Электромагнетизм. Задачи

1.

Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Задача 5
Задача 6
Задача 7
Задача 8
Задача 9
Задача 10
Теоретическое введение

2.

Электромагнетизм
Основные формулы и законы
1. Связь индукции В магнитного поля с напряженностью Н: B 0 H
(где μ - магнитная проницаемость среды; μ0 - магнитная постоянная μ0=4π · 10-7 Гн/м).
2. Напряженность магнитного поля в центре кругового тока
H=I/2R
(где I - сила тока в проводнике; R - радиус кругового витка).
3. Напряженность магнитного поля, созданного бесконечно длинным прямым
проводником с током I на расстоянии а от него: Н 1
4. Сила Лоренца F q B sin
2 a
(где q - заряд частицы; v - её скорость; В -индукция магнитного поля).
5. Магнитный поток Ф для однородного магнитного поля и плоского контура
площадью S: Ф Bn S BS cos
6. Работа А по перемещению проводника и контура с током I в магнитном поле:
A I Ф
(где ΔФ- изменение магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную контуром).
7. Основной закон электромагнитной индукции: E = -N dФ/dt
(где N - число витков катушки).

3.

8. Электродвижущая сила самоиндукции: E = -L di/dt
(где L - коэффициент самоиндукции; i- скорость изменения тока в контуре).
2
LI
9. Энергия магнитного поля тока W
2

4.

Задача №1
Условие задачи
На соленоид длиной l=144 см и диаметром D=5 см надет проволочный виток. Обмотка
соленоида имеет N=2000 витков, и по ней течет ток I=1 А. Соленоид имеет железный
сердечник. Какая средняя э.д.с. индуцируется в надетом на соленоид витке, когда ток
в соленоиде выключается в течение времени t=2 мс?

5. Дано:

Решение:
Дано:
l=144 см
D=5 см
N=2000
t=2·10-3c
I=2 A
0 = 12,56·10-7 Гн/м
E ср– ?
Ф
( Ф2 Ф1 )
Е ср
.
t
t
По условию задачи ток в соленоиде отключается, значит Ф2=0, т.е. магнитное поле
Ф
соленоида временно прекратит существование, значит
Eср 1 .(2)
t
D 2 С учетом этого выражение
.
Ф =BS cos . (2) Так как =0, то cos =1. S
4 (1) приобретает вид
е D 2
2 2000
3
EСР
.(3) В = 0Н (4) Н IN .(5)
Н
2
,
778
10
( А / м).
4 t
l
1,44
4
1,6 314
, 25 10
Е ср
1,57(В )
4 2 10 3
Ответ: средняя э.д.с. индукции в надетом на соленоид витке, когда ток выключается за данное
время Еср=1,57 В.
Е ср

6.

Задача №2
Условие задачи
В однородном магнитном поле, индукция которого В=0,1 Тл, вращается катушка,
состоящая из N=200 витков. Ось вращения катушки перпендикулярна и ее оси и к
направлению магнитного поля. Период обращения катушки Т=0,2 с, площадь
поперечного сечения S=4 см2. Найти максимальную э.д.с. индукции Еmax во
вращающейся катушке.

7. Дано:

Решение:
Дано:
В=0,1 Тл
N=200
S = 10-4 м2
T=0,2 c
Еmax - ?
Ф = BS cos E
dФ
d
BS cos .
dt
dt
Угол меняется со временем как = t, где - циклическая частота, равная
E
2
Т
d
BS cos BS ( sin ) E0 sin где Eo=BS - максимальное значение
dt
э.д.с. индукции в витке.
Emax = NE0 или Emax NBS
Emax
2 NBS
T
2 200 0,1 4 10 4
0,25(е)
0,2
Ответ: максимальная э.д.с. индукции во вращающейся катушке равна Emax 0,25(е)

8.

Задача №3
Условие задачи
Обмотка соленоида состоит из N витков медной проволоки, поперечное сечение которой
S=l мм2. Длина соленоида l=25 см, его сопротивление R=0,2 0м.
Найти индуктивность L соленоида.

9. Дано:

Решение:
S = 10-6 м2
l= 0,25 м
R=0,2 Ом
= 17·10-9 Ом·м
Еср - ?
l где l - длина проволоки, намотанной на весь соленоид.
S
l R S l
l
RS
2
r
(
1
)
r
(2)
l
.
где r - радиус витка. Отсюда
.
N
N
N
2 N
RS
Подставляя (1) в (2), получаем: r
S = r2 (4) Подставим (3) в (4), получаем:
(3)
2 N
S 2 R 2
S 2 R2
0 N 2 S
Подставим (5) в (6), получаем
L
(
6
)
S 2 2 2
(
5
)
4 N
4 2 N 2
l
4 3,14 10 7 4 10 2 10 17
0N 2R 2S 2 0R 2S 2
L
9,5 10 5 Гн
2
6
16
L
4 0,25 3,14 17 10 10
4l 2N 2
4l
R
Ответ: индуктивность соленоида равна L 9,5 10 5 Гн

10.

Задача №4
Условие задачи
Катушка с железным сердечником имеет площадь поперечного сечения S=20 cм2
и число витков N=500. Индуктивность катушки с сердечником L=0,28 Гн при
токе через обмотку I=5 А. Найти магнитную проницаемость железного сердечника.

11. Дано:

Решение:
S = 2·10-3 м2
L= 0,28 Гн
I=5 А
0 = 12,6·10-3 Гн/м
-?
IN
H
(1)
l
L
0 N 2
l
Магнитная индукция В связана с
S (2) напряженностью Н магнитного
поля соотношением
B
(3)
В = 0Н
0
H
2
Подставим (3) в (2), получаем L BN S
lH
Подставим (1) в
(4), получаем
BN 2S l BN 2S BN S Отсюда B L I
L
NS
lIN
IN
I
Найдем числовое значение магнитной индукции и впоследствии находим эту точку на
оси координат графика B=f(H) и, приводя из этой точки параллельную линию оси ОН,
найдем соответствующую ей точку на оси Н напряженности магнитного поля. После
этой серии операций мы находим числовое значение Н. После этого все получившиеся
числовые данные мы подставляем в формулу (3), откуда находим магнитную проницаемость
железного сердечника
B
0,28 5
По графику зависимости B=f(H),
B
1,4 Тл
4
H 0
500 20 10
находим что Н=800 А/м. Отсюда
14
,
1800
12,57 10 7 0,6 103
Ответ: магнитная проницаемость железного сердечника соленоида равна = 1800.

12.

Задача №5
Условие задачи
Сколько витков имеет катушка, индуктивность которой L=l мГн, если при токе I=1 А
магнитный поток через катушку Ф=2 мкВб?

13. Дано:

L=l·10-3 Гн
I=1 А
Ф=2·10-6 Вб
N-?
Решение:
Полный магнитный поток через контур
= LI
(1)
Поток через каждый из витков равен
Ф = BS,
а полный магнитный поток, сцепленный с соленоидом:
= NФ
(2)
Сопоставляя (1)и (2), получаем
LI = NФ N
IL
Ф
10 3
N
500
6
2 10
Ответ: катушка имеет 500 витков.

14.

Задача №6
Условие задачи
В магнитном поле, индукция которого В=0,1 Тл, помещена квадратная рамка из
медной проволоки. Площадь поперечного сечения провода s = l мм2, площадь
рамки S = 25 см2. Нормаль к плоскости рамки параллельна магнитному полю.
Какое количество электричества q пройдет по контуру рамки при
исчезновении магнитного поля?

15. Дано:

Решение:
Дано:
В=0,1 Тл
S = 25·10-4 м2
s = 10-6 м2
= 17·10-9 Ом·м
В
n
q-?
1
q
R
Ф2
dФ
Ф1
1
Ф Ф1
R 2
Ф1 - магнитный поток через рамку в первом состоянии
Ф2 - магнитный поток через рамку во втором состоянии.
l
(1) где l - длина проволоки.
S
1
S = a2 где a - сторона квадрата, равная l
Отсюда а S
4
1
l S l 4 S (2) Подставим (2) в (1), получаем R 4 S
4
s
По условию
Так как
Ф1 = BS
Ф2=0.
R
BSs
B S s
q
4
4 S
0,1 10 6 25 10 2
q
7,4 10 3 Кл
6
4 0,017 10
Ответ: количество электричества, которое пройдет по контуру рамки при исчезновении
магнитного поля, равно q=74·10-3 Кл.

16.

Задача №7
Условие задачи
Круговой контур радиусом r=2 см помещен в однородное магнитное поле, индукция
которого В=0,2 Тл. Плоскость контура перпендикулярна к направлению магнитного
поля. Сопротивление контура R=l Ом. Какое количество электричества q пройдет
через катушку при повороте ее на угол 90 градусов?

17. Дано:

Решение:
Дано:
В=0,2 Тл
R=l Ом
r=0,02 м
= 90°
= 180°
Ф
1 2
1
q dФ Ф2 Ф1 где Ф1 - магнитный поток через рамку в
R Ф1
R
первом положении
Ф1 = BS cos
- угол между нормалью к
плоскости контура
и направлением
магнитного поля, = 0, cos 1
q-?
Ф2 - магнитный поток через рамку в первом положении, Ф = 0, т.к. cos90 0
2
.
l где l - длина окружности контура,
R равна l=2 r. Площадь круга
S определяется формулой
2
S = r
q
2
1
B r 2 q 0,2 0,02 2,5 10 4 Кл
R
1
Ответ: количество электричества, которое пройдет через катушку при ее повороте
на угол = 90°, равно q 2,5 10 4 Кл

18.

Задача №8
Условие задачи
Электрическая лампочка, сопротивление которой в горячем состоянии R=10 Ом,
подключается через дроссель к двенадцати вольтному аккумулятору. Индуктивность
дросселя L=2 Гн, сопротивление r=1 Oм. Через какое время t после включения лампочка
загорится, если она начинает заметно светиться при напряжении на ней U=6 В.

19. Дано:

Решение:
Дано:
R=10 Ом
r=1 Ом
U0=12 В
L=2 Гн
U=6 В
R где R' - сопротивление
I I 0 1 exp t ,
L цепи.
L
r
U0
Умножим обе части выражения на R',
получаем:
R
U
R
R
1
exp
t ,
U U 0 1 exp t ,
L
U
L
0
t-?
Прологарифмировав данное выражение, получаем:
U U
R
ln 0
t.(1)
U
L
0
U U
R r
ln 0
t
U
L
0
R = R + r Следовательно, выражение (1) примет вид
t
U U
L
ln 0
R r U0
t
2 12
ln
0,126 c
11 6
Ответ: через время, равное t=0,126 с после включения лампочки, она загорится.

20.

Задача №9
Условие задачи
Катушка имеет индуктивность L=0,144 Гн и сопротивление R=10 Ом. Через какое время
t после включения в катушке потечет ток, равный половине установившегося?

21. Дано:

Решение:
Дано:
L
R=10 Ом
L= 0,144 Гн
I=I0/2
I
R
I I 0 1 exp t ,
L
R
где R - сопротивление цепи, в данном
случае сопротивление катушки;
t-?
I0 - ток, установившийся в цепи после ее
включения, в случае, когда t .
Отсюда найдем время t, через которое выполнится условие I=I0/2, значит
I0
R
R 1
I 0 1 exp t , exp t Прологарифмируем данное выражение, получаем:
L
2
L 2
R
1
t ln
L
2
L 1
t ln
R 2
t
0,144
ln 0,5 0,01 c
10
Ответ: через время t, равное t=0,01 с после включения в катушке потечет ток, равный
половине установившегося.

22.

Задача №10
Условие задачи
Квадратная рамка из медной проволоки сечением S =l мм помещена в магнитное поле,
индукция которого меняется по закону B B sin t, где B 0,01Т л 2 / T , T 002
, c.
0
0
Площадь рамки S=25 см2. Плоскость рамки перпендикулярна к направлению
магнитного поля. Найти зависимость от времени и наибольшее значение:
а) магнитного потока Ф, пронизывающего рамку,
б) э.д.с. индукции, возникающей в рамке,
в) тока I, текущего по рамке.

23. Дано:

Решение:
Дано:
S 10 6 м
B B0 sin t
Ф = BS cos
где - угол между нормалью к
плоскости и направлением магнитного
поля. В данном случае = t
Зная зависимость B=B(t), найдем
зависимостьФ=Ф(t), так как S=const т.е.
B0 0,01Т л
T 0,02 c
2 / T
S 25 см2
17 10 9Ом м
Ф(t),E(t),I(t) - ?
Ф t B0S sin t (1)
2 / T , преобразуем выражение (1):
2
2
Ф(t ) B0 S sin
t (2) sin t 1 Ф B S
max
0
T
T
Зная, что
d
dФ
, (3) Подставим выражение (1) в (3), получаем: E (BS cos t )
dt
dt
2 BS
E
(
t
)
cos t так как cos t 1 то
E=-BS(cos t)=-BS cos t
T
2 BS
E
BS
I , (4) Зная зависимость E=E(t), можно найти зависимость I=I(t),
т.к. R=const. Сопротивлениерамки определяется формулой
T
R
E
E max
R
l
, (5) где l - длина проводника, из которого сделана рамка.
S
l 4a 4 S , (6)
Подставим (6) в (5), получаем
S = a2 а S
R
4 S
(7)
S

24.

Подставим (7) и (3)в (4), получаем
I t
BSS
B S S
cos t
cos t
4 S
2 T
B SS
cos t 1 то I max
2 2 T
Так как
Ф t 2,5 10 5 sin 100 t
Фmax 2,5 10 5 Вб
E t 7,85 10 3 cos100 t
Emax 7,85 10
3
B
I t 2,3 cos100 t
I max 2,3A
Ответ: зависимость от времени t и наибольшее значение:
а) магнитного потока Ф, пронизывающего рамку,
б) э.д.с. индукции Е, возникающей в рамке,
в) тока I, текущего по рамке представлены в перечисленном порядке:
Ф t 2,5 10 5 sin100 t E t 7,85 10 3 cos100 t I t 2,3 cos100 t
Фmax 2,5 10 5 Вб
E max 7,85 10
3
B
I max 2,3 A