Свободный электронный газ

1.

2.

Свободный электронный газ
Рассмотрим свободный электронный газ в одномерной
потенциальной яме.
2
2 ( x) E ( x) 0
2m
( x) Ceikx
k2
2mE
2
2 2
k
E
2m
k
n
l
2 2 2
En
n
2
n=1,2,3…
2ml
В соответствии с
принципом Паули, в квантовом
состоянии, заданном четверкой квантовых чисел, может
находиться только один электрон. В квантовом состоянии,
заданном тройкой квантовых чисел, могут находится два
электрона с противоположно направленными спинами.

3.

Рассмотрим потенциальную яму при температуре T=0 K
Так как на каждом уровне может находиться не более двух
электронов, то при 0 К окажутся заполнены электронами все
нижележащие уровни, вплоть до некоторого уровня,
получившего название уровня Ферми. Свободный электронный
газ имеется только в проводниках. Для них определен уровень
Ферми. Уровень Ферми – наивысший заполненный
энергетический уровень при 0 К. Построим функцию
распределения электронов по энергиям.
1
1
2
n, l , m, ms
T2 0K
E
EF
При повышении температуры от 0 К электроны,
находящиеся на самых высоких энергетических уровнях,
получают возможность перейти на более высокий уровень.

4.

Уровень Ферми
Уровень Ферми – уровень, вероятность заполнения
которого равна одной второй.
Энергия, соответствующая уровню Ферми, называется
энергией Ферми. Пусть в атоме N электронов, тогда число
уровней, заполненных при 0К будет равно:
N
n
2
С учетом того, что на данном уровне может быть 2
электрона,
2
2 2
N
EF
2
2ml 2

5.

Рассмотрим электронный газ в трехмерном случае
2 2
(r ) E (r ) 0
2m
Решением является функция
ikr
(r ) Ce
* dV 1
(V )
2
C
dV 1
(V )

6.

• Рассмотрим куб размером L.
C 2 L3 1 C
1 ik r
(r ) 3 e
L2
1
3
L
2
• В трехмерном случае на волновую функцию
накладываются требования: она должна быть
периодической с периодом L.
Это будет выполнено если
2
kx
n1
L
(n1 1,2,3,...)
2
ky
n2
L
(n2 1,2,3,...)
kz
2
n3
L
(n3 1,2,3,...)

7.

1 i (kx x k y y kz z )
(r ) 3 e
L2
k 2 k x2 k y2 k z2
4 2 2
k 2 (n1 n22 n32 )
L
2
n12 n22 n32 n *2
2
4
k 2 2 n *2
L
2k 2
2 4
En
2 n *2
2m
2m L
Перейдем в пространство волновых чисел
n2
n1
n3
Каждая точка в этом пространстве
соответствует
двум
состояниям
электрона, отличающимся направлением
спина.

8.

• Подсчитаем количество состояний с энергией, не
превышающей некоторого значения E.
• Число этих состояний будет определяться объемом
сферы в пространстве квантовых чисел n1, n2, n3,
умноженному на два с учетом ориентации спина.

9.

2
2
mL
E
n *2
,
2 2
4
4
E 2 n *3 ,
3
E
3
mL2 2
8
2
3 2
2
3
E2
3
4 L3 m 2
2 3 2
d E
gE
dE
3
8 L
3 2
3
m 2
3
2
3
E2
(1)
1
E2
kT
gE
0K
EF
E

10.

Обозначим концентрацию электронов через n, тогда
количество электронов в объеме V определяется как nV.
С другой стороны, количество электронов в V
определяются формулой (1)
3
3 3
3
3
2
8 L
m 2 2
8
m
2
nV
(
)
E
n
E
3
3 2 3 2
3
2 3 2
2
При 0К заняты все энергетические уровни до уровня
Ферми, следовательно. энергия Ферми определяется
следующим образом
3
2
EF
3
2
3 2 3 2 n
8m
3
2
EF
2 3 2
3
(
)3
8
2
m
2
n3
,

11.

• Если перевести энергию Ферми в тепловую энергию,
то она будет соответствовать Т=60000 К.
При температуре 300 К EF 1 40 eV .
Такая энергия может перевести с одного уровня на
другой только электроны, находящиеся вблизи
уровня Ферми. Основная масса электронов поглощать
тепловую энергию не будет. В процессе нагревания
участвует лишь незначительная доля электронов,
находящихся вблизи уровня Ферми. Этим
объясняется малая теплоемкость электронного газа.