Специальная теория относительности

1.

ГЛАВА I. МЕХАНИКА
§12. Специальная теория
относительности
О. И. Лубенченко
НИУ МЭИ
Кафедра физики им. В. А. Фабриканта
2020

2.

§12. СТО
2
I. 4-пространство
Время относительно.
4-пространство — линейное риманово (неевклидово) пространство
координат и времени.
4-радиус-вектор:
ict
x
r
y
z
c — константа, имеющая размерность скорости, i — мнимая единица
Модуль 4-радиуса-вектора r
x 2 y 2 z 2 c 2t 2
Мировая точка — точка в 4-пространстве.
Мировая линия — кривая в 4-пространстве.
ПРИМЕР
МТ покоится в 3-пространстве.
x
0
ict

3.

§12. СТО
3
II. Преобразования Лоренца
II закон Ньютона инвариантен относительно
y′
t'
y
преобразований Галилея, а уравнения Максвелла —
t
v
нет. Надо получить другие преобразования,
опираясь на свойства симметрии пространствавремени.
K′
Искомые преобразования должны иметь вид
x′
K O′
x f x , t , v
x
O
t g x , t , v
При сдвиге координаты в системе отсчёта K на Δx и времени на Δt в системе K′
Δx f x Δx , t Δt , v f x , t , v f Δx ,Δt , v
Δt g x Δx , t Δt , v g x , t , v g Δx ,Δt , v
x a1 x a2 vt
Это возможно только тогда, когда функции f и g — линейные:
a3
t v x a4t
Безразмерные коэффициенты a1, a2, a3, a4 можно найти с помощью
элементарных преобразований.

4.

§12. СТО
4
Преобразования Лоренца
K′ → K
x
x vt
v2
1 2
c
y y
z z
v
t 2 x
c
t
v2
1 2
c
K → K′
x
x vt
v2
1 2
c
y y
z z
v
t 2x
c
t
v2
1 2
c
c = const
Из опыта известно, что c — скорость света в вакууме.

5.

§12. СТО
5
Постулаты Эйнштейна
1. Механический принцип относительности
2. Скорость распространения взаимодействий инвариантна относительно
преобразований.
II. Следствия из преобразований Лоренца
1. Инвариантность интервала
Интервал ΔS12 между событиями 1 и 2:
2
ΔS12
c 2 t 2 t 1 x2 x1 y2 y1 z2 z1
2
2
2
2
Интервал — инвариант преобразований Лоренца: ΔS12 inv
Доказательство
2
dS12
c 2dt 2 dx 2 dy 2 dz 2
v
dt 2 dx
c
dt
v2
1 2
c
dx
2 c 2dt 2 dx 2 dy 2 dz 2
dS12
dx vdt
1
2
v
c2
dy dy
dz dz

6.

§12. СТО
6
2
v
c 2dt 2 2 dx 2 2vdxdt dx 2 v2dt 2 2vdxdt
2
2
c
2
dS12
dy
dz
v2
1 2
c
v2
2
2
2
c v dt 2 1 dx 2
c
2
2
2
2
2
2
2
2
dy
dz
c
dt
dx
dy
dz
dS
12
v2
1 2
c
2. Сокращение длины движущегося отрезка (лоренцево сокращение)
t′
t y′
y
1
K
O
O′
l0
Собственная длина отрезка — длина
отрезка в системе отсчёта, в которой он покоится:
v
2
K′
x′
x1
x2
x
l0 l
l0 x2 x1
l x 2 x1

7.

§12. СТО
7
x2 vt
l0
v2
1 2
c
x1 vt
v2
1 2
c
x 2 x1
v2
1 2
c
l
v2
1 2
c
(Измерение координат x1 и x2 проводится одновременно.)
l l0
v2
1 2
c
3. Замедление хода движущихся часов
t y′
y
K
O
O′
t′
K′
Точка подвеса маятника покоится относительно
системы K′: x1 x2
v
Период колебаний маятника в системе отсчёта K′,
относительно которой точка подвеса маятника
покоится — период собственных колебаний:
x1 x2
x′
T0 T
T t 2 t1
x
События 1 и 2 — два последовательных прохождения маятником положения
равновесия (или любой другой фазы колебаний)

8.

§12. СТО
8
В системе отсчёта K события 1 и 2 происходят в точках с разными
координатами x1 и x2, период колебаний маятника T t 2 t 1
T
v
v
x
t
x
1
2 2
2 1
t 2 t1
c
c
2
2
v
v
v2
1 2
1 2
1 2
c
c
c
t 2
T
T0
v2
1 2
c
4. Относительность одновременности
t 2 t1
x2 x1
t 2 t1
x2 x1
t2 t1
возможно t2 < t1.
Если между событиями 1 и 2 причинно-следственная связь, то она не
нарушается и t2 > t1.

9.

§12. СТО
9
5. Релятивистский закон сложения скоростей
МТ движется со скоростью u относительно системы отсчёта K′. Её скорость в
системе отсчёта K равна u.
t′
t y′
y
v
u
K′
K
dx
dt
dx
ux
dt
u x
O′
x′
O
x
ux
dx
dx vdt
v2
1 2
c
u v
dx vdt
x
v
v
dt 2 dx 1 2 u x
c
c
dy
dt
dy
uy
dt
u y
dz
dt
dz
uz
dt
u z
dy dy dz dz dt
v
dx
2
c
v2
1 2
c
dt
v2
v2
dy 1 2 u y 1 2
c
c
uy
v
v
dt 2 dx 1 2 u x
c
c

10.

§12. СТО
ux
10
u x v
v
1 2 u x
c
v2
u y 1 2
c
uy
v
1 2 u x
c
a inv
dux
a
x dt
a du x
x dt
…
v2
u z 1 2
c
uz
v
1 2 u x
c