Определенный интеграл

1.

Определенный интеграл
Определённым интегралом от функции f(x) на
отрезке [a; b] называется выражение вида
b
где
f ( x)dx
a
a - нижний предел
b - верхний предел
f(x) - подынтегральная функция
x – переменная интегрирования.

2.

Формула Ньютона-Лейбница
Если f(x) непрерывна на отрезке [a; b],
и F(x) - некоторая первообразная
функции f(x), то
b
b
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
a
a

3.

Пример. Вычислить определенный
интеграл (4 х 5)dx
2
1
2
2
2
1
1
1
(4 х 5)dx 4 хdx 5dx
2
2
2
2
4 x1 1 2
4x2 2
2
| 5x |
| 5x | 2 x | 5x |
1 1 1
2 1
1
1
1
1
(2 2 2 2 ( 1) 2 ) (5 2 5 ( 1))
(8 2) (10 5) 6 15 21

4.

Задание. Вычислить
определенный интеграл
3
5
1. 7 x 6 dx
6. (4 x 1)dx
1
1
2
4
2. 2 x 2 dx
1
9
3.
1
6
dx
x
0
4. (1 x)dx
6
4
3
5. (2 x
)dx
x
1
7. (8 2 x x 2 )dx
2
1
8. (2 x 2 3 x 1)dx
3
1
9. ( 2 5 x)dx
cos x
0
10. (cos x 12 x 3 )dx
0

5.

Геометрический смысл
определенного интеграла
b
Определённый интеграл
численно равен
площади фигуры S,
ограниченной осью
абсцисс (Ox), прямыми
x = a и x = b и графиком
функции y = f(x).
f ( x)dx
a

6.

Пример. Вычислить площадь криволинейной
трапеции ограниченной линиями
y 2 x 1, y 0, x 1, x 3
Пусть y1 – функция которая находится ниже,
y 2 – функция которая находиться выше, и
x1 x2
x2
(y
3
2
y1 )dx (( 2 х 1) 0)dx
1
x1
3
3
3
1
1
1
(2 х 1)dx 2 хdx 1dx
3
3
3
2x2 3 3
2 x1 1 3
2
| x | x | x |
| 1x |
2 1 1
1 1 1
1
1
1
(32 12 ) (3 1) (9 1) 2 10

7.

Задание. Вычислить площадь криволинейной
трапеции ограниченной линиями
1. y x 1, y 1, x 0, x 2
2. y x 2, y 0, x 1, x 2
3. y 2 x 3, y 0, x 0, x 1
4. y 3x 1, y 1, x 0, x 2
5. y x 2 , y 4, x 2, x 2
6. y x , y 1, x 1, x 1
2
7. y x , y 0, x 0, x 3
2

8.

Самостоятельная работа
Вариант 1
Вариант 2
1. Найдите первообразную
1. Найдите первообразную
f ( x) 9 x 2 cos x
f ( x) 8 x 3 sin x
2. Найдите неопределенный
2. Найдите неопределенный
интеграл 157 dx
интеграл 192dx
3. Найдите неопределенный
3. Найдите неопределенный
интеграл 9 x 5 dx
интеграл 7 x 6 dx
4. Найдите интеграл
4. Найдите интеграл
2
2
3
4
x
dx
4
5
x
dx
1
1
5. Найдите интеграл
5. Найдите интеграл
0
0
2 sin xdx
3 cos xdx