Кривые линии и поверхности

1.

Лекция 5
КРИВЫЕ ЛИНИИ
И ПОВЕРХНОСТИ

2.

Кривые линии

3.

Кривые линии
Кривая линия определяется как траектория
движения точки при постоянно изменяющемся
направлении движения.

4.

Кривые линии
Кривая линия определяется как траектория
движения точки при постоянно изменяющемся
направлении движения.
Кривые линии могут
пространственными.
быть
плоскими
и

5.

Кривые линии
Кривая линия определяется как траектория
движения точки при постоянно изменяющемся
направлении движения.
Кривые линии могут
пространственными.
быть
Кривые линии
1. Плоскости уровня
плоскими
и

6.

Кривые линии
Кривая линия определяется как траектория
движения точки при постоянно изменяющемся
направлении движения.
Кривые линии могут
пространственными.
быть
Кривые линии
1. Плоскости
уровня
1. Плоские
плоскими
и

7.

Кривые линии
Кривая линия определяется как траектория
движения точки при постоянно изменяющемся
направлении движения.
Кривые линии могут
пространственными.
быть
плоскими
Кривые линии
1. Плоскости
уровня
1. Плоские
2. Пространственные
и

8.

Все точки плоской линии лежат в одной
плоскости,
например,
окружность,
эллипс,
парабола, гипербола, спираль Архимеда и т.д.

9.

Все точки плоской линии лежат в одной
плоскости,
например,
окружность,
эллипс,
парабола, гипербола, спираль Архимеда и т.д.
__________
__________
__________
__________

10.

Все точки плоской линии лежат в одной
плоскости,
например,
окружность,
эллипс,
парабола, гипербола, спираль Архимеда и т.д.
Окружность
__________
__________
__________
__________

11.

Все точки плоской линии лежат в одной
плоскости,
например,
окружность,
эллипс,
парабола, гипербола, спираль Архимеда и т.д.
Окружность
__________
Эллипс
__________
__________
__________

12.

Все точки плоской линии лежат в одной
плоскости,
например,
окружность,
эллипс,
парабола, гипербола, спираль Архимеда и т.д.
Окружность
__________
Эллипс
__________
Парабола
__________
__________

13.

Все точки плоской линии лежат в одной
плоскости,
например,
окружность,
эллипс,
парабола, гипербола, спираль Архимеда и т.д.
Окружность
__________
Эллипс
__________
Парабола
__________
Гипербола
__________

14.

Все точки плоской линии лежат в одной
плоскости,
например,
окружность,
эллипс,
парабола, гипербола, спираль Архимеда и т.д.
Окружность
__________
Эллипс
__________
Парабола
__________
Гипербола
__________
Кривая
называется
алгебраической,
если описывается каким-либо уравнением.

15.

Плоские алгебраические кривые
ЛЕМНИСКАТА
ТРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ
РОЗА
ЦИКЛОИДА
ЧЕТЫРЕХЛЕПЕСТКОВАЯ
РОЗА
ЭВОЛЬВЕНТА ЭЛЛИПСА
КАРДИОИДА
ДЕКАРТОВ ЛИСТ
ЭВОЛЬВЕНТА ОКРУЖНОСТИ
ЦИССОИДА ДИОКЛА
СПИРАЛЬ АРХИМЕДА

16.

Пространственные кривые

17.

Пространственные кривые
Пространственные кривые линии это те
линии, у которых точки не лежат в одной
плоскости.

18.

Пространственные кривые
Пространственные кривые линии это те
линии, у которых точки не лежат в одной
плоскости.
Например, винтовая линия. Винтовая
линия может быть цилиндрической и
конической.

19.

Пространственные кривые
Пространственные кривые линии это те
линии, у которых точки не лежат в одной
плоскости.
Например, винтовая линия. Винтовая
линия может быть цилиндрической и
конической.

20.

Цилиндрическая винтовая линия

21.

Цилиндрическая винтовая линия
Цилиндрическая
винтовая
линия
образуется
путем
движения
точки,
совершающей
равномерно-поступательное
движение по прямой, параллельной некоторой
оси, вокруг которой прямая, в свою очередь,
вращается равномерно.

22.

Цилиндрическая винтовая линия
Цилиндрическая
винтовая
линия
образуется
путем
движения
точки,
совершающей
равномерно-поступательное
движение по прямой, параллельной некоторой
оси, вокруг которой прямая, в свою очередь,
вращается равномерно.
Коническая винтовая линия

23.

Цилиндрическая винтовая линия
Цилиндрическая
винтовая
линия
образуется
путем
движения
точки,
совершающей
равномерно-поступательное
движение по прямой, параллельной некоторой
оси, вокруг которой прямая, в свою очередь,
вращается равномерно.
Коническая винтовая линия
Траекторию
точки,
движущейся
по
образующей вращающегося вокруг своей оси
прямого
кругового
конуса,
называют
конической винтовой линией.

24.

25.

Коническая винтовая линия

26. Кривые поверхности

27. Кривые поверхности

Поверхность - это совокупность всех
последовательных положений некоторой
перемещающейся в пространстве линии.

28. Кривые поверхности

Поверхность - это совокупность всех
последовательных положений некоторой
перемещающейся в пространстве линии.
Линию, производящую поверхность, в
каждом
ее
положении
называют
образующей,
а
линию,
по
которой
перемещается
образующая,
называют
направляющей.

29.

Поверхности
1. Плоскости уровня

30.

Поверхности
Линейчатые
1. Плоскости
уровня

31.

Поверхности
Линейчатые
1. Плоскости
уровня
Нелинейчатые (кривые)

32.

Поверхности
Линейчатые
1. Плоскости
уровня
Нелинейчатые (кривые)
У линейчатых поверхностей образующей
является прямая линия.

33.

Линейчатые поверхности
(образующей является прямая линия)

34.

Линейчатые поверхности
(образующей является прямая линия)
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
образуется прямой линией, сохраняющей во
всех своих положениях параллельность
некоторой прямой линии и проходящей
последовательно
через
все
точки
направляющей.

35.

Линейчатые поверхности
(образующей является прямая линия)
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
образуется прямой линией, сохраняющей во
всех своих положениях параллельность
некоторой прямой линии и проходящей
последовательно
через
все
точки
направляющей.

36.

КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
образуется прямой линией, проходящей через
некоторую неподвижную точку и через все
точки направляющей a. Неподвижная точка
S - вершина конической поверхности.

37.

КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
образуется прямой линией, проходящей через
некоторую неподвижную точку и через все
точки направляющей a. Неподвижная точка
S - вершина конической поверхности.

38.

Поверхности
Линейчатые
1. Плоскости
уровня
Нелинейчатые (кривые)
У линейчатых поверхностей образующей
является прямая линия.
Если образующая поверхности кривая
линия,
то
поверхность
называется
нелинейчатой или кривой.

39.

Поверхности
Линейчатые
1. Плоскости
уровня
Нелинейчатые (кривые)
У линейчатых поверхностей образующей
является прямая линия.
Если образующая поверхности кривая
линия,
то
поверхность
называется
нелинейчатой или кривой.
Линейчатые
поверхности
называются
развертываемыми, если их можно без
разрывов и складок совместить с плоскостью
(цилиндрическая, коническая и др.).

40.

41.

Поверхности вращения

42.

Поверхности вращения
Поверхностью вращения называют
поверхность, получаемую вращением
какой-либо образующей линии вокруг
неподвижной
прямой
оси
поверхности.

43.

Поверхности вращения
Поверхностью вращения называют
поверхность, получаемую вращением
какой-либо образующей линии вокруг
неподвижной
прямой
оси
поверхности.
Поверхность вращения можно
задать образующей и положением
оси.

44.

Поверхности вращения
Поверхностью вращения называют
поверхность, получаемую вращением
какой-либо образующей линии вокруг
неподвижной
прямой
оси
поверхности.
Поверхность вращения можно
задать образующей и положением
оси.
Каждая
точка
образующей
описывает окружность.

45.

Плоскость, перпендикулярная к оси
вращения, пересекает поверхность по
окружности.

46.

Плоскость, перпендикулярная к оси
вращения, пересекает поверхность по
окружности.
Такие
окружности
называют
параллелями.

47.

Плоскость, перпендикулярная к оси
вращения, пересекает поверхность по
окружности.
Такие
окружности
называют
параллелями.
Наибольшая
параллель
называется
экватором, наименьшая – горлом.

48.

Плоскость, перпендикулярная к оси
вращения, пересекает поверхность по
окружности.
Такие
окружности
называют
параллелями.
Наибольшая
параллель
называется
экватором, наименьшая – горлом.
Плоскость, проходящая через ось
вращения, называется меридиональной.

49.

Плоскость, перпендикулярная к оси
вращения, пересекает поверхность по
окружности.
Такие
окружности
называют
параллелями.
Наибольшая
параллель
называется
экватором, наименьшая – горлом.
Плоскость, проходящая через ось
вращения, называется меридиональной.
Линии, по которым эта плоскость
пересекает
поверхность
вращения,
называют образующими или меридианами.

50.

Наиболее распространенные
поверхности вращения

51.

Наиболее распространенные
поверхности вращения
Прямой круговой конус

52.

Цилиндр

53.

Тор

54.

55.

56.

57.

Сфера

58.

Эллипсоид сжатый
(образуется вращением эллипса вокруг малой оси)

59.

Эллипсоид вытянутый
(образуется вращением эллипса вокруг большой оси)

60.

Параболоид вращения

61.

Однополостной гиперболоид

62.

Двуполостной гиперболоид

63.

Циклические и трубчатые поверхности

64.

Циклические и трубчатые поверхности
Циклической
поверхностью
называется
поверхность,
образованная
непрерывным
каркасом круговых сечений.

65.

Циклические и трубчатые поверхности
Циклической
поверхностью
называется
поверхность,
образованная
непрерывным
каркасом круговых сечений.
Распространенные
на
практике
разновидности циклических поверхностей трубчатые
поверхности
переменного
или
постоянного радиуса.

66.

Циклические и трубчатые поверхности
Циклической
поверхностью
называется
поверхность,
образованная
непрерывным
каркасом круговых сечений.
Распространенные
на
практике
разновидности циклических поверхностей трубчатые
поверхности
переменного
или
постоянного радиуса.

67.

68. Поверхности Каталана

69. Поверхности Каталана

Поверхность Каталана – линейчатая
поверхность,
прямолинейные
образующие
которой параллельны одной и той же плоскости.

70. Поверхности Каталана

Поверхность Каталана – линейчатая
поверхность,
прямолинейные
образующие
которой параллельны одной и той же плоскости.
Цилиндроидом называется поверхность,
образованная движением прямой линии,
скользящей
по
двум
криволинейным
направляющим, не принадлежащим одной
плоскости, и остающейся во всех своих
положениях параллельной некоторой заданной
плоскости.
Эта
плоскость
называется
плоскостью параллелизма.

71. Цилиндроид

72.

Коноидом
называется
поверхность,
образованная движением прямой линии,
скользящей по двум направляющим, одна из
которых – кривая, а вторая – прямая, и
остающейся во всех своих положениях
параллельной
некоторой
плоскости
параллелизма.

73. Коноид

74.

Коноидом
называется
поверхность,
образованная движением прямой линии,
скользящей по двум направляющим, одна из
которых – кривая, а вторая – прямая, и
остающейся во всех своих положениях
параллельной
некоторой
плоскости
параллелизма.
Косой плоскостью называется поверхность,
образованная движением прямой линии,
скользящей по двум скрещивающимся прямым
и остающейся во всех своих положениях
параллельной
некоторой
плоскости
параллелизма.

75. Косая плоскость

76.

Если в качестве кривой
направляющей
коноида
взять
цилиндрическую
винтовую линию, в качестве
прямой направляющей –
ось винтовой линии, а за
плоскость параллелизма –
плоскость,
перпендикулярную
оси
винтовой
линии,
то
поверхность, образованная
при
этих
условиях,
называется
винтовым
коноидом
или
прямым
геликоидом.

77.

Если в качестве кривой
направляющей
коноида
взять
цилиндрическую
винтовую линию, в качестве
прямой направляющей –
ось винтовой линии, а за
плоскость параллелизма –
плоскость,
перпендикулярную
оси
винтовой
линии,
то
поверхность, образованная
при
этих
условиях,
называется
винтовым
коноидом
или
прямым
геликоидом.

78.

Гранные поверхности

79.

Гранные поверхности
Многогранники
пространственные
плоскими
–
замкнутые
фигуры, ограниченные
многоугольниками.

80.

Гранные поверхности
Многогранники
пространственные
плоскими
–
замкнутые
фигуры, ограниченные
многоугольниками.
Из всего многообразия многогранников
наибольший
практический
интерес
представляют призмы, пирамиды, правильные
многогранники и их разновидности.

81.

Элементы гранных поверхностей

82.

Элементы гранных поверхностей
Пирамида

83.

Элементы гранных поверхностей
Призма
Пирамида

84.

Нахождение точек на поверхностях

85.

Нахождение точек на поверхностях
Точка принадлежит поверхности, если она
принадлежит любой линии, принадлежащей этой
поверхности.

86.

Нахождение точек на поверхностях
Точка принадлежит поверхности, если она
принадлежит любой линии, принадлежащей этой
поверхности.
Точки на поверхностях вращения находят при
помощи параллелей и меридианов.

87.

Нахождение точек на поверхностях
Точка принадлежит поверхности, если она
принадлежит любой линии, принадлежащей этой
поверхности.
Точки на поверхностях вращения находят при
помощи параллелей и меридианов.
То есть на поверхности строят геометрически
простые линии:

88.

Нахождение точек на поверхностях
Точка принадлежит поверхности, если она
принадлежит любой линии, принадлежащей этой
поверхности.
Точки на поверхностях вращения находят при
помощи параллелей и меридианов.
То есть на поверхности строят геометрически
простые линии:
ОКРУЖНОСТИ

89.

Нахождение точек на поверхностях
Точка принадлежит поверхности, если она
принадлежит любой линии, принадлежащей этой
поверхности.
Точки на поверхностях вращения находят при
помощи параллелей и меридианов.
То есть на поверхности строят геометрически
простые линии:
ОКРУЖНОСТИ
или

90.

Нахождение точек на поверхностях
Точка принадлежит поверхности, если она
принадлежит любой линии, принадлежащей этой
поверхности.
Точки на поверхностях вращения находят при
помощи параллелей и меридианов.
То есть на поверхности строят геометрически
простые линии:
ОКРУЖНОСТИ
или
ПРЯМЫЕ

91.

Нахождение точек
на конусе

92.

Нахождение точек
на конусе

93.

Нахождение точек
на конусе
Нахождение точек
на сфере

94.

Нахождение точек
на конусе
Нахождение точек
на сфере

95.

Нахождение точек
на торовой поверхности

96.

Нахождение точек
на торовой поверхности

97.

Нахождение точек
на торовой поверхности
Нахождение точек
на гранных поверхностях