Интегральное исчисление

1. Математика Часть 2

УГТУ-УПИ
2007 г.

2.

Лекция 5
Интегральное исчисление
1. Неопределенный интеграл и его свойства.
2. Методы интегрирования.
3. Классы интегрируемых функций.

3.

1. Неопределенный интеграл и его свойства.
Функция
Функция F(x)
F(x) называется
называется первообразной
первообразной функцией
функцией для
для
f(x)
f(x) на
на интервале
интервале (a,b),
(a,b), если
если F(x)
F(x) дифференцируема
дифференцируема на
на
(a,b)
(a,b) ии
F ' ( x) f ( x)
Примеры.
1. f ( x )
2 x F ( x) x 2
2.
f ( x) cos x F ( x) sin x
3.
f ( x)
1
2 x
F ( x) x

4.

Т
Если F1(x) и F2(x) - две первообразные
для f(x) на (a,b), то
F1(x) = F2(x) + С ,
где С - некоторая константа.

5.

Доказательство.
F ( x) F ( x) f ( x)
'
'
F1 ( x) F2 ( x) 0
F1 ( x) F2 ( x) 0 F1 ( x) F2 ( x) С
'
1
'
2
Вывод.
Если
Если F(x)
F(x) -- первообразная
первообразная для
для функции
функции f(x)
f(x) на
на
интервале
интервале (a,b),
(a,b), то
то Ф(х)
Ф(х) == F(x)+
F(x)+ СС -- также
также её
её
первообразная.
первообразная.

6.

Множество
Множество всех
всех первообразных
первообразных для
для функции
функции f(x)
f(x)
на
на интервале
интервале (a,b)
(a,b) называется
называется неопределенным
неопределенным
интегралом
интегралом от
от f(x)
f(x) на
на этом
этом интервале
интервале ..
Обозначение неопределённого интеграла:
f ( x)dx F ( x) C

7.

Свойства неопределенного интеграла.
1.
d
f ( x )dx f ( x )dx;
2.
dF ( x ) F ( x ) C ;
3.
Af ( x )dx A
f ( x )dx;
4.
f ( x )dx
g( x )dx;
f ( x ) g( x ) dx

8.

Таблица неопределенных интегралов.
1.
2.
3.
0dx C ;
Adx Ax C ;
1
x
x dx
C ; 1
1
dx
x ln x C ;
x
a
x
a dx
C,
4.
ln a
5.
sin xdx cos x C ;
x
x
e
dx
e
C,

9.

6.
7.
8.
9.
10.
11.
cos xdx sin x C ;
dx
tgx C ;
cos x
2
dx
ctgx C ;
2
sin x
dx
x
a 2 x 2 arcsin a C ;
dx
1
x
arctg C ;
2
2
a
a
a x
shxdx chx C ;

10.

12.
chxdx shx C ;
13.
dx
thx C ;
2
ch x
14.
15.
dx
cthx C ;
2
sh x
dx
2
2
ln(
x
a
x
) C;
a 2 x 2
dx
16.
x
17.
dx
1
a x
ln
C;
2
2
2a a x
a x
2
a2
ln x x 2 a 2 C ;

11.

2
Методы интегрирования.
I. Замена переменной в неопределенном
интеграле.
Т
Если
1) x ( t ),
x ' '( t )
2)
то
- непрерывны,
t 1 ( x ) - обратная функция,
f ( x )dx
f ( ( t )) '( t )dt

12.

Доказательство.
Производная левой части:
f
(
x
)
dx
f
(
x
);
Производная правой части:
f ( ( t ))
'( t )dt
x
1
f ( ( t ))
'( t )dt
t
'( t )
1
f ( ( t ))
'( t )
f ( x );
'( t )

13.

Замечание.
Формулой замены переменной можно пользоваться
“слева - направо’’ и “справа - налево’’
(подведение новой переменной под знак дифференциала).
Примеры.
1.
t sin x
sin x cos xdx sin xd sin x
3/ 2
t dt
1/ 2
t
C
3/ 2
sin x
3/ 2
3/ 2
C;

14.

2.
xdx
2
x 1
1 d x 1
2
2
x 1
2
t x2 1
1 dt
1
1
ln | t | C ln x 2 1 C ;
2 t
2
2
II. Интегрирование по частям.
Рассмотрим
d (u
v) u
dv v
du

15.

udv
u
v
vdu
1.
x sin xdx
u x; dv sin xdx;
du dx; v cos x;
x cos x
cos xdx x cos x sin x C ;
u arctgx; dv dx;
arctgxdx
2.
dx
du
; v x;
2
1 x
xdx
xarctgx 2
1 x
Примеры.
1
xarctgx ln(1 x 2 ) C ;
2

16.

1. В интегралах вида
P x e
k
за
x
dx;
P x sin xdx;
P x cos xdx
k
k
u обозначается многочлен Pk x .
P x ln xdx;
P x arccos xdx;
P
x
arcsin
xdx
;
P x arcctgxdx
P
x
arctg
xdx
;
2. В интегралах вида
k
k
k
k
k
за u обозначается логарифм или обратная
тригонометрическая функция.
Замечание.
Формулу интегрирования по частям можно применять
несколько раз.

17.

x
e
cos xdx
3.
u e x ; dv cos xdx;
du e x dx; v sin x;
e sin x
e sin xdx
x
x
u e ; dv sin xdx;
x
du e x dx; v cos x;
e x sin x e x cos x
e x cos xdx
e x sin x e x cos x
e x cos xdx;
Обозначим
J
ex
cos xdx

18.

J e (sin x cos x ) J ;
x
2 J e x (sin x cos x );
1 x
J e (sin x cos xС
)
2
Такие интегралы называются возвратными.

19.

3 Классы интегрируемых функций.
Простейшие дроби.
К простейшим дробям относятся:
A
I.
x a
Mx N
III . 2
,D 0
x px q
II .
IV .
x
A
x a
Mx N
2
px q
n
n
,D 0
A,M,N,a,p,q - действительные числа, n – натуральное
число.

20.

d x a
A
dx
I . dx A
A
x a
x a
x a
A ln | x a | C ;
II .
A
x a
dx
n
dx A
A
n
x a
( x a ) n 1
A
C
( n 1)
x a d x a
n
A
C;
n 1
(1 n)( x a )

21.

Mx N
III . 2
dx
x px q
Здесь
?(2 x p) ?
x 2 px q dx
2 x p ( x 2 px q )
M
Mp
(2 x p ) N
2
2 dx
x 2 px q
M (2 x p)dx Mp
dx
2
N
2
2 x px q
2 x px q

22.

M (2 x p)dx Mp
dx
2
N
2
2 x px q
2 x px q
M d x px q
2
J
2
x px q
2
M
ln x 2 px q J ;
2
dx
Mp
J N
2
2 x px q
x 2 px q ( x p / 2)2 q p 2 / 4
q p2 / 4 a 2

23.

Mp d ( x p / 2)
N
2
2
2
x p / 2 a
x p/2
Mp 1
N
arctg
C;
2 a
a
Mx N
M
2
dx ln( x px q )
2
2
x px q
x p/2
Mp 1
N
arctg
C
2
2 q p2 / 4
q p /4

24.

IV .
x
M x N
2
px q
n
dx
M
Mp
(2 x p) N
2
2 dx
n
2
x px q
M
1
J;
n 1
2 (1 n) x 2 px q

25.

dx
Mp
J N
2
x 2 px q
Mp dt
N
;
n
2 t 2 a2
dt
Jn
t 2 a2
n
t x p/2
n
p2
a q
4

26.

dt
Jn
t 2 a2
n
u
1
t
du
2nt
1
2
a
2
n
; dv dt;
2nt
t 2 a2
n 1
t
tdt
n 1
2
2
2
2
t a
t a
2
2
2
1
t a a
t 2n
dt
n
n 1
2
2
2
2
t a
t a
n
t
t
2
a
2
2nJ n 2na J n 1 ;
2
n
dt ; v t ;

27.

J n 1
t
2na t a
2
2
2
n
2n 1
Jn
2
2na
- рекуррентная (возвратная) формула.
dt
1
t
J1
arctg C
2
2
a
a
t a

28.

Пример.
x
dx
2
4
Решение.
J 3 ?, a 2;
J 2 ?, n 1;
3
?
1
x
J 1 arctg C ;
2
2
x
1
1
x
J2
arctg C
;
2
2
8( x 4) 8 2
J 3 ?, n 2;
x
3 x
1
x
J3
2
arctg
C;
2
2
2
16( x 4) 16
8( x 4) 16