Теорема Гаусса

1.

• Изучить предложенный материал по теме
«Теорема гаусса и ее применение для
расчета электрических полей».
• Составить вопросы по данной теме.
Прислать по адресу [email protected]
1

2.

Теорема Гаусса (закон Гаусса) — один из
основных законов электродинамики, входит в
систему уравнений Максвелла.
Выражает связь (а именно равенство с
точностью до постоянного коэффициента)
между потоком напряжённости электрического
поля сквозь замкнутую поверхность и зарядом в
объёме, ограниченном этой поверхностью.
Применяется отдельно для вычисления
электростатических полей.
2

3.

Закон Гаусса
Суммарный электрический поток через
произвольную замкнутую поверхность
qвнутри
E E dA
0
qin – суммарный заряд внутри поверхности,
E
– напряженность электрического поля
в произвольной точке на поверхности.
E учитывает вклады зарядов как внутри, так и вне поверхности.
3

4.

Применение закона Гаусса
для различных распределений заряда
Применение закона Гаусса – альтернативная процедура расчета электрических полей.
Закон Гаусса - фундаментальная электростатическая сила,
действующая между точечными зарядами,
обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
Закон Гаусса удобен для расчета электрических полей
высокосимметричных распределений зарядов.
4

5.

Применение закона Гаусса
для различных распределений заряда
Электрическое поле изолированного точечного заряда
Сферическая симметрия пространства вокруг точечного заряда –
сферическая поверхность Гаусса.
Поверхность
Гаусса
E
E dA
EdA
q
0
2
EdA
E
dA
E
4
r
E
q
4 0 r 2
ke
q
0
q
r2
Полученный результат эквивалентен результату,
полученному с помощью закона Кулона.
5

6.

Применение закона Гаусса
для различных распределений заряда
Сферически симметричное распределение заряда
r
Непроводящий твердый шар радиуса a заряжен с
однородной объемной плотностью заряда и несет
суммарный положительный заряд Q
r > a:
Сферическая симметрия – сферическая поверхность
Гаусса радиуса r вне шара и концентрическая с ним.
Gaussian
Поверхность
Гаусса
sphere
E ke
Q
r2
Однородно заряженная сфера - электрическое поле вне сферы
эквивалентно полю, создаваемому точечным зарядом,
расположенным в центре сферы.
6

7.

Применение закона Гаусса
для различных распределений заряда
Сферически симметричное распределение заряда
Поверхность
Гаусса
Непроводящий твердый шар радиуса a заряжен с
однородной объемной плотностью заряда и несет
суммарный положительный заряд Q
r < a:
Сферическая симметрия – сферическая поверхность
Гаусса радиуса r внутри шара и концентрическая с ним.
В любой точке поверхности Гаусса E Ai и E = const.
EdA E dA E 4 r
2
4
qвнутри
3
r
E
4 0 r 2
4 0 r 2
3 0
r 3
qвнутри
0
qвнутри
4 3
Q / a
3
4 3
V r
3
E
Qr
4 0 a
3
ke
Q
a
3
r
7

8.

Применение закона Гаусса
для различных распределений заряда
Сферически симметричное распределение заряда
Непроводящий твердый шар радиуса a заряжен с однородной объемной
плотностью заряда и несет суммарный положительный заряд Q
r>a
Q
Q
E lim ke 2 ke 2
r a
a
r
r<a
Q
Q
Q
E lim ke 3 r ke 3 a ke 2
r a
a
a
a
8

9.

Применение закона Гаусса
для различных распределений заряда
Сферически симметричное распределение заряда
Напряженность электрического поля, создаваемого тонким сферическим слоем
(радиус a, общий заряд Q однородно распределен по поверхности слоя)
Вне слоя
Поверхность
Гаусса
r>a
E ke
Q
r2
Напряженность электрического
поля вне слоя аналогична той, что
создается точечным зарядом Q,
расположенным в центре шара,
которому принадлежит слой.
9

10.

Применение закона Гаусса
для различных распределений заряда
Сферически симметричное распределение заряда
Напряженность электрического поля, создаваемого тонким сферическим слоем
(радиус a, общий заряд Q однородно распределен по поверхности слоя)
Внутри слоя
Поверхность
Гаусса
r<a
E 0
10

11.

Применение закона Гаусса
для различных распределений заряда
Сферически симметричное распределение заряда
Напряженность электрического поля, создаваемого тонким сферическим слоем
(радиус a, общий заряд Q однородно распределен по поверхности слоя)
Евнутри = 0
Защита электронных
устройств
от воздействия внешних
электрических полей
11

12.

Применение закона Гаусса
для различных распределений заряда
Цилиндрическая симметрия в распределении заряда
Электрическое поле, создаваемое положительно заряженным линейным проводником
бесконечной длины с постоянной плотностью заряда на единицу длины.
Цилиндрическая симметрия пространства вокруг
линейного заряда – цилиндрическая поверхность Гаусса.
Поверхность
Гаусса
В любой точке поверхности Гаусса
E dA и E = const.
Вид сверху
12

13.

Применение закона Гаусса
для различных распределений заряда
Цилиндрическая симметрия в распределении заряда
Электрическое поле, создаваемое положительно заряженным линейным проводником
бесконечной длины с постоянной плотностью заряда на единицу длины.
Суммарный заряд внутри поверхности Гаусса равен l.
Поверхность
Гаусса
qвнутри l
E E dA E dA EA
0
A 2 rl
E 2 rl
E
2ke
2 0r
r
0
l
0
1
E
r
13

14.

Применение закона Гаусса
для различных распределений заряда
Плоскосимметричное распределение заряда
Электрическое поле, создаваемое положительно заряженной плоскостью с
однородной поверхностной плотностью заряда
Плоская симметрия пространства вокруг линейного заряда –
поверхность Гаусса - маленький цилиндр.
В любой точке поверхности Гаусса
E dA и E = const.
Боковая поверхность цилиндра не пересекается
силовыми линиями электрического поля.
Общий заряд внутри поверхности Гаусса равен qвнутри = A.
Поверхность
Гаусса
Общий поток
E 2 EA
E
2 0
qвнутри
0
A
.
0
E - const
14

15.

Электрический потенциал
15

16.

Разность потенциалов и электрический потенциал
Работа электрического поля F ds q0 E ds
d s - бесконечно малый вектор перемещения, касательный к направлению последнего.
Потенциальная энергия системы “заряд-поле” изменяется на величину
dU q0 E ds
A B
U U B U A
B
U q0
E ds
A
Величина этого линейного интеграла не зависит от траектории перемещения
заряда из точки A в точку B, поскольку электрическая сила консервативна.
16

17.

Разность потенциалов и электрический потенциал
Электрический потенциал V = U/q0 в любой точке электрического поля
не зависит от величины q0.
Изменение потенциальной энергии системы U U B U A
Разность потенциалов V VB VA
B
U
V
E ds
q0
A
Работа, выполненная внешней силой без
W U
изменения кинетической энергии пробного заряда,
W q V
Единица измерения электрического потенциала в СИ: [В] = 1 В 1 Дж/Кл
1 эВ = 1.60 × 10-19 Кл В = 1.60 × 10-19 Дж
17

18.

Разность потенциалов в однородном электрическом поле
s d
E const
s силовые линии
B
B
VB VA V E d s E cos 0 ds Eds Ed
B
A
A
V 0
A
VB V A
Силовые линии электрического поля
всегда направлены в направлении
уменьшения электрического потенциала.
18

19.

Разность потенциалов в однородном электрическом поле
q0 const
A B
U q0 V q0 Ed
Если q0 0, то U 0.
Система “положительный заряд – электрическое поле”:
потенциальная энергия убывает, а заряженная частица
приобретает кинетическую энергию, если заряд
движется в направлении поля.
Ситуация аналогична той, в которой работа
выполняется гравитационным
полем над падающим объектом.
Система “отрицательный заряд - электрическое поле”:
потенциальная энергия увеличивается, если заряд движется в направлении поля.
19

20.

Разность потенциалов в однородном электрическом поле
Более общий случай:
s силовые линии
B
B
V E d s E d s E s
A
A
U q0 V q0 E s
V 0, если E s
VB VA VC VA
VB VC
Эквипотенциальная поверхность - произвольная поверхность,
состоящая из непрерывного распределения точек с одним и тем же
электрическим потенциалом.
20

21.

Электрический потенциал точечных зарядов
VB VA E d s
B
не зависит от траектории движения между точками A и B
A
E ds не зависит от траектории движения между точками A и B
B
A
B
q0 E d s
Работа, совершенная электрической
силой, не зависит от пути между A и B
A
Электрическая сила
консервативна
Электрическое поле
неподвижного точечного
заряда консервативно
21

22.

1 1
VB V A k e q
rB rA
Если V 0 в rA
V ke
q
r
Electric potential
(V)
потенциал(V)
Электрический
Электрический потенциал точечных зарядов
A single
positive charge заряд
Изолированный
положительный
22

23.

Потенциальная энергия точечных зарядов
Потенциальная энергия
взаимодействия двух точечных зарядов
P
U ke
q1q2
r12
Последняя равна работе q1V2, которую необходимо
выполнить внешней силе, чтобы переместить заряд
q1 из бесконечности в точку P без ускорения.
V2 – электрический потенциал в точке P,
созданный зарядом q2.
Если q1 и q2 одного знака, то U > 0,
т.е. внешняя сила должна выполнить положительную
работу над системой, чтобы сблизить два заряда.
Если q1 and q2 противоположного знака, то U < 0,
т.е., внешняя сила должна выполнить отрицательную
работу над системой, чтобы предотвратить сближение
двух зарядов.
23

24.

Эквипотенциальные поверхности и
силовые линии электрического поля
Эквипотенциальные поверхности всегда должны быть
перпендикулярны силовым линиям электрического
поля и пересекать их.
Бесконечная заряженная плоскость
24

25.

Эквипотенциальные поверхности и
силовые линии электрического поля
E ds Er dr
Er
dV
dr
dV Er dr
V ke q/r
V f r
Точечный заряд
Потенциальное поле точечного заряда сферически симметрично.
25

26.

Эквипотенциальные поверхности и
силовые линии электрического поля
Электрический диполь
26

27.

Расчет электрического потенциала
I.
Принцип суперпозиции:
Электрический потенциал системы точечных зарядов равен
алгебраической (скалярной) сумме потенциалов точечных зарядов.
Электрический потенциал, создаваемый в произвольной точке P
непрерывным распределением зарядов, равен интегралу потенциалов
точечных зарядов, соответствующих этому распределению.
II. Расчет линейного интеграла от
dV E ds
для заданного распределения зарядов.
V обычно предполагается равным 0 в точке, расположенной
бесконечно далеко от зарядов.
27

28.

Электрический потенциал
Электрический потенциал описывает электростатические явления
в более упрощенной форме, чем это можно сделать используя
понятия об электростатическом поле и электрических силах.
28

29.

29