Метод координат. Координаты вектора

1.

2.

Разложение вектора по двум
неколлинеарным векторам
Лемма. Если векторы а и b коллинеарны и а = 0, то
существует такое число k, что b = ka.
a b
Док-во:
a b
IbI Т.к. k≥0, то ka b k = - IbI Т.к. k<0, то ka b
k =
IaI
IaI
IbI
IbI • IaI = IbI
IkaI = IkI • IaI =
• IaI = IbI IkaI = IkI • IaI =
IaI
IaI
b = ka
b = ka
b
b
a
IbI
k =
IaI
a
ka
k =-
IbI
IaI
ka

3.

Пусть a и b – два данных вектора. Если
вектор p представлен в виде p = xa + yb,
где x и y некоторые числа, то говорят, что
вектор p разложен по векторам a и b. Числа
x и y называются коэффициентами разложения.
b, a – неколлинеарные векторы
b
p
N
P
OM = 3a
p
а
ON = 2b
b
О а
OP = OM + ON
M
OP = 3a +2b

4.

Теорема. Любой вектор можно разложить
по двум данным неколлинеарным векторам,
причем
коэффициенты
разложения
определяются единственным образом.
Док-во:
1) p коллинеарен b
B
p
b
a
p = 0•a + y•b
b
O
По лемме о коллинеарных
векторах p = yb, где y –
некоторое число
a
A

5.

Теорема. Любой вектор можно разложить
по двум данным неколлинеарным векторам,
причем
коэффициенты
разложения
определяются единственным образом.
Док-во:
2) p не коллинеарен ни a, ни b
OA = a
p
b
a
P
B
p
b
O
OB = b
OP = p
p = OA1 + A1P
OA1 = xa A1P = yb
a A A1
p = xa + yb

6.

Теорема. Любой вектор можно разложить
по двум данным неколлинеарным векторам,
причем
коэффициенты
разложения
определяются единственным образом.

7.

Y
C 4
A
По рисунку определите
2 точек(устно)
координаты
B
D
F
-4
-2 0
2
-2
М -4
E
-6
4
К
X

8.

Отложим от начала координат О единичные векторы
i и j так, чтобы направление вектора j cовпало с
направлением оси Ox, а направление вектора j – с
направлением оси Oy. Векторы i и j назовем
координатными векторами.
Y
В
5i
ОА{3;2}
-3j
ВС{-3;5}
A
С
j
0
i
X

9.

Начертите прямоугольную систему
координат. Постройте векторы с началом
в точке О, заданные координатами a{4;0},
b{3;-2}, c{5;5}, d{-6;-3}, e{-4;1},
Y
c
e
d
a
b
X

10.

i, j – координатные векторы
Y
j
i
OC = OA + OB
OA = 2i
A
O
X
OB = -2,5j
OC = 2i-2,5j
OC {2,-2,5}
B
C

11.

Дома:
№917,№919(см.слайд 10)
№920(б,г)