Свойства функций

1.

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
5.09.12.

2.

Домашнее задание:
§ 2 , теория в конспекте
№ 2.13.

3.

у
x2 y2 r 2
x
0
y r 2 x2
у
у
0
0
у r 2 x2
x
у r 2 x2
x

4.

Является ли графическим заданием какой-либо функции
фигура, изображенная на рисунке?

5.

Используя графики функций на рисунках 1 - 9, укажите области определения этих функций
1) (- ; + )
1) (- ; + )
6) [0; + )
4) (- ; 0) (0; + )
1) (- ; + )
2) (- ; - 1]
3) (- ; 0]
7) [-4; 4]
8) [-2; + )
9) (- ; 3)
1) (- ; + )
1) (- ; + )
4) (- ; 0) (0; + )
3) (- ; 0]
7) [-4; 4]
5) [-2; 4]
6) [0; + )
проверка

6.

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
5.09.12.

7.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функцию у = f(x) называют возрастающей
(убывающей) на множестве X Є D(f), если
для любых двух элементов x1 и х2
множества Х, таких, что x1 < x2,
выполняется неравенство
f(x1) < f(x2) ( f(x1) > f(x2)).

8.

9.

• Функция возрастает (убывает),
если большему значению
аргумента соответствует
большее(меньшее) значение
функции.

10.

• Термины «возрастающая» и «убывающая»
функции объединяют общим названием
монотонная функция.
• Исследование функции на возрастание или
убывание называют исследованием
функции на монотонность.

11.

По графику функции определите промежутки монотонности функций
Функция возрастает
Ответ:
Функция убывает
Ответ:
[3; 5]
Функция возрастает
Ответ:
[- 5; - 3]
[- 3; - 2] [2; 3]
Функция убывает
Ответ:
[- 3; 2] [3; 4]
проверка

12.

ПРИМЕР № 1.
Исследовать на монотонность функцию
а) у = – 3х + 7;
б) у = х³ + 7.

13.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
• Функция называется ограниченной
снизу на множестве X Є D(f)
(ограниченной сверху на множестве
X Є D(f)), если существует такое число
m, что для любого значения х Є D(f)
выполняется неравенство f(x) > m
(f(x) < m).

14.

15.

Используя графики функций на рисунках 1 – 9 определите, какие из функций:
1) Ограничены сверху
Ответ:
2)
снизу
2) Ограничены снизу
не ограничена
сверху
Ответ:
3) Ограничены
Ответ:
снизу
не ограничена
снизу
4) Не ограничены
Ответ:
сверху
ограничена
ограничена
проверка

16.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Число m называется наименьшим
(наибольшим) значением функции у = f(x)
на множестве X Є D(f), если:
1. Существует число x0 Є D(f) такое, что
f(x0) = M;
2. Для любого значения х Є Х выполняется
неравенство f(x) ≥ f(x0) (f(x) ≤ f(x0)).

17.

По рисункам 1 – 12 укажите наибольшие и наименьшие значения функций
Унаим = - 2
Унаим = 0
Нет Унаиб и Унаим
Нет Унаиб и Унаим
Унаиб = 3
Унаим = 0
проверка

18.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Функция f называется чётной (нечётной),
если для любого х из ее области
определения f(-x) = f(x) (f(-x)= - f(x)).

19.

1. График четной функции симметричен
относительно оси ординат.
2. График нечетной функции
симметричен относительно начала
координат.

20.

Укажите графики функций
I – четных.
II – нечетных.

21.

ПРИМЕР № 2.
Исследовать на чётность функцию
а) у = 3х² + 7;
б) у = х³;
в) у = х³ + 7.

22.

СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ
• 1. Область определения функции D(f).
• 2. Промежутки возрастания и убывания
(монотонность) функции.
• 3. Ограниченность функции.
• 4. Наибольшее и наименьшее значения
функции.
• 5. Непрерывность функции.
• 6. Область значений функции Е(f).
• 7. Четность функции.
• 8. Выпуклость функции.