Объем пирамиды

1.

Открытый банк заданий по математике http://mathege.ru:8080/or/ege/Main.action

2.

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если
все его ребра увеличить в два раза?
1
V = SoH
3
2h
h
a
1
S1 h1
V1
1
3
S = ab sin a
1
V2
2
S 2 h2
3
1 1 2
a sin 600 h
2
a
1
3 2
Найдем отношение
объемов
2
1 1
2
2a sin 600 2h 4a 2 8
3 2
2a
В9
8
3
10 х
х

3.

Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4.
Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.
So 3 4 12
16
12
1
V = SoH
3
1
16 12 H
3
Н
4
3
16 4 H
H 4
В9
4
3
10 х
х

4.

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны
основания которой равны 1, а высота равна 3.
11
1
V = SoH
3
3
1
600
1
S = ab sin a
2
1 1
V 1 1 sin 600 3
3 2
1
1
1 1 3
V
3
4
3 2 2
В9
0 , 25
3
10 х
х

5.

Найдите высоту правильной
треугольной пирамиды, стороны
основания которой равны 2, а
объем равен 3.
600
1
S = ab sin a
2
1
1
3
0
S o 2 2 sin 60 2 2
3
2
2
2
V . 3
3
?
2
22
3
1
3 3 H : 3
3
1
1 H 3
3
1
V = SoH
3
2
H 3
В9
3
3
10 х
х

6.

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее
высоту увеличить в четыре раза?
1
V = SoH
3
1
S о h1
h 1
V1
3
1
V2
Sо h2 4 h 4
3
Найдем отношение
объемов
F
h
4h
E
A
D
B
В9
4
C
3
10 х
х

7.

Объем правильной шестиугольной пирамиды 6.
Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.
S
11
600
V 6.
1
S = ab sin a
2
1
1
600
1
?
E
F
A
О
D
1
B
6
Vпир.
1
1
S0 6 1 1 sin 60 0
2
C
3 3
2
3 3 3
3 1 1
2
2
?
1
1 3 3
h; h
Sо h 6
3 2
3
Из АОS по теореме Пифагора
найди ребро AS.
В9
Можно
Для
правильного
вычислить6-уг.
сторона равна
площадь
правильного
радиусу
описанной
шестиугольника,
разбив
2 окружности.
12
его6на
6 треугольников.
;
h
3
7
3
3
10 х
х
.

8.

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6,
сторона основания равна 10. Найдите ее объем.
1
V = SoH
3
.
Sкв.= a2
6
Н
10
1 2
V 10 6
3
10
В9
2 0 0
3
10 х
х

9.

В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6,
боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.
S
Из треугольника АВС:
1
V = SoH
3
AB
сos 45
AC
2 AB
2
16
0
10
.
6
D
8
AB 8 2
С
Sкв.= a2
450
А
В
2
1
V 8 2 6
3
В9
2 5 6
3
10 х
х

10.

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань
перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани
наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды
равна 6. Найдите объем пирамиды.
?6
1
V = SoH
3
S
Из SHG:
.
.
6
Из SHA:
D
600
A
Н
6
3
6
tg 60
;
HG
6
0
tg 60
;
AH
0
C
600
Sпр.= ab
G 12
3
B
1
V 24 6
3
S ABCD
В9
6
HG
3
6
AH
3
12
AD
3
12 6
24
3 3
4 8
3
10 х
х

11.

Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны,
каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.
A
S
высота
3
3
3
3
C
С
3
S
A
3
В
1
V = SoH
3
1
S = ab
2
1 1
V 3 3 3
3 2
B
33
Задача очень простая, если догадаться
опрокинуть пирамиду на удобную грань,
например, SCB.
Основание – прямоугольный треугольник
SCB, высота AS.
В9
4 , 5
3
10 х
х

12.

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4,
а угол между боковой гранью и основанием равен 450.
Найдите объем пирамиды.
44
600
?
?
1
К4
1
S
4
S = ab sin a
V = SoH
2
.
3
0
О
2
60
4
С
.
2 3
E
F
О
A
4
B
4
1
S0 6 4 4 sin 600 Найдем ОК по
2
теореме Пифагора
450
C
D
К
1
V 24 3 2 3
3
3
3 4 4
24 3
2
ОК
Можно вычислить
2
2площадь правильного
4 2 шестиугольника,
12 2 3разбив
;
его на 6 треугольников.
SOK р / б , ОК OS 2 3
В9
4 8
3
10 х
х

13.

Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 12.
Найдите объем треугольной пирамиды B1ABC.
2SABC
Vприз. = SoH
Vприз.
Vпир.
1
Vпир. = SoH
3
D1
C1
h
A1
B1
D
A
h
S ABCD h
2 S ABC
6
1
1
S ABC h
S ABC 1
3
3
Найдем отношение объемов
V12приз.
C
Vпир.
6
1
B
В9
2
3
10 х
х

14.

Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 4,5. Найдите объем
треугольной пирамиды AD1CB1.
2SABC
Пирамида AD1CB1 получается, если мы отрежем от параллелепипеда
V
SoH по углам
h 1, AA12DS1BABC
Vпар.
четыре
— ABCBS
D1B1CC
пар. =пирамиды
1, ABCD
1 и ADCD1. А объем
мы1делали это в1предыдущей задаче.
каждой из них легко посчитать —
Например, найдем объемVпирамиды
ABCB
пир.
S 1.h
S
1
Vпир. = SoH
3
3
V
3
6
;
1
ABC
4,5
C1 Найдем
пар . отношение объемов
D1
A1
Vпир.
B1
Vпир.
3
4
Четыре пирамиды по углам — ABCB1, D1B1CC1,
AA1D1B1 и ADCD1
3
h
D
C
A
ABC
6
1
4Vпир. 4
Объем пирамиды АD1CB1
4
3
VAD1CB1 4,5 3 1,5
B
В9
1 , 5
3
10 х
х

15.

Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды,
основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.
Найдем отношение объемов
Vкуб. S o h
Vкуб.
1
Vпир. = SoH
3
D1
C1
A1
B1
D
A
Vпир.
S ABCD h
1
6
1
1
1
1
S ABCD h
3
2
6
1
2
h
h
Vкуб .
12
Vпир.
6
1
C
B
В9
2
3
10 х
х

16.

От треугольной призмы, объем которой равен 150, отсечена
треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного
основания и противоположную вершину другого основания.
Найдите объем оставшейся части.
Vприз. = SoH
Vпир. =
Vприз.
1
SoH
3
Vпир.
3
Sо h
1
1
Sо h
3
Найдем отношение объемов
100
h
50
V150
приз.
Vпир.
В9
3
1
1 0 0
3
10 х
х

17.

Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью
правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 8. Найдите
объем шестиугольной пирамиды.
У треугольной и шестиугольной пирамид,1о которых говорится в условии,
1
Vпир.
S 6 hрасположение букв…
одинаковые
в этом,
изменим
1
Vпир. = высоты.
SoH Убедимся
3 различна.
Одинаковая3высота, но площадь оснований
Vпир. 2
1
S АВС h
3
S
6
1
Найдем отношение объемов
V1
Vпир.1
D
E
Vпир.2
8
C
D
F
E
B
C
A
F
A
B
V2
6
1
Поработаем с выносным чертежом.
Видим, что площадь основания
треугольной пирамиды в 6 раз
меньше, чем у шестиугольной.
В9
4 8
3
10 х
х

18.

Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12.
Точка E — середина ребра SB. Найдите объем треугольной
пирамиды EABC.
Точка E – середина ребра SB, значит, точка N – середина SO (по т. Фалеса).
Высота пирамиды EABC равна половине высоты пирамиды SABCD.
2SABC
1
Vпир. = SoH
3
Vпир.1
S
Vпир. 2
N
D
A
1
2
1
S ABCD h
2 S ABC
4
3
1 1
1
1
S АВС h S АВС 2
3
2
Найдем отношение объемов
E
V12
пир.1
h
C
Vпир.2
4
1
O
B
В9
3
3
10 х
х

19.

От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена
треугольная пирамида плоскостью, проходящей через
1
вершину пирамиды и среднюю линию основания.
S = ab sin a
Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
2
У треугольной пирамиды и отсеченной пирамиды, о которых говорится
1одинаковые высоты. Убедимся в этом, изменим расположение букв…
в
1
Vусловии,
=
SoH
1
пир.
Одинаковая
различна.ab sin C
3 высота, но площадь оснований
S
h
NCM
Vпир.1Работать
3 можно с любым2 из этих чертежей.
S
Vпир. 2
1
S
1
1
4
S ABC h
2a 2b sin C
3
2
Найдем отношение объемов
Vпир.1
V2
B
A
М
a
V1
C
b
N
V12
пир.2
1
4
М
С
В
В9
3
А
N
3
10 х
х

20.

Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит
через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное
боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от
вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые
плоскость разбивает исходную пирамиду.
Надо сравнить объемы пирамид NABC и NSAC. Найдем объем пирамиды NABC.
1
Затем из VSABC (это 15) вычтем VNABC,, найдем
S ABCVNSAC
h .
VSABC объем3пирамиды NABC. Сравним его с
Найдем
S
составив отношение.
объемом
всей пирамиды SABC,
2
VОснования
у1
них одинаковые
– треугольник АВС.
NABC
S
h
А высоты разные,АВС
сравним их.
3
2
3
2
3
A
По т. Фалеса FP:SP = 2:3.
2
2
15
Тогда,
если SP=h, то FP= h, NO= h
SABC
3
3
N
F
3
V
3
VNABC 2
VNABC 10;
h
B
O
P
VNSAC 15 10 5.
В9
C
1 0
3
10 х
х