Магнитное поле. Задачи

1.

Задача 1
Задача 2
Задача 3
Задача 4
Задача 5
Задача 6
Задача 7
Задача 8
Задача 9
Теоретическое введение

2.

Магнитное поле
По закону Био-Савара-Лапласа элемент контура dl, по которому течет ток I, создает в
некоторой точке А пространства магнитное поле напряженностью
dH
I sin
dl
4 r 2
где r - расстояние от точки А до элемента тока dl,
а - угол между радиус - вектором r и элементом тока dl.
Применим закон Био-Савара-Лапласа к контурам различного вида.
I
2R
R - радиус кругового
контура с током.
Напряженность магнитного поля, созданного бесконечно длинным прямолинейным
Напряженность магнитного поля в центре кругового тока
проводником H
I
2 а
,
H
где а - расстояние от точки, где ищется напряженность,
до проводника с током.
2
R I
Напряженность магнитного H
где R - радиус кругового контура с током,
3
поля на оси кругового тока
2 R 2 a2 2 а — расстояние от точки до плоскости контура.
Напряженность поля внутри тороида и бесконечно длинного соленоида
где п - число витков на единицу длины соленоида.
Напряженность магнитного поля на оси соленоида конечной длины
H
In
cos 1 cos 2
2
где 1 и 2- углы между осью соленоида и радиус - вектором,
проведенным из рассматриваемой точки к концам соленоида.
Н=Iп,

3.

Задача №1
Условие задачи
Найти напряженности Н магнитного поля в точке, отстоящей на расстоянии а=2 м от
бесконечно длинного проводника, по которому течет ток I=5 А.

4. Дано:

Решение:
Н
Дано:
а=2 м
I=5 А
=3,14
Н
+
a
Н-?
Н
Н
Напряженность магнитного поля, созданного бесконечно длинным
прямолинейным проводником: H I
2 a
Вектор Н расположен по касательной к окружности, направление
определяется правилом буравчика.
5
H
0,39( А / м)
2 314
, 2
Ответ: напряженность магнитного поля в точке, отстоящей на данном расстоянии от
бесконечно длинного проводника, по которому течет ток, равна Н=0,39 А/м.

5.

Задача №2
Условие задачи
Найти напряженность Н магнитного поля в центре кругового проволочного витка
радиусом R=l с которому течет ток I=1 А.

6. Дано:

Решение:
Дано:
R=0,01 м
I=1 А
Н-?
I
H
2R
H
1
50( А / м)
2 10 2
Вывод данной формулы
В этом случае все элементы проводника перпендикулярны к радиус - вектору и sin =l.
Расстояние всех элементов провода до центра круга одинаково и равно радиусу круга R. Поэтому,
используя закон Био-Савара - Лапласа получаем:
dH
1 i
dl
4 R 2
Все элементы тока создают магнитное поле одинакового направления, перпендикулярное к
плоскости витка, и поэтому полная напряженность поля в центре кругового витка равна
i
H
4 R 2
2 R
dl
0
i
i
где l - длина окружности.
2
R
2
2R
4 R
Ответ: напряженность магнитного поля в центре кругового проволочного витка равна 50 А/м.

7.

Задача №3
Условие задачи
На рисунке изображены сечения двух прямолинейных бесконечно длинных проводников
с токами. Расстояние между проводниками АВ=10 см, токи I1=20A и I2=30A. Найти
напряженность Н магнитного поля, вызванного токами I1 и I2 в точках M1, М2, М3.
Расстояния M1А =2 см, АМ2=4 см, ВМ3 = 3 см.

8. Дано:

Решение:
M1А =2 см
АМ2=4 см
ВМ3 = 3 см
I1=20 A
I2=30 A
АВ=10 см
Н1, Н2, Н3-?
x
H2
H1
H1 H 2
I1
M1
M2
A
H1
I2
H2
B
x
x
I
M3
Н М1 Н 1 Н 2
Н1 и Н2- напряженности магнитных полей,
создаваемые в этой точке токами I1 и I2
2 а
соответственно.
Спроецируем данные вектора на ось х, получаем что
Н=Н -Н
H
1
Найдем Н1 и Н2, подставляя данные из условия задачи в формулу (1), т.е.
I1
I2
I2
Тогда
H
H2
2 М 1А 2 (М 1А А В )
2 (М 1А АВ )
Н1 и Н2- напряженности магнитных полей,
Н М 2 Н 1 Н 2 создаваемые в этой точке токами I и I
1
2
соответственно.
Спроецируем данные вектора на ось х, получаем что
Н = Н 1 - Н2
Найдем Н1 и Н2, подставляя данные из условия задачи в формулу (1), т.е.
I1
H1
;
2 М 1А
H1
I1
I2
; H2
2 М 2 А
2 ( АВ М 2 А)
Тогда
H
I1
I2
2 М 2 А
2 ( А В М 2 А)
2

9.

Н1 и Н2- напряженности магнитных полей,
Н М 3 Н 1 Н 2 создаваемые в этой точке токами I и I
1
2
соответственно.
Спроецируем данные вектора на ось х, получаем что
Н = Н 1 - Н2
Найдем Н1 и Н2, подставляя данные из условия задачи в формулу (1), т.е.
H1
I1
2 ( Ае М 3 В)
I2
I1
;
2
М
В
2 ( Ае М 3 В)
3
H2
I2
;
2 М 3 В
H1
20
30
120( А / м);
2 0,02
2 012
,
Тогда H
20
30
159( А / м);
2 0,06 2 0,04
30
20
H3
135( А / м);
2 0,03 2 013
,
H2
Ответ: напряженности магнитного поля, вызванного токами I1 и I2 в точках М1, М2, М3
соответственно равны H1=120 А/м, Н2=159 А/м, Н3=135 А/м.

10.

Задача №4
Условие задачи
На рисунке изображены сечения трех прямолинейных бесконечно длинных проводников
с токами. Расстояния АВ=ВС =5 см, токи I1 = I2=I и I3 = 2I. Найти точку на прямой АС,
в которой напряженность магнитного поля, вызванного токами I1, I2и I3, равна нулю.

11. Дано:

АВ=ВС=5
см
I1 = I2=I
I3 = 2I
Hрез = 0
x– ?
Решение:
H
I
где а - расстояние до данной точки.
2 а
1) Попробуем найти точку, в которой Hрез = 0 в отрезке АВ прямой
АВС, свяжем систему координат с точкой местонахождения тока
I1, т.е. предположим местонахождение этой точки определяет
точка с координатами (х,0).
Н Н1 Н 2 Н 3
Спроецируем вектора на ось Оу, получаем с учетом того, что Н=0:
H2
y
I2
I1
A
Н2 - Н1 - Н3 = 0
x
H 1
H3
B
1
1
2
0
0,05 х х 01
, х
0,15х = 0,005,
Отсюда
т.к. (0,1-х)(0,05-х) х 0
I3
C
01
, х х 2 0,005 0,05х 01
, х х 2 01
, х 2х 2
0
01, х (0,05 х )х
х = 0,033 (м)
2) Предположим, что искомая точка находится на отрезке ( ,А], свяжем
систему координат с точкой местонахождения проводника I1, координата
точки будет (х,О).

12.

H2
H1
x
H3
Н Н1 Н 2 Н 3
Н2 - Н1 + Н3 = 0
I1
A
I2
I3
B
C
y
Спроецируем вектора на ось Оу, получаем с учетом того, что Н=0:
2
1
1
01
, х 2х 2 01
, х х 2 0,005 01
, х 0,05х х 2
0
0
01, х (0,05 х ) х
01
, х 0,05 х х
-0,15х = 0,005,
т.к. (0,1+х)(0,05+х) х 0
х = -0,033 (м)
3) Предположим, что искомая точка находится на отрезке ВС.
I3
I1
I2
A
B
H1
H3
Н 1 Н 2 Н 3 0 т.к. векторы
и
Н1 Н 2
H2
C
Н 3 сонаправлены.
4) Предположим, что искомая точка находится на отрезке [С, ), свяжем систему координат
с местонахождением проводника I3 и координата точки будет (х,0).

13.

Н Н1 Н 2 Н 3
Спроецируем вектора на ось Оу, получаем с учетом того, что Н=0:
2
2
1
2(0,005 01
, х 0,05х х 2 ) 0,05х х 2 01
, х х2
0
0
Н3 - Н1 - Н2 = 0
х 01
, х 0,05 х
01, х (0,05 х ) х
т.к. (0,1+х)(0,05+х) х 0
0,15х = - 0,01,
I1
A
I2
B
I3
C
H3
H 1
H2
Ответ: точка, в которой напряженность магнитного поля, вызванного токами I1, I2и I3 равна
нулю, находится между точками I1 и I2 на расстоянии а =0,033 м от точки А.

14.

Задача №5
Условие задачи
Два прямолинейных бесконечно длинных проводника расположены перпендикулярно
друг к другу и находятся во взаимно перпендикулярных плоскостях. Найти
напряженности H1 и H2 магнитного поля в точках M1 и M2, если токи I1=2 А
и I2=3A. Расстояния AM1=AM2=l см и АВ = 2см.

15. Дано:

Решение:
Дано:
АВ= 0,02 м
или
Н1 Н1 Н 2
Н 2 Н1 Н 2
I1 = 2 A
1) Найдем напряженность H1 в точке M1.
I2=3 A
AM1=AM2=10-2 м Векторы напряженности H1 и H2 магнитного поля, вызванного
H1, H2 - ?
токами I1 и I2находятся во взаимно перпендикулярных плоскостях.
2
H 1
I1
;
2 А М 1
H 2
2
I2
2 ( А В А М 1 )
I1
I2
H
2 А М 1 2 ( А В А М 1 )
2) Найдем напряженность
H2 в точке M2.
2
Н Н 1 Н 2
Напряженность магнитного поля,
созданного бесконечно длинным
прямолинейным проводником
I
H
2 а
где а - расстояние от проводника до
рассматриваемой точки.
2
Н Н 1 Н 2
2
2
Воспользовавшись
формулой (2), найдем Н и Н
1
2

16.

2
I1
I2
H
2 А М 2 2 ( А В А М 2 )
2
2
2
2
3
А
Н1
35
,
6
м
2 314
, 10 2 2 314
, 3 10 2
2
2
2
3
А
Н2
2
2 57,4
м
2 314
, 10 2 314
, 10
Ответ: напряженность магнитного поля в точках M1 и M2 соответственно равны
Н1=35,6 А/м и Н2=57,4 А/м.

17.

Задача №6
Условие задачи
Два прямолинейных длинных проводника расположены параллельно на расстоянии
а=10 см друг от друга. По проводникам текут токи I1 = I2=5 А в противоположных
направлениях. Найти модуль и направление напряженности магнитного поля в точке,
находящейся на расстоянии а=10 см от каждого проводника.

18. Дано:

I1 = I2=5 А
а = 0,1 м
d=0,l м
AM1=AM2=l0-2 см
Н Н1 Н 2
Решение:
Н 1 и Н 2 - напряженности магнитных полей,
созданных бесконечно длинными
проводниками I1 и I2.
н н12 н22 2н1н2 cos (1)
где угол = 60°, т.к. DAC=360 -60°-2 90 =120 , т.к. АВ С - равносторонний,
т.к. DAC является прилежащим углом к BCA в параллелограмме ABCD, то
BCA=0,5 (360°-240°)=60°
Напряженность магнитного поля, созданного бесконечно длинным проводником:
H-?
H
I
Используя данную формулу, найдем Н1 и Н2:
2 а
I
I
H1 1 (2) H 2 2 (2) Подставим (2), (3) в (1), получаем:
2 a
2 a
2
2
I I
I I
H 1 2 2 1 2 cos
2 а 2 а
2 а 2 а
2
2
5
5
5
5
H
8( А / м)
2 314
2 314
2
314
,
01
,
,
01
,
,
01
,
2
314
,
01
,
Ответ: модуль напряженности магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии а=10 см
от каждого проводника, равна Н=8 А/м. Напряженность магнитного поля направлена
перпендикулярно к плоскости, проходящей через оба провода.

19.

Задача №7
Условие задачи
Два круговых витка радиусом R=4 см каждый расположены в параллельных плоскостях
на расстоянии а=10 см друг от друга. По виткам текут токи I1=I2=1 А.
Найти напряженность Н магнитного поля на оси витков в точке, находящейся на равном
расстоянии от них. Задачу решить, когда:
а) токи в витках текут в одном направлении;
б) токи в витках текут в противоположных направлениях.

20. Дано:

Решение:
Дано:
н н1 н2 (1)
Н = Н 1 + Н2
R1 = R2 =R= 0,04 м
Известно, что напряженность магнитного поля на оси кругового тока
I1=I2=I =2 А
a=0
a1 = a2
a) I1 I2
б) I1 I2
H -?
H
R2I
2 R2 a
3
2 2
(2)
где a1 - расстояние от точки, где ищется напряженность, до плоскости
контура; по условию задачи а1
а
2
Подставляя данные из условия в (2), мы видим, что по модулю Н 1и Н 2 равны, учитывая
это условие подставим выражение для Hi и Н1 и Н2 в формулу (1), получаем
1
H
2
R2I
2 a
R
2
2
3
2
1
2
R2I
2 a
R
2
2
3
2
R2I
2 a
R
2
2
3
2

21.

б) Рассмотрим второй случай, когда токи в витках текут в противоположных направлениях.
Н Н 1 Н 2 результирующий вектор будет равен нулю, т.е.
H
0,04 2 2
0,04
2
0,05
3
2 2
Н1 - Н2 = 0 и Н = 0
12,2( А / м)
Ответ: напряженность магнитного поля на оси витков в точке, находящейся на равном
расстоянии от них, когда:
а) токи в витках текут в одном направлении равна Н=12,2 А/м;
б) токи в витках текут в противоположных направлениях Н=0 А/м.

22.

Задача №8
Условие задачи
Ток I=20 А идет по длинному проводнику, согнутому под прямым углом. Найти
напряженность Н магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе этого угла
и отстоящей от вершины на расстояние r =10 см.

23. Дано:

Решение:
I
Дано:
I=20 А
r = 0,1 м
a
l
a
A
B
r
H -?
Н
l
a
Векторы напряженности магнитных полей,
вызванных током I, текущим по отрезкам(- ;А]
и [А;+ ) соответственно находятся на одной
прямой перпендикулярной плоскости, в которой
находятся отрезки данного проводника.
2
I sin
a d
Но
dl
l
=
a·ctg
,
dl
2
sin 2
1 4 r
a
I
I
r
cos 1 cos 2 (1)
H
sin
d
4 r
4 r
sin
2
I
1
Для первого отрезка, а именно (- ;А], углы: 1=0°, 2=45°. Для второго отрезка, а именно
[А;+ ), углы: 1=45°, 2=180°. Н Н Н
Н = Н + Н (2)
1
2
1
2
Подставляя (1) в (2), получаем при этом замечая, что а - перпендикуляр, проведенный из точки В
на отрезки, для этих отрезков расстояние а одинаково, и может быть найдена по теореме
Пифагора из АВС, учитывая то, что катеты равны по величине и равны а, гипотенуза равна г,
отсюда:
r
a2 a2 r a
Подставляя сначала (3) в (1), потом (1) в (2), получаем
2
H
I 2
cos 1 cos 2
2 r
I
cos 1 cos 2
2 r
H
20
1 cos 45 13,2( А / м)
2 0,1
Ответ: напряженность магнитного поля в точке, лежащей на биссектрисе угла, созданного
длинным прямолинейным проводником, и отстоящей от вершины угла на данное расстояние
равна Н=13,2A/м.

24.

Задача №9
Условие задачи
Из проволоки длиной L=1 м сделана квадратная рамка. По рамке течет ток I=10 А.
Найти напряженность Н магнитного поля в центре рамки.

25. Дано:

Решение:
Дано:
По условию ABCD - квадрат, значит
L=1 м
I=10 А
L
сторона L рамки будет, 4 а длина
перпендикуляра проведенного
из точки О на L сторону квадрата
H– ?
будет равен а, т.е а
Н Н1 Н 2 Н 3 Н 4
L
8
Н = Н1 + Н2+ Н3+ Н4=4Н1 (2)
Из ранее полученных формул, с использованием закона Био - Савара - Лапласа найдем Н1:
н
I
cos 1 cos 2 (3)
В нашем случае 1=45°, 2=180°-45°=135°.
Подставим (3) в (2) с использованием отношения (1), получаем
4 a
32I
8I
Н
cos 1 cos 2
cos 1 cos 2
4 L
L
Н
8 10
cos 45 cos135 35,8( А / м)
1
Ответ: напряженность магнитного поля в центре рамки равна Н=35,8 А/м.