Пирамида. Площадь поверхности и объем пирамиды

1.

Пирамида.
Площадь поверхности и
объем пирамиды.

2. Исторические сведения

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и
Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции.
Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит, а
доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид
систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также
вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная
плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

3. Пирамида

Пирамидой называется многогранник, основание которого –
многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие
общую вершину.

4.

M
Виды пирамид
S
Боковая
поверхность
B
C
D
A
C
A
B
Треугольная
пирамида
Четырёхугольная пирамида

5. На рисунке изображены треугольная, четырёхугольная и шестиугольная пирамиды

P
P
P
B
A
C
D
A
F
B
E
A
C
D
B
C

6. Элементы пирамиды

апофема — высота боковой грани
пирамиды, проведённая из её вершины;
правильной
боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине;
боковые ребра — общие стороны боковых граней;
вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые
рёбра и не лежащая в плоскости основания;
высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через
вершину пирамиды к плоскости её основания (концами
этого отрезка являются вершина пирамиды и основание
перпендикуляра);
диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды,
проходящее через вершину и диагональ основания;
основание — многоугольник, которому не принадлежит
вершина пирамиды.

7. Элементы пирамиды

МО – высота
МН – апофема
АМ, ВМ, СМ, ДМ –
боковые ребра
АМД, ДМС, СМВ, ВМА –
боковые грани
АВСД – основание

8.

Пирамида
Вершина
Высота пирамиды
S
Рёбра
Боковая грань
Апофема
D
E
C
O
H
A
B
Основание

9. Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если ее основанием является
правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в
центр основания.

10. Свойства боковых ребер и боковых граней правильной пирамиды

P
Все боковые ребра
правильной пирамиды
равны, а боковые грани
являются равными
равнобедренными
треугольниками
C
B
O
A
D

11. Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды

12. Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды

13. Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды

14. Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды

15. Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды

16. Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды

17. Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды

18. Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды

19. Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды

20. Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды

21. Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды

22. Построение изображения правильной четырёхугольной пирамиды

P
C
B
O
A
D

23. Сечения пирамиды

Диагональное сечение:
Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых
ребра, не лежащих на одной грани
Параллельное сечение:
Теорема:
Если пирамида пересечена плоскостью, параллельной основанию,
то боковые ребра и высоты пирамиды делятся этой плоскостью на
пропорциональные части

24. Усеченная пирамида

Усеченная пирамида – часть пирамиды, заключенная между ее
основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.
Основание и соответствующие сечение усеченной пирамиды
называются основаниями усеченной пирамиды.
Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного
основания на плоскость другого, называется высотой усеченной
пирамиды.

25. Свойства усечённой пирамиды

1. КАЖДАЯ БОКОВАЯ ГРАНЬ ПРАВИЛЬНОЙ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ
ЯВЛЯЕТСЯ РАВНОБОКИМИ ТРАПЕЦИЯМИ ОДНОЙ ВЕЛИЧИНЫ.
2. ОСНОВАНИЯ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ ЯВЛЯЮТСЯ ПОДОБНЫМИ
МНОГОУГОЛЬНИКАМИ.
3. БОКОВЫЕ РЕБРА ПРАВИЛЬНОЙ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ ИМЕЮТ
РАВНУЮ ВЕЛИЧИНУ И ОДИН НАКЛОНЕН ПО ОТНОШЕНИЮ К
ОСНОВАНИЮ ПИРАМИДЫ.
4. БОКОВЫЕ ГРАНИ УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ ЯВЛЯЮТСЯ
ТРАПЕЦИЯМИ.
5. ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ ПРИ БОКОВЫХ РЕБРАХ ПРАВИЛЬНОЙ
УСЕЧЕННОЙ ПИРАМИДЫ ИМЕЮТ РАВНУЮ ВЕЛИЧИНУ.
6. ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ОСНОВАНИЙ: S2/S1 = K2.

26.

27.

Задача 1.
Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4.
Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.
So 3 4 12
16
V=
12
1
S H
3 o
1
16 12 H
3
Н
4
3
16 4 H
H 4
Ответ:
4
3
10 х
х

28.

Задача 2.
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6,
боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.
V=
1
S H
3 o
.
S кв.= a 2
6
Н
10
1
V 10 2 6
3
10
Ответ:
2 0 0
3
1 0 х
х

29.

Задача 3.
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания
которой равны 1, а высота равна 3
V=
3
1
1
3
1 1
So H
1
S =
ab sin a
2
1 1
V 1 1 sin 60 0
3 2
1
1 1
3
V
3 2 2
Ответ:
600
3
1
3
4
0 ,
2 5
3
1 0 х
х

30. Пирамида в архитектуре

Пирамида—монументальное
сооружение
в
форме
обычной
правильной
геометрической пирамиды, в которой боковые стороны сходятся в одной точке. Известно немалое
количество пирамид, построенных разными культурами Древнего мира в основном в качестве
храмов или монументов. К крупным пирамидам относятся египетские пирамиды.

31.

По всей Земле можно увидеть архитектурные сооружения в виде
пирамид. Одним из них является Лувр. Лувр, который "молчит
неизменно и величественно, как пирамида" на протяжении веков
перенёс немало изменений прежде, чем превратиться в
величайший музей мира. Он родился как крепость, воздвигнутая
Филиппом Августом в 1190 г., вскоре превратившаяся в
королевскую резиденцию. В 1793 г. дворец становится музеем.
Коллекции обогащаются благодаря завещаниям или покупкам.
Спасибо за
внимание!