Объем пирамиды. Урок геометрии. 11 класс

1.

Урок геометрии 11 класс
07.03.2023
Видеоматериал: https://www.youtube.com/watch?v=1bCQKE3a3jM

2.

3.

№ 25579.
3
4
Найти объёмы составных
многогранников.
V = abc 5
2
1
1
4
4
4
2 1
V=4∙3∙3+1∙1∙4=36+4=40
V=4∙4∙3 - 2∙1∙4=48-8=40
В13
4 0
3
10 х
х
V=4∙4∙5-2∙1∙1=78
В13
7 8
3
10 х
х

4.

№245352
В основании прямой призмы лежит
прямоугольный треугольник
с катетами 6 и 8.
5
Боковые ребра равны . Найдите объем
π
цилиндра, описанного около этой призмы.
8
Vц. = Sосн h
6
5
π
5
2
Vц. = π r h
5
5
Vц. = π 5
= π 25
π
π
2
В 13
1 2 5
3
10 х
х

5.

№ 27106
Через среднюю линию основания
треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена
плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем
отсеченной треугольной призмы.
V = Soснh
1
aa sin βh
2
h
a
V1 2a
V2
V1 S1 h
1
=
=
=
1
V2 S2 h
2a2a sin βh 4
2
V1
V
1
1
1
=
=
V2
4
32 4
В 13
8
3
10 х
х

6.

№ 74789.
Плоскость(ОМК) перпендикулярна боковым
ребрам призмы АВСА₁В₁С₁, объем которой равен 240 см³,
ΔОМК- прямоугольный с катетами 6 и 8. Найти боковое
ребро призмы.
А1
C1
М
?
B1
8
О
К
6
V=Sсеч. l
1
Sосн. = 6 • 8 = 24
2
240
V
l=
=
24
Sосн
C
А
B
В 13
10
3
10 х
х

7.

8.

Пирамидой
называется
многогранник,
который состоит из
плоского
многоугольника –
основания пирамиды,
точки, не лежащей в
плоскости основания –
вершины пирамиды и
треугольников боковых граней.

9.

Термин “пирамида” заимствован
из греческого “пирамис” или “пирамидос”. Греки в
свою очередь позаимствовали это слово, как
полагают, из египетского языка. В папирусе Ахмеса
встречается слово “пирамус” в смысле ребра
правильной пирамиды. Другие считают, что термин
берет свое начало от форм хлебцев в Древней
Греции “пирос” - рожь). В связи с тем, что форма
пламени иногда напоминает образ пирамиды,
некоторые средневековые ученые считали, что
термин происходит от греческого слова “пир” огонь. Вот почему в некоторых учебниках геометрии
XVI в. пирамида названа “огнеформное тело”.

10.

Высота
P
Вершина
Боковые грани
Основание
H
Боковые ребра
Аn
α
А2
А1

11.

Пирамиды
Треугольная
пирамида
(тетраэдр)
Четырехугольная
пирамида
Шестиугольная
пирамида

12.

Пирамида называется правильной, если ее
основание - правильный многоугольник , а
отрезок, соединяющий вершину пирамиды с
центром основания, является ее высотой.
P
h
O
Аn
А1
А3
А2

13.

Апофема – высота боковой грани
правильной пирамиды, проведенная из ее
вершины
Апофемы
Все апофемы
правильной
пирамиды равны
друг другу

14.

Диагональное
сечение
пирамиды –
сечение
плоскостью,
проходящей
через два не
соседних
боковых ребра

15.

16.

Площадь пирамиды
Sполн. = Sбок. + Sосн.
Sбок.
Sосн.

17.

1
S бок. Pосн. h
2
H
h

18.

Свойства пирамиды:
У правильной пирамиды:
боковые ребра равны;
боковые грани являются
равными равнобедренными
треугольниками;
апофемы равны;
площадь боковой
поверхности правильной
пирамиды равна половине
произведения периметра на
апофему.

19.

Свойства пирамиды:
если боковые ребра пирамиды
равны (или составляют равные
углы с плоскостью основания), то
вершина пирамиды проецируется в
центр окружности, описанной
около основания.
если двугранные углы при
основании пирамиды равны (или
равны высоты боковых граней,
проведенные из вершины
пирамиды), то вершина пирамиды
проецируется в центр окружности,
вписанной в основание пирамиды.

20.

1
V = Sосн.∙h
3

21.

I. Дано : ОАВС - пирамида,
V - объём,
O
S - площадь ΔАВС ,
h
А₁ x
М₁
С₁
В₁
ОМ 2 = h( высота пирамиды).
1
Доказать : V = Sосн. h.
3
В
А
М₂
х
С
Доказательство:
h
1 )V = ∫ S( x )dx
0
2 )OX : h ∈ OX
А1 В1С1IIАВС
ОМ 1 = х , М1 ∈ ΔА1 В1С1
S( x ) - площадь сечения
ΔА1 В1С1 ΔАВС

22.

O
h
А₁
А
х
4 )ΔОАВ : АВIIА1 В1 ⇒ ΔОАВ ΔОА1 В1 ⇒
А1 В1 ОА1
⇒
=
АВ
ОА
В₁ 5 ) ΔОАС : А1С1II АС ⇒ ΔОА1С1 ΔОАС ⇒
М₁
А1С1 ОС1
С₁
⇒
=
АС
ОС
В
6 ) ΔОСВ : В1С1II ВС ⇒ ΔОВ1С1 ΔОВС ⇒
М₂
В1С1 ОВ1
⇒
=
С
ВС
ОВ
7 ) ΔОА1 М 1 и ΔОAМ 2 : ∠ М = ∠ М 1 = 90 ,∠ О - общий ⇒
ОА1 ОМ 1 х
ΔОА1 М 1 ΔОAМ 2 ⇒
=
=
ОА ОМ 2 h
А1 В1 ОА1 х
А1 В1 х
=
= ⇒
=
АВ
ОА h
АВ
h

23.

O
h
А1С1 х В1С1 х
Аналогично :
= ;
=
АС
h ВС
h
ΔАВС
В₁
А₁ М₁
С₁
А
М₂
х
С
х
ΔА1 В1С1 : - коэффициен т подобия
h
S( x )
x 2
S 2
8)
= ( ) ⇒ S( x ) = 2 x
S
h
h
h
h
В
S 2
V = ∫ S( x )dx = ∫
2 x dx =
h
0
0
1
S
x
S
= Sh
= 2 ∫ x 2 dx =
2
h 0
h
30 3
h
3 h

24.

О
II. Дано : ОАВСDF - пирамида,
V - объём,
S - площадь АВСDF ,
F
h
h - высота пирамиды.
1
Доказать : V = Sосн. h.
3
D Доказательство:
А
1 )Разобьём пирамиду на
С три треугольны е :
ОАВС , ОАСD , ОАDF;
В 1
1
1
2 )V = S AFD h + S ADC h + S ABC h =
3
3
3
1
1
= h( S AFD + S ADC +S ABC ) = Sосн. h
3
3

25.

1
V h ( S S1 S S1 )
3

26.

Объем усеченной пирамиды
будем рассматривать как
разность объемов полной
пирамиды и той, что отсечена
от нее плоскостью,
параллельной основанию

27.

Объем полной
1
V
Sh
пирамиды
3
x
S1
h
S
1
1
1
1
1
V Sh Sx S1 x Sh x (S S1 )
3
3
3
3
3
S (h x) 2
S1
x2
h S1
x
S S1
(1)
S x S1 h S1 x
S x S1 x S1 h
Подставляем в уравнение 1
h S1
1
1
V Sh ( S S1 )
3
3
S S1
h S1
1
1
Sh ( S S1 )( S S1 )
3
3
S S1
1
1
1
1
Sh S1h h SS1 h( S S1 SS1 )
3
3
3
3

28.

Задание:
Рассмотреть решение задач по готовым
чертежам и записать решения в тетрадь.

29.

Задачи по готовым чертежам
Найдите объем правильной
треугольной пирамиды, стороны
основания которой равны 1, а
высота равна 3.
Найдите высоту правильной
треугольной пирамиды, стороны
основания которой равны 2, а
объем равен 3 .
V2
3 •4 3
1 a 3=
3
1
h
=
=
3
V = 1
• h =4 3• 3 =
3 S4
12
4
3 осн
В 13
25
В 13 03 ,
3
1 03 х
10 х
х
х

30.

Задачи по готовым чертежам
В правильной четырехугольной
пирамиде высота равна 6, сторона
основания равна 10. Найдите ее
объем.
.
В правильной четырехугольной
пирамиде высота равна 6, боковое
ребро равно 10. Найдите ее объем.
Н
450
1
2
2 VAB
=
10
•6= 8
= 200
AB
2
=
2
16 3
AB
сos45 =
AC
1
2
V = 8 2 •6 = 256
3
0
(
)
В 13
В 13
22 05 06
3
1 03 х
10 х
х
х

31.

Задачи (решить самостоятельно)
Сторона основания правильной
треугольной пирамиды равна 6, а
V =18 с плоскостью
боковое ребро образует
основания угол 450. Найдите объем
пирамиды.
Высота правильной треугольной
пирамиды равна 4 3 , а боковая грань
V = 192 основания угол
образует с плоскостью
600. Найдите объем пирамиды.