Модуль действительного числа, уравнения

1.

Модуль и его
приложения

2. Понятие модуля

Абсолютной величиной (модулем)
действительного числа а называется само
число а, если оно неотрицательное, и число,
противоположное а, если а – отрицательное.
a , если а 0;
a
а , если а 0.
Пример:
2x 3, если x 1,5;
2x 3
2x 3, если x 1,5.

3. Свойства модуля

1 a 0
2 a b а b
а
a
3
, где b 0
b
b
2
4 a a
2

4. Свойства модуля

5 a а
6 a a
7 a b а b
8
a а
2

5. Геометрическая интерпретация модуля

а
-а
-а
0
а
х
Модуль числа - это расстояние от
начала отсчета до точки, изображающей
число.

6. Примеры Раскрыть модули:

1) p 3 ;
2)
3 5;
3)
5 2;
4) 1 2 ;
5) x 2 ;
6) x 1 ;
4
7) ( a 3 ) , a 3 ;
2
8) ( b 4 ) , b 4 ;
2
9) m 2m 1,
2
m 1.

7. Примеры Проверь себя:

1)
2)
3)
6)
7)
8)
4)
5)
9)

8. Решение уравнений вида  f(x) = a

Решение уравнений вида
f(x) = a
f (x ) a ,
f (x ) a.
Пример: x – 8 =5
x 8 5,
x 13,
x 8 5; ⇔
x 3.
Ответ: 3; 13.

9. Решение уравнений вида |f(x)|= a

|2x – 3|= 4
x1 = 3,5; x2 = – 0,5
|5x + 6|= 7
x1 = 0,2; x2 = – 2,6
|9 – 3x |= 6
x1 = 1;
|4x + 2|= – 1
x Ø
|8 – 2x|= 0
x=4
|10x + 3|= 16
x1 = 1,3; x2 = – 1,9
|24 – 3x|= 12
x1 = 12; x2 = 4
|2x + 30|= 48
x1 = 9;
x2 = 5
x2 = – 39

10.

Решение уравнений вида
f(x) = g(x)
f (x ) g (x ),
g
(
x
)
0
;
f (x ) g (x ),
g (x ) 0.

11. Пример: 3х –10 = х – 2

Пример: 3х –10 = х – 2
3x 10 x 2,
x
2
0
;
3x 10 (x 2), ⇔
x 2 0;
x 4,
⇔
x 3.
2x 8,
x
2
;
⇔
4x 12,
x 2;
Ответ: 3; 4.

12.

Решение уравнений вида
f(x) = g(x)
f (x ) g (x ),
f (x ) g (x ).
Пример: x – 2 = 3 – x
x 2 3 x ,
x 2 3 x ;
⇔
2x 5,
2 3;
Ответ: 2,5.
x 2,5,
⇔ x Ø ;

13. Решить самостоятельно: 4x –1 = 2х + 3

Решить самостоятельно:
4x –1 = 2х + 3
x 2,
4x 1 2x 3,
2x 4,
⇔
1
4x 1 2x 3; ⇔ 6х 2;
x .
3
1
Ответ: 2; – ---.
3

14. Решить уравнение 2|x – 2| – 3|х + 4| = 1

–4≤x<2
x<–4
-4
х
2
–
–
+
–
+
+

15. Решить уравнение 2x – 2 – 3х + 4 = 1

Решить уравнение
2 x – 2 – 3 х + 4 = 1
x 4,
2( x 2) 3( x 4) 1;
4 x 2,
2( x 2) 3(x 4) 1;
x 2,
2(x 2) 3(x 4) 1;
⇔
x 4,
x 15;
4 x 2,
x 1,8;
x 2,
x 17.
Ответ: –15; –1,8.

16. Примеры (решить самостоятельно)

1) x2 + 3x = 2(x + 1)
2) x – 6 = x2 – 5x + 9
3) 2x + 8 – x – 5 = 12
1) Ответ: 1; (–5 + √17)/2.
2) Ответ: 1; 3.
3) Ответ: -25; 3.