Интегральное исчисление

1.

Интегральное исчисление
Первообразная
Неопределенный интеграл

2.

Интегрирование – операция, обратная
дифференцированию.
F'(x) = f(x)
F(x) первообразная функции f(x)

3.

Первообразных для любой функции бесконечное множество,
например, дана функция
f(x) = 12x2 + 6x – 5
Первообразная для этой функции: F(x) = 4x3 + 3x2 – 5x + 7,
Т.к. по определению: F'(x) = f(x), вычислим производную
первообразной F(x) :
F'(x) = (4x3 + 3x2 – 5x + 7)’ = 12x2 + 6x – 5 = f(x)
Но есть ещё множество функций, производная которых равна
данной функции, например, F(x) = 4x3 + 3x2 – 5x + 100
F'(x) = (4x3 + 3x2 – 5x + 100)’ = 12x2 + 6x – 5 = f(x) и т.д.
Поэтому, множеством первообразных данной функции
(т.е. неопределенным интегралом) является функция вида:
3 + 3x2 – 5x + С,
f(x)
dx
=
F(x)
+
C
=
4x
25.07.2023
где
C – любое число (const)
3

4.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x),
если (F(x))'
= f(x).
Множество всех первообразных для функции f(x) называется
неопределенным интегралом и обозначается
∫ f(x)dx
где
= F(x) + C
∫ - знак операции интегрирования,
f(x) – подынтегральная функция,
dx– знак операции дифференцирования.
f(x)dx – подынтегральное выражение,
С – произвольная постоянная (С = const),

5.

Свойства неопределенного интеграла:
∫ (f(x) + g(x))dx =∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx + C
∫
kf(x)dx =k∫ f(x)dx

6.

Таблица неопределенных интегралов
∫ dx
∫
∫
∫
= x + C
2
x
xdx =
+ C
2
3
x
x dx =
+ C
3
2
n +1
x
n
x dx =
n +1
25.07.2023
dx
∫
= ln x + C
x
dx
∫
= 2 x + C
x
∫ e dx
x
x
= e + C
6

7.

Таблица неопределенных интегралов
∫
cos
xdx
=
sin
x
+
C
∫
dx
=
tgx
+
C
∫ cos x
sin xdx =← cos x + C
2
∫
dx
=← ctgx + C
2
sin x

8.

25.07.2023
8

9.

Найти неопределенный интеграл для функции:
7
f ( x) x
f ( x) x7
7 1
x
x dx 7 1 С
7
x8
1 8
C x C
8
8
1 8
x dx 8 x C
7
Пишем
∫ - знак интегрирования
x7– подынтегральную функцию
Пишем
dx - знак дифференцирования
Пишем
Вычисляем интеграл:
показатель
x7+1 и записывается в числитель
и делится на показатель степени 7+1
(показатель идет в знаменатель)
n 1
x
формула : x ndx
С
n 1
25.07.2023
x увеличивается на 1:
добавляем постоянную
С (const)
9

10.

25.07.2023
10

11.

Пример №1
Интеграл суммы выражений равен сумме
интегралов этих выражений
Постоянный
множитель можно
вынести за знак
интеграла

12.

25.07.2023
12

13.

Пример №2
Найти неопределенный интеграл:
3 x5 4 cos x 2 x 1 dx
3 x 5dx 4 cos xdx 2 xdx 1dx
3 x 5dx 4 cos xdx 2 xdx 1 dx
x6
c
2
формула :
n 1
x
n
x
dx n 1
Разобьем интеграл
на несколько
интегралов:
Вынесем числовой
множитель за знак
интеграла:
Вычислим
каждый
интеграл
отдельно:
5 1
6
6
x
x
x
3 x 5dx 3
c 3
c
c
5 1
6
2

14.

Пример №2
Найти неопределенный интеграл:
3 x5 4 cos x 2 x 1 dx
3 x 5dx 4 cos xdx 2 xdx 1dx
3 x 5dx 4 cos xdx 2 xdx 1 dx
x6
c 4 sin x c
2
формула :
∫ cos xdx sin x C
Разобьем интеграл
на несколько
интегралов:
Вынесем числовой
множитель за знак
интеграла:
Вычислим
каждый
интеграл
отдельно:
4 cos xdx 4 sin x c

15.

Пример №2
Найти неопределенный интеграл:
3 x5 4 cos x 2 x 1 dx
Разобьем интеграл
на несколько
интегралов:
3 x 5dx 4 cos xdx 2 xdx 1dx
Вынесем числовой
множитель за знак
интеграла:
3 x 5dx 4 cos xdx 2 xdx 1 dx
x6
2
x
c
c 4 sin x c
2
формула :
x2
∫ xdx 2 C
2
Вычислим
каждый
интеграл
отдельно:
x
2 xdx 2
c x2 c
2

16.

Пример №2
Найти неопределенный интеграл:
3 x5 4 cos x 2 x 1 dx
3 x 5dx 4 cos xdx 2 xdx 1dx
3 x 5dx 4 cos xdx 2 xdx 1 dx
x6
2
x
c x c
c 4 sin x c
2
формула :
dx x C
Разобьем интеграл
на несколько
интегралов:
Вынесем числовой
множитель за знак
интеграла:
Вычислим
каждый
интеграл
отдельно:
1 dx x c

17.

Пример №2
Найти неопределенный интеграл:
3 x5 4 cos x 2 x 1 dx
3 x 5dx 4 cos xdx 2 xdx 1dx
3 x 5dx 4 cos xdx 2 xdx 1 dx
x6
2
x
c x c
c 4 sin x c
2
1 6
x 4 sin x x 2 x C
2
Разобьем интеграл
на несколько
интегралов:
Вынесем числовой
множитель за знак
интеграла:
Вычислим
каждый
интеграл
отдельно:
с + с + с + с = 4с
4с – это постоянная,
заменим ее одной С

18.

25.07.2023
18

19.

Найти множество всех первообразных для функции:
Пример №3
f ( x) 4 x 3 e x 5 x 2 7 x
4 x
3
x
2
e 5 x 7 x dx
Найдем неопределенный интеграл
2
4 x dx e dx 5 x dx 7 xdx
3
x
4 x 3dx e x dx 5 x 2dx 7 xdx
формуле :
x4 c
n 1
x
n
x
dx n 1
Разобьем интеграл
на несколько
интегралов:
Вынесем числовой
множитель за знак
интеграла:
Вычислим
каждый
интеграл
отдельно:
4
x
4 x 3dx 4
c x4 c
4

20.

Найти множество всех первообразных для функции:
Пример №3
f ( x) 4 x 3 e x 5 x 2 7 x
4 x 3 e x 5 x 2 7 x dx
2
4 x dx e dx 5 x dx 7 xdx
3
x
Вынесем числовой
множитель за знак
интеграла:
4 x 3dx e x dx 5 x 2dx 7 xdx
x
x c e с
4
Разобьем интеграл
на несколько
интегралов:
формула :
x
x
e
dx
e
C
∫
Вычислим
каждый
интеграл
отдельно:
e x dx e x с

21.

Найти множество всех первообразных для функции:
Пример №3
f ( x) 4 x 3 e x 5 x 2 7 x
4 x 3 e x 5 x 2 7 x dx
2
4 x dx e dx 5 x dx 7 xdx
3
x
4 x 3dx e x dx 5 x 2dx 7 xdx
Разобьем интеграл
на несколько
интегралов:
Вынесем числовой
множитель за знак
интеграла:
формула :
5 3
x c e с x c
3
4
x
x3
∫ x dx 3 C
2
Вычислим
каждый
интеграл
отдельно:
3
x
5 3
2
5 x dx 5
c x c
3
3

22.

Найти множество всех первообразных для функции:
Пример №3
f ( x) 4 x 3 e x 5 x 2 7 x
4 x 3 e x 5 x 2 7 x dx
2
4 x dx e dx 5 x dx 7 xdx
3
x
4 x 3dx e x dx 5 x 2dx 7 xdx
7 2
5 3
x c e с x c x c
2
3
x
4
Разобьем интеграл
на несколько
интегралов:
Вынесем числовой
множитель за знак
интеграла:
Вычислим
каждый
интеграл
отдельно:
формула :
2
x
∫ xdx 2 C
x2
7 2
7 xdx 7
c x c
2
2

23.

Найти множество всех первообразных для функции:
Пример №3
f ( x) 4 x 3 e x 5 x 2 7 x
4 x 3 e x 5 x 2 7 x dx
2
4 x dx e dx 5 x dx 7 xdx
3
x
4 x 3dx e x dx 5 x 2dx 7 xdx
7 2
5 3
x c e с x c x c
2
3
x
4
5 3 7 2
x e x x C
3
2
4
x
Разобьем интеграл
на несколько
интегралов:
Вынесем числовой
множитель за знак
интеграла:
Вычислим
каждый
интеграл
отдельно:

24.

25.07.2023
24

25.

Пример №4
?
Разобьем интеграл на несколько
интегралов и вынесем числовой
множитель за знак интеграла:
Вычислим каждый интеграл
отдельно:
Запишем выражение в
стандартном виде:

26.

25.07.2023
26

27.

Домашнее задание:
Срок сдачи 04.05.2020 до 10:00
1) Составить конспект:
а) определения основных понятий;
б) свойства неопределенного интеграла;
в) таблица неопределенных интегралов
2) Записать в тетрадь решение: Пример №1, №2, №3, №4
3) Найти неопределенный интеграл:
5
3
а ) 6 x 2 x x 8 dx
При выполнении задания
подробно описывать
каждый этап решения
6 5 4
2
б ) x x 4 x 100 dx
3
в ) Номер варианта соответствует порядковому
номеру фамилии студента в списке
25.07.2023
27

28.

Список студентов группы 112А
1 Бердникова Ксения
11 Исаеня Анастасия
21 Усманова Илиза
2 Боярко Кристина
12 Кабанова Александра
22 Фаткулина Анастасия
3 Бурая София
13 Макарова Виктория
23 Чукавина София
4 Вагина Карина
14 Нактормин Иван
24 Чумичкина Ксения
5 Гиндыш Марина
15 Медведева Татьяна
25 Шубина Анастасия
6 Давидович Галина
16 Редреева Елизавета
26 Щербакова Яна
7 Жмаева Анастасия
17 Родина Анастасия
27 Шуршина Анна
8 Зиемеле Юрата
18 Салова Полина
28 Саяпина Ирина
9 Иванова Александра
19 Сырыгина Валерия
29 Шуралева Маша
10 Имангулова Карина
20 Тетюцких Анастасия
25.07.2023
28

29.

Найти множество всех первообразных для функции f(x):
------------------------------------------------------------------Вариант 1:
f(x) = 3х ³- 4х² + 15sinх
------------------------------------------------------------------Вариант 2:
f(х) = 12х3 – 3x +7
------------------------------------------------------------------Вариант 3:
f(х) = 12х6 - 6х5 - 10х4 + 4х3- 4х2 + 6
------------------------------------------------------------------Вариант 4:
f(х) = 8x2 – 2x + ex - 3
------------------------------------------------------------------Вариант 5:
f(х) = x2 - 4sinx – 5cosx + ех
------------------------------------------------------------------Вариант 6:
f(х) = 14x7 + 15x4 -16x2 – 8x + 3
------------------------------------------------------------------Вариант 7:
f(х) = 15x8 + x3 + 4x2 – 2x – 11
------------------------------------------------------------------Вариант 8:
f(x) = 2cosx – 3sinx +4ex – 6x
------------------------------------------------------------------Вариант 9:
f(х) = 10x4 – 8x3 + 2cosx
------------------------------------------------------------------Вариант
f(х) = 5sin x – cos x +76x +12ex
25.07.202310:
29

30.

Найти множество всех первообразных для функции f(x):
-----------------------------------------------------------------Вариант 11: f(х) = 18x3 +6x4 - 5sin x + 1
------------------------------------------------------------------Вариант 12: f(х) = 2x2 + 4x - 1
------------------------------------------------------------------Вариант 13: f(х) = 25x6 -12x4- 3ех + cosx
------------------------------------------------------------------Вариант14:
f(х) = 4sinx – 5cosx + ех
------------------------------------------------------------------Вариант 15: f(х) = 7x5 - 6sinx + 2x2 - 3
------------------------------------------------------------------Вариант 16: f(х) = 4х5 - 12х4 + 17х3 - 15х2 + 4х – 3
------------------------------------------------------------------Вариант 17: f(х) = 14х6 - 12х5 - 5х4 + 8х3 - х2 + 3
------------------------------------------------------------------Вариант 18: f(х) =5x6 – 4x3 + sinx +2cosx
------------------------------------------------------------------Вариант 19: f(х) = 5sinx – cosx +7x + 12ex
------------------------------------------------------------------Вариант
20:
f(х) = 6x3 – 2x + 7ех
25.07.2023
------------------------------------------------------------------
30

31.

Найти множество всех первообразных для функции f(x):
------------------------------------------------------------------Вариант 21: f(х) = 7x5 – 5x4 + 3x – 4sinx
------------------------------------------------------------------Вариант 22: f(х) = 12х6 - 6х5 - 10х4 + 4х3 - 4х2 + 6
------------------------------------------------------------------Вариант 23: f(х) = 2sinx + 3cosx - 3x
------------------------------------------------------------------Вариант 24: f(х) = 4x5 – x + 5cosx + ех
------------------------------------------------------------------Вариант 25: f(х) = 15x8 + x3 + 4x2 – 2x -11
------------------------------------------------------------------Вариант 26: f(х) =14х5 + х4 - 7х3 - х2 + 4х
------------------------------------------------------------------Вариант 27:
f(х) = 10x4 – 9x3 + 5x – 3 + 8sinx
------------------------------------------------------------------Вариант 28: f(х) = 4sinx – 5x4 + 5x + ех
-----------------------------------------------------------------Вариант 29: f(х) = 2cos x – 3sin x + 4ex – 6x5
------------------------------------------------------------------Вариант
30:
f(х) = 14х6 - 12х5 - 5х4 + 8х3 - х2 + 3
25.07.2023
------------------------------------------------------------------
31

32.

Найти множество всех первообразных для функции f(x):
------------------------------------------------------------------Вариант 31:
f(х) = 4х5 - 3х3 - 7х2 + 4х - 9 + 3ex
------------------------------------------------------------------Вариант 32:
f(х) = х7 - 2х5 - 10х4 + 7х3 - 5х2 - 2
-------------------------------------------------------------------
25.07.2023
32