосн1+Sосн2
V= 1/3 H (Sосн1+Sосн2+√Sосн1Sосн1)

13. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

Sбок =1/2 (Росн1+Росн2) l

14. Тела вращения

15.

16.

Sсферы
Сфера.
=4 R2
O – центр сферы
R – радиус сферы
F
h
O

17.

18.

Vø àðà
Шар.
4
3
R
3
O – центр шара
R – радиус шара
F
h
O

19.

O

20.

21.

Цилиндр.
Ось
вращения
Элементы цилиндра:
H – высота цилиндра
R – радиус основания
Сечение цилиндра
плоскостью,
параллельной оси прямоугольник
L – образующая цилиндра
H
L
Осевое сечение –
прямоугольник
R
Сечение цилиндра плоскостью,
перпендикулярной оси - круг

22.

Формулы для вычисления площади поверхности и объема цилиндра:
x
x [0;H]
x
H
2 R
x
H
0
H
Sбок.=2 RH
x
0
Sполн.=2Sосн.+Sбок.=2 R2+2 RH
Vцил.= R2H
Sосн.= R2

23.

Конус.
Ось
вращения
Элементы конуса:
H – высота конуса
R – радиус основания
L – образующая конуса
Сечением конуса плоскостью,
перпендикулярной
высоте
(параллельной
основанию)
является круг.
H
L
R
Осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник
r
– радиус сечения.

24.

Формулы для вычисления площади поверхности и объема конуса:
L
Sосн.= R2
R
Sпов.=Sбок.+Sосн.= RL+ R2= R(L+R)
1
1 2
V Sî ñí . H R H
3
3

25.

Усеченный конус.
H – высота усеченного конуса
R и r – радиусы оснований
L – образующая усеченного конуса
r
L
Осевое сечение –
равнобокая трапеция
H
R
Sбок.= (R+r)L
Sполн.= (R+r)L+ R2+ r2
1
V H R 2 Rr r 2
3

26. Равносторонний треугольник

В
АВ=ВС=AС
A B C 60
m
h
h= m=l
l
А
С
M
a2 3
S
4
a 3
h
2
a
R
3
r
a
2 3

27. Равнобедренный треугольник

В
АВ=ВС
A B
m
h
hс= mс=lс
l
А
С
M

28. Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
c a b
2
В
2
c
а
С
2
b
А
a
sin ;
c
b
сos ;
c
tg
a
b

29. Произвольный треугольник

Площадь треугольника:
1
S ah
2
S
S
1
ab sin
2
p( p a)( p b)( p c) ,
abc
S
4R
p
a b c
2
S pr
a
h
b
c

30. Квадрат

S a
a
r
2
2
2
d
S
2
d
R
2
d
a
d a 2

31. Параллелограмм

S ah S ab sin
d1d 2 sin
S
2
d12 d 22 a 2 b 2 c 2 d 2
d1
h
a
d2
b

32. Ромб

S ah S a sin
2
d1
h
d2
a
b
d1d 2
S
2
h
r
2

33. Трапеция

a b
d1d 2 sin
S
h S
2
2
a b
MN
2
M
b
d1
h
N
d2
a