Явление электромагнитной индукции. Поток вектора магнитной индукции (магнитный поток)

1. Преподаватель Лицея №1502 при МЭИ(ТУ) Соросовский учитель Абражевич Эдуард Борисович

Лекция № 13
Явление электромагнитной
индукции. Поток вектора
магнитной индукции (магнитный
поток)
Преподаватель
Лицея №1502 при МЭИ(ТУ)
Соросовский учитель
Абражевич Эдуард Борисович

2.

Магнитный поток
Поток вектора B через площадку S,
находящуюся в однородном магнитном
поле Ф=BS cosα, где α – угол между
вектором B и вектором нормали n к
площадке. [Ф]=Тл·м2=Вб
Магнитный поток
пропорционален числу
магнитный линий,
пронизывающих площадку S

3.

Если в магнитном поле находится замкнутый
проводник, то при любом изменении магнитного потока
через площадь, ограниченную контуром проводника, в
нем возникает ЭДС индукции Εи и индукционный ток Iи.
Εи определяется законом Фарадея-Максвелла (законом
электромагнитной индукции):
dФ
и
dt
Ф
и
t
R – сопротивление контура,
dФ Ф
,
dt t
и
Iи
R
- скорость изменения магнитного потока
Знак «-» диктуется правилом Ленца
.

4.

Магнитный поток (Ф=BS cosα) будет изменяться,
если:
1) Изменить В
2) Изменить S
3) Изменить α

5.

Пример 1. Определить направление
индукционного тока в проводящем контуре,
находящемся в магнитном поле, индукция
которого является функцией времени В=В(t)
Iи
Iи
B
Bинд
B
В - увеличивается
Bинд
В - уменьшается
Bинд - индукция магнитного поля
индукционного тока

6.

Пример 2. В однородном магнитном поле с
индукцией В по горизонтальным проводящим
шинам, замкнутым на сопротивление R,
движется с постоянной скоростью v
проводник длиной l. Определить ЭДС
индукции, величину и направление
индукционного тока.
B S cos Blv t ,
B
R
0, cos 1
n
l
v
u
Blv ,
t
Bинд
u Blv
Iu
R
R

7.

n
R
I инд
Blv t cos ,
B
v
u Blv cos ,
Blv cos
Iu
R

8.

Пример 3. В однородном магнитном поле с
индукцией В движется проводник длиной l c
постоянной скоростью v. Определить
разность потенциалов между концами
проводника.
1
1 2 F evB
Fк Fл , Fк eE e
, л
Fк
l
l v
1
2
e
evB 1 2 lvB
e
l
Fл
2 v t

9.

Пример 4. Проводник длиной l вращается в
однородном магнитном поле с индукцией В
относительно оси, проходящей через точку
О, с постоянной угловой скоростью .
Определить разность потенциалов между
концами проводника.
O
1
l
S
2
1
1 2
S l l l t , t
2
2
1 2
1 2
B S Bl t 1 2 u Bl
2
2

10.

Пример 5. Проволочный виток площадью S
находится в однородном магнитном поле с индукцией В.
Линии магнитной индукции перпендикулярны плоскости
витка. Сопротивление витка R. Какой заряд протечет по
витку, если индукция магнитного поля будет убывать от
В до 0 равномерно.
1
; I u const;
и
;
const ; I u
R t
t
t
1 2 BS
q I u t
; 1 BS ; 2 0
R
R
R
Т.к. q определяется только начальным и конечным
значениями магнитного потока , то q 1 2
R
справедливо и в случае нелинейного изменения
магнитного потока
const
t

11.

Явление самоиндукции
Индуктивность
B ~ I ; ~ B;
B
~I
LI , Ф-собственный
магнитный поток
U
L- индуктивность
I
Вб
,
L , L
А
I
контура

12.

Пример 6. Определим индуктивность длинного
соленоида (цилиндрической катушки).
l-длина соленоида
N-число витков
I-сила тока в соленоиде
l>>r, r- радиус
соленоида
N
B 0 I ; Ф1=BS-2магнитный поток через 1 виток
l
S r ;
2
0 IN Sl
N
2
NBS N 0 I S
0 In Sl;
2
l
l
N
- плотность намотки соленоида
n
l
2
L 0 n Sl - индуктивность соленоида, зависит от параметров
соленоида (n,S,l)

13.

Самоиндукция. ЭДС самоиндукции
Явление возникновения ЭДС индукции в
контуре вследствие изменения силы
тока в этом контуре называется
самоиндукцией.
си - ЭДС самоиндукции; I cu - сила тока
самоиндукции
d
d LI
dI
dL
си (t )
L I
dt
dt
dt
dt

14.

Если геометрия контура не меняется, то
dL
dI
I
0 и си L
dt
dt
Отметим, что если ток в контуре I const ,
а геометрия контура меняется (например
площадь контура S), то в контуре также
возникает I dL
си
dt

15.

Энергия магнитного поля
r
Rл
Rк
L
LI
W
2
2
В случае длинной катушки (соленоида),
2
индуктивность которой L 0 n Sl
2
B
Sl
2
2
1
B 0nI
W 2 0 n SlI
2 0
2
W B
V Sl; w
-плотность энергии
V 2 0 магнитного поля

16.

Задача
1.
Тонкий
алюминиевый
брусок
прямоугольного
сечения
длиной
l=0,5м,
соскальзывает из состояния покоя по гладкой
наклонной
плоскости
из
диэлектрика
в
вертикальном магнитном поле с индукцией
В=0,1Тл. Угол наклона плоскости α=300. При
движении брусок сохраняет горизонтальное
положение. Найти величину ЭДС индукции в
момент, когда брусок пройдет по наклонной
плоскости расстояние L=1,6м.

17.

Дано:
В = 0,1 Тл
l=0,5м
α=300
L=1,6м
Решение:
и lvB cos
a g sin
a 2
L
Найти:
и
Ответ:0,17В
2
v a
v 2aL 2gL sin
и lB cos 2 gL sin 0,17B

18.

Задача 2. Проволочное кольцо радиусом r=0,1м лежит
на столе. Какой заряд пробежит по кольцу, если его
перевернуть с одной стороны на другую? Сопротивление
кольца R=0,1Ом. Вертикальная составляющая магнитной
индукции поля Земли 0,5·10-4Тл.
n
Дано:
r = 0,1 м
R=1 Ом
В= 0,5·10-4Тл
Найти:
q
B
r
n
1 BS B r
0
2
2 BS cos180 B r
2
1 2 2 B r 2 2 0,5 10 4 3,14 0,01
q
3,14 10 6 Кл
R
R
1
6
Ответ: 3,14 10 Кл

19.

Задача 3. При включении однородного магнитного
поля,
линии
магнитной
индукции
которого
перпендикулярны плоскости кругового витка, по витку
прошул заряд 1·10-7Кл. Какой заряд пройдет по витку,
если виток в том же магнитном поле превратить в
«восьмерку»,
состоящую
из
двух
одинаковых
окружностей:
1)деформируя виток
n
1) n
2) перекручивая
виток
n
B
R
r S1
S
2)
r
S1
r
S1
n
n
r S1

20.

Дано:
q= 1·10-7Кл
Найти:
1)q1
2)q2
1 0 B 0
BS
2 BS q
R0
1) 1 BS ; 2 B 2S1;
S1- площадь половины «восьмерки»; R- радиус витка;
r – радиус одного из колец «восьмерки»
2
S
R
R
2
2
2 R 2 2 r r ; S R ; S1 r
; S1 ;
4
2
4
BS 1
2 B 2S1
;
2
2
1 2 1 BS q
7
q1
0,5 10 Кл
R0
R0 2 R0 2

21.

2) 1 BS ;
2 BS1 cos 00 BS1 cos1800 BS1 BS1 0;
1 2 BS
7
q2
q 1 10 Кл
R0
R0
Ответ:
0,5 10 7 Кл;
1 10 7 Кл

22.

Задача 4. В однородном магнитном поле расположена
квадратная проволочная рамка со стороной а=0,2м и
сопротивлением
R=0,3Ом.
Определить
силы,
действующие на каждую сторону рамки в момент
времени τ=2с, если линии магнитной индукции
перпендикулярны плоскости рамки, а магнитная
индукция изменяется по закону В=В0+Аt, где В0=1·10-2Тл,
А=1·10-2Тл/с.
F1 F2 F3 F4 F
Дано:
2
BS
B
At
a
0
F
а=0,2м
1
F4
d d
I
2
2
u
R=0,3Ом
B
At
a
Aa
и
0
dt
dt
F3 F2
τ=2с
и Aa 2 B( ) B a
Iu
0
В=В0+Аt
R
R
-2
В0=1·10 Тл
F I u B( )a AaR B0 A
А=1·10-2Тл/с
10 2 8 10 3 2
10 2 10 2 8 10 6 H
0,3
Найти:
F1,F1,F1,F1
Ответ: 8 10 6 H
3

23.

Задача 5. В горизонтальной плоскости расположны
параллельные проводящие шины, н акоторых находятся
две перемычки массами m и М. Система находится в
однородном магнитном поле, магнитные линии которого
вертикальны. Перемычке массой М сообщают скорость
v0, направленную вдоль шин. Сколько теплоты
выделится в системе? Перемычки скользят по шинам без
трения.
Дано:
F F I v
0
М=0,2кг
u
Iu
m=0,1кг
m
v0=3м/с
M
Mv0
0,2 3
Найти:
Mv0 Mv mv; v
2м / с
M m
0,3
Q
Mv02 M m v 2 0,2 9 0,3 4
Q W
0,3 Дж
2
2
2
2
Ответ: 0,3 Дж

24.

Задача 6. Проводящая перемычка длиной l=0,1м может
без трения скользить по проводящим параллельным
шинам, расположенным в горизонтальной плоскости.
Шины замкнуты резистором сопротивлением R=5Ом.
Система находится в однородном магнитном поле с
индукцией В=0,1 Тл, магнитные линии которого
вертикальны. Какую силу нужно приложить к перемычке,
чтобы перемещать ее вдоль шин со скоростью v=10 м/с?.
Сопротивлением шин и перемычки пренебречь.
Дано:
Iu F
B
и
Blv ,
R
l=0,1м
FA
t
R=5Ом
и Blv
v
v=10м/с
Iu
,
R
R
В=0,1Тл
Найти:
l 2 B 2v 0,01 0,01 10
4
F
F
I
lB
2
10
H
A
u
F
R
5
Ответ: 2 10 4 H

25.

Задача 7. В однородном магнитном поле с индукцией
В=0,05 Тл по вертикальным параллельным проводящим
шинам, замкнутым резистором сопротивлением R=1Ом,
может без трения скользить проводник длиной l=50см и
массой
m=1г.
Линии
магнитной
индукции
перпендикулярны
плоскости
шин.
Пренебрегая
сопротивлением шин и проводника, определить
установившуюся скорость проводника.
Дано:
l=0,1м
R=5Ом
v=10м/с
В=0,1Тл
Найти:
vуст
R
B
FA
v
mg
t 0, v0 0
Iu
и
Blv ,
t
и Blv
Iu
,
R
R
mg FA
l 2 B 2v
const
FA I u lB
; a
m
R

26.

когда Fa=mg v v уст
v уст
Ответ: 16м/с
l 2 B 2v уст
R
1 10 3 10
16 м / с
4
0,25 25 10
mg v уст
Rmg
2 2
l B

27.

Задача 8. В однородном магнитном поле с индукцией по
вертикальным параллельным проводящим шинам,
замкнутым на конденсатор емкости С, может без трения
и нарушения контакта скользить стержень длиной l и
массой m. Линии магнитной индукции перпендикулярны
плоскости шин. Пренебрегая сопротивлением шин и
стержня, определить ускорение стержня.
Дано:
C
L
M
Найти:
a
C
B
FA
v
mg
q
и
Blv , U c и
C
t
dq
dv
ClB ClBa
q CBlv ; I
dt
dt
I u FA IlB Cl 2 B2a; mg FA ma
mg Cl B a ma
2
Ответ:
2
mg
m Cl 2 B 2
mg
a
m Cl 2 B 2

28.

Задача 9. В однородном магнитном поле с индукцией В=0,6Тл
по вертикальным проводникам, замкнутым на источник ЭДС
Ε=1В, скользит без нарушения контакта и без трения невесомая
перемычка длиной l=10см. Линии магнитной индукции поля
перпендикулярны плоскости проводников. Определить модуль и
направление силы, которую необходимо приложить к
перемычке, чтобы она двигалась 1)вниз со скоростью v=10м/с;
2)вверх со скоростью v=10м/с. Сопротивление перемычки R=5
Ом,
сопротивлением
проводников
и
внутренним
сопротивлением источника ЭДС пренебречь.
Дано:
В=0,6Тл
=1В
l=10см
В=0,1Тл
v=10м/с
Найти:
F
lvB
0,32 A
1)v ; I1
R
B
FA
F
l, R
lvB
0,08 A
2)v ; I 2
R

29.

v const; F FA
lvB lB
1) F1 I1lB
1,92 10 2 H
R
lvB lB
2) F2 I 2lB
0,48 10 2 H
R
Ответ:
1,92 10 2 H ; 0,48 10 2 H

30.

Задача 10. Определить частоту вращения
плоской прямоугольной рамки в однородном
магнитном поле с индукцией В=0,5Тл, если
амплитуда ЭДС индукции в рамке Ε0=10В.
Площадь рамки S=200 cм2, число витков N=20.
Линии магнитной индукции перпендикулярны оси
вращения рамки.
Дано:
В = 0,5 Тл
0 =10В
S=200 cм2
N=20
Найти:
ν
Решение:
t
NBS cos t
d
и
NBS sin t
dt
0
0 NBS
NBS
0
8c 1
2 2 NBS

31.

Задача 11. При равномерном изменении силы тока через
катушку в ней возникает ЭДС самоиндукции Ε=10В.
Катушка содержит N=1000 витков. Какой заряд q протечет
за время τ=0,5с через замкнутый проволочный виток,
надетый
на
катушку
так,
что
его
плоскость
перпендикулярна оси катушки? Сопротивление витка
R=0,2 Ом.
Решение:
Дано:
N 0
=10В
t
t
N=1000
τ=0,5с
0 -модуль изменения магнитного потока
через 1 виток катушки
R=0,2 Ом
0
0
Найти:
;
0
; I0
R NR
q
t
N
Ответ:
10 0,5
2
q I 0
3
2,5 10 Кл
NR 10 0,2
2
2,5 10 Кл

32.

Задача 12. В катушке
увеличивается со скоростью
сила
тока равномерно
.A
При этом в ней
dI
2
dt
c
возникает ЭДС самоиндукции Ε=20В. Определить
энергию магнитного поля катушки при силе тока в ней
I=5А.
=20В
Дано:
Решение:
dI
L L
dI
dt
dt
I = 5A
dI
A
2
dt
c
Найти:
W
Ответ: 125 Дж
LI 2
I 2
20 25
W
125 Дж
2
2 2
2 dI
dt

33.

Задача 13. Аккумулятор с ЭДС Ε=15В замыкают на
катушку с индуктивностью L=0,5Гн. Определить время,
необходимое для увеличения энергии магнитного поля
катушки
до
W=2,25Дж,
пренебрегая
омическим
сопротивление всей цепи.
Решение:
Дано:
ɛ =15В
L=0,5Гн
W=2,25Дж
Найти:
τ
L
IR
1
2
R 0 IR 0
1 2 си 0
dI
dI
L 0 dI dt
dt
dt L
L

34.

I
0
LI
dI dt I ;W
L
L
2
0
2
L 2 2
2WL
2 2,25 0,5
W
1c
2
2L
1,5
Ответ: 1 с

35.

Задача 14. В соленоиде содержащем N=800 витков за
время Δt=0,15с сила тока изменилась от I1=2,5А до
I2=14,5А, а магнитный поток сквозь один виток увеличился
на
ΔФ=2,4мВб.
Определить
ЭДС
самоиндукции,
индуктивность
соленоида
и
изменение
энергии
магнитного поля соленоида за время Δt.
Дано:
N=800
Δt=0,15с
I1=2,5А
I2=14,5А
ΔФ=2,4мВб
Найти:
си , L, ΔW
Решение:
N 0 ; L I 2 I1 L
N 0
I 2 I1 I 2 I1
800 2,4 10 3
L
0,16 Гн
12
N 0 800 2,4 10 3
и
12,8B
t
t
0,15
LI 22 LI12 L 2 2 0,16
W
I 2 I1
14,52 2,52
2
2
2
2
W 16,3 Дж
Ответ: 12,8В; 0,16 Гн;16,3 Дж

36.

Задача
15.
.Участок
цепи
содержит
катушку
индуктивностью L=0,01Гн и резистор сопротивлением
R=0,1 Ом. Сила тока на участке цепи изменяется по
закону I=kt, где k=2А/с. 1)Найти закон изменения разности
потенциалов на концах этого участка φ1- φ2; 2)
Определить силу тока в момент когда φ1- φ2 =0,1В
Дано:
L=0,01Гн
R=0,1
I=kt
k=2А/с
φ1- φ2 =0,1В
Найти:
1) φ1- φ2; 2)I
Решение:
dI
R
L
1) IR 1 2 L I
dt
dI
1 2 IR L kRt Lk k ( Rt L)
dt
2) 1 2 kR Lk
kL 0,1 2 0,01
1 2
0,4c
kR
2 0,01
Ответ: k ( Rt L);
I k 2 0,4 0,8 A
0,8А

37.

Задача 16.Участок цепи содержит два одинаковых
резистора R и две катушки индуктивностью L1=0,01Гн и
L2=0,02Гн. Силы токов I1 и I2 изменяются по законам:
I1=0,2+10t; I2=0,1+10t. Найти сопротивление R.
Дано:
L1=0,01Гн
L2=0,02Гн
I1=0,2+10t
I2=0,1+10t
Решение:
I1
L1
R
I
1 I2
L2
R
2
dI1
dI 2
dI1
Найти:
dt
I1 I 2 R L2
L1
dI
dt
dt
R
I 2 R U12 L2 2
dt
dI 2
dI1
L2
L1
dI1
0,02 10 0,01 10
A dI 2
A
dt
dt
10
;
10
;
R
1Ом
c
c
R
; dt
dt
0,1
I1 I 2
I1 R U12 L1
Ответ: 1 Ом