Интегральное исчисление

1.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИИ
Тема лекции: «Интегральное исчисление» (2 часа).
Цель лекции: познакомить обучающихся с понятиями первообразной и
интегралла, изучить основные правила интегрирования.
Учебные вопросы:
1. Понятие первообразной функции.
2. Понятие неопределённого интеграла.
3. Основные методы интегрирования.
4. Определенный интеграл.

2.

1. Понятие первообразной функции
Как
отмечалось
дифференциального
на
исчисления
первой
является
лекции,
основной
задачей
отыскание производной
f '(x)
заданной функции f (x) . Такого рода задачи называются прямыми задачами.
В свою очередь, обратной задачей является нахождение по данной f(x)
такой функции F(x), чья производная F (x), равняется заданной, то есть,
чтобы
F (x)= f(x). Такое “восстановление” функции по её известной
производной – одна из основных задач интегрального исчисления.
Определение 1.
Функция
F(x)
называется
первообразной
для
функции
f(x)
на
некотором промежутке Х, если х Х выполняется равенство F'(x) f (x) .
Пример 1.
Функция F(x) = sin x является первообразной для функции f(x) = cos x
на всей числовой прямой, поскольку (sin x ) = cos x , x R .
Пример 2.
Функция F(x) = x 3 есть первообразная для функции f (x) 3х 2 на всей
числовой прямой, так как (x 3 ) 3х 2 , x R .
Задача отыскания по заданной функции f (x) её первообразной F(x)
решается неоднозначно. Действительно, если F (x) – первообразная для f (x) ,
то другая функция F(x) C (где С есть произвольная постоянная), также
является первообразной для f(x), поскольку C R выполняется равенство:
F(x) C f (x) .
Например, для f (x) cos х первообразной является не только F(x) sin x ,
но и функция F(x) sin x C , поскольку sin x C cos x . Налицо
неоднозначность решения задачи поиска первообразной.
Лемма 1. Функция, производная которой на промежутке Х равна нулю,
постоянна на нем.
Опустим ее доказательство и перейдем к доказательству теоремы.

3.

Теорема 1. Если F(x) – первообразная для функции f (x) на некотором
промежутке Х, то любая другая первообразная для f (x) на том же промежутке
может быть представлена в виде F(x) C, где С – произвольная постоянная
величина (С R).
Доказательство:
Пусть задана F(x) – первообразная для функции f (x) на некотором
промежутке Х, то есть F'(x) f (x) . Если Ф'(x) – другая первообразная для f (x)
на Х, то и Ф'(х ) f (x ) . Тогда x X справедливо, что
[