Построение сечений многогранников

1. Построение сечений

2. Геометрические понятия

• Плоскость – грань
• Прямая – ребро
• Точка – вершина
вершина
грань
ребро

3. Многогранники

• Тетраэдр
• Параллелепипед

4. Геометрические утверждения

• Если две точки одной прямой лежат в
плоскости, то и
вся прямая лежит в этой плоскости.

5. Геометрические утверждения

• Если две параллельные плоскости
пересечены третьей, то
линии их пересечения параллельны.

6. Для решения многих геометрических задач необходимо строить их сечения различными плоскостями.

7.

Секущей плоскостью называется
любая плоскость, по обе стороны от
которой имеются точки данного тела.
L

8.

Секущая плоскость пересекает грани
многогранника по отрезкам.
L
Многоугольник, сторонами
которого являются данные
отрезки, называется
сечением.

9. При этом необходимо учитывать следующее:

Для построения сечения нужно построить
точки пересечения секущей плоскости с
ребрами и соединить их отрезками.
При этом необходимо учитывать следующее:
1. Соединять можно только две точки, лежащие
в плоскости одной грани.
2. Секущая плоскость пересекает
параллельные
грани по параллельным отрезкам.
3. Если в плоскости грани отмечена только одна
точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо
построить дополнительную точку. Для этого
необходимо найти точки пересечения уже
построенных прямых с другими прямыми,
лежащими в тех же гранях.

10.

Какие многоугольники могут получиться в сечении ?
Тетраэдр имеет 4 грани
В сечениях могут получиться:
Треугольники
Четырехугольники

11.

Параллелепипед имеет 6 граней
Треугольники
Пятиугольники
В его сечениях
могут получиться:
Четырехугольники
Шестиугольники

12.

Пример 1. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью,
проходящей через точки M,N,K
D
M
AA
1. Проведем прямую через
точки М и К, т.к. они лежат
в одной грани (АDC).
N
K
BB
C
C
2. Проведем прямую через
точки К и N, т.к. они лежат
в одной грани (СDB).
3. Аналогично рассуждая,
проводим прямую MN.
4. Треугольник MNK –
искомое сечение.

13.

Пример 2. Построить сечение тетраэдра плоскостью,
проходящей через точки E, F, K.
1. Проводим КF.
2. Проводим FE.
3. Продолжим
EF, продолжим AC.
D
F
4. EF AC =М
5. Проводим
MK.
E
M
C 6. MK AB=L
A
L
K
B
7. Проводим EL
EFKL – искомое
сечение

14.

Пример 3. Построить сечение тетраэдра плоскостью,
проходящей через точки E, F, K.
С
какойпрямые
точкой,
лежащей в
Какие
можно
Соедините
получившиеся
Какие
сразу
той
жеточки
граниможно
можно
продолжить,
чтобы
получить
точки,
лежащие
в одной
соединить?
соединить
полученную
дополнительную
точку?
грани, назовите
сечение.
дополнительную точку?
D
иЕ
АС
ЕLFK
FСЕК
иточкой
K,
и FК
F
L
C
M
A
E
K
B
Второй способ

15.

Построить сечение
тетраэдра плоскостью,
проходящей через
точки E, F, K.
D
F
L
C
A
E
K
B
Первый способ
О

16.

Способ №1.
Способ №2.
Вывод: независимо от способа
построения сечения одинаковые.

17.

Пример 4. Построить сечение параллелепипеда плоскостью,
проходящей через точки M,A,D.
В1
D1
E
A1
С1
В
А
1. AD
2. MD
3. ME//AD, т.к. (ABC)//(A1B1C1)
4. AE
5. AEMD – сечение.
М
D
С

18.

Пример 5. Построить сечения параллелепипеда плоскостью,
проходящей через точки В1, М, N
В1
D1
С1
A1
P
К
В
D
А
Е
N
С
O
M
1. MN
3.MN ∩ BA=O
2.Продолжим 4. В1О
MN,ВА
5. В1О ∩ А1А=К
6. КМ
7. Продолжим MN и BD.
8. MN ∩ BD=E
9. В1E
10. B1Е ∩ D1D=P , PN