Определенный интеграл. Приложения определенного интеграла

1. Математика ППИ. Лекция № 14.

Определенный интеграл. Приложения
определенного интеграла.

2. ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ

1. Производная интеграла по верхнему
пределу, формула Ньютона-Лейбница.
2. Вычисление определённого интеграла
заменой переменной и по частям.

3. ЛИТЕРАТУРА

[1] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное
исчисления. Т 1. Москва: Интеграл-Пресс, 2004. с.
340-375;
[3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий курс
высшей математики. Москва: Издательство АСТ,
2004.. с. 253-266;
[14] Л.К. Потеряева, Г.А. Таратута. Курс высшей
математики IV. Челябинск: Челябинский военный
авиационный краснознамённый институт штурманов,
2002 г.с. 68-80.

4.

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС.
Производная интеграла
по верхнему пределу,
формула НьютонаЛейбница.

5. Производная интеграла по верхнему пределу, формула Ньютона-Лейбница

ПРОИЗВОДНАЯ ИНТЕГРАЛА ПО ВЕРХНЕМУ ПРЕДЕЛУ, ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНИЦА
Пусть y=f(x) – функция непрерывна на отрезке [a,b].
Тогда она интегрируема на этом отрезке и более того,
она интегрируема на любом отрезке [a,x], где x∈[a,b] .
Пусть нижний предел интегрирования a закреплен,
а верхний предел интегрирования b – меняется.
Рассмотрим функцию
x
Ф( x) f (t )dt , x a, b
a
- интеграл с переменным верхним пределом.
(1)

6.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке
[a,b], тогда функция
x
Ф( x) f (t )dt , x a, b
a
непрерывна и имеет производную на отрезке [a,b]
x
Ф ( x) f (t )dt f ( x).
a

7.

Доказательство. Дадим аргументу x приращение Δx.
Тогда приращение функции Ф(x) будет
Ф Ф( x x) Ф( x)
x x
a
x
f (t )dt f (t )dt
a
x x
x x
x
x
f (t )dt f (t )dt f (t )dt f (t )dt.
a
a
x
x

8.

К последнему интегралу применим теорему о среднем
значении функции на отрезке [x, x+∆x], получим:
x x
x
f (t )dt f ( ) x
то есть Ф f ( ) x
Согласно определению производной
x
Ф
f ( ) x
Ф ( x) f (t )dt lim
lim
lim f ( ).
x 0
x 0
x 0
x
x
a
x

9.

Но так как Δx→0, то x+Δ x→x, следовательно, и ξ→x.
Согласно условию, подынтегральная функция f(t)
непрерывна в точке x.
Поэтому
lim f ( ) lim f ( ) f ( x)
x
x 0
Таким образом,
Ф ( x) f ( x).
что и требовалось доказать.

10. Формула Ньютона – Лейбница

ФОРМУЛА НЬЮТОНА – ЛЕЙБНИЦА
Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на
отрезке [a,b] и F(x) –ее первообразная на [a,b], тогда:
b
(2)
f ( x)dx F (b) F (a)
a
или

11.

b
a
f ( x)dx F ( x) a F (b) F (a)
b

12.

Доказательство: Возьмем функцию
x
Ф( x) f (t )dt , x [a, b]
a
Эта функция является первообразной для функции f(x) на
отрезке [a,b], а любые две первообразные для одной и той
же функции отличаются друг от друга постоянным
слагаемым, то есть существует постоянная С такая, что
x
Ф( x) f (t )dt F ( x) C для всех x [a, b]
a

13.

a
При x=a получим ,
f (t )dt F (a) С
a
a
f (t )dt 0, то F (a) C 0 C F (a)
Следовательно, f (t )dt F ( x) F (a)
Так как
x
a
a
Положив x=b, получим доказываемую формулу
b
f (t )dt F (b) F (a).
a
(3)

14.

1
Пример 1. Вычислить интеграл
( x 2e )dx
x
0
Решение.
1
1
1
0
0
0
x
x
(
x
2
e
)
dx
xdx
2
e
dx
2 1
x
1
x 1
2 e 0 0 2(e 1) 2,5 2e.
2 0
2

15.

3
5
dx
Пример 2. Вычислить интеграл
2
9 25 x
3
5
Решение.
3
5
3
5
dx
1
d (5 x)
1
5x
3 32 (5 x)2 5 3 32 (5 x)2 15 arctg 3
5
5
3
5
3
5
1
3 1
arctg1 arctg
15
3 15 4 6 180

16.

2
Пример 3. Вычислить интеграл
0
cos x
3
sin 2 x
dx
Решение.
2
0
cos x
3
sin 2 x
2
dx
0
d (sin x)
3
sin 2 x
2
2
3
sin x d (sin x)
0
3
3 sin x 3 3 sin sin 0 3
0
2
3
2

17.

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЁННОГО
ИНТЕГРАЛА ЗАМЕНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
И ПО ЧАСТЯМ.

18. Интегрирование заменой переменной.

b
Теорема. Пусть дан интеграл
f ( x)dx,
a
где функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b].
Введем новую переменную t по формуле x=φ(t).
Если : 1) функция x=φ(t) и ее производная x′=φ′(t)
непрерывны на отрезке [α;β] ;
2) φ(α)=a, φ(β)=b;
3) функция f(φ(t)) определенна и непрерывна на
[α;β], тогда
b
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt
a

19.

Пример. Вычислить интеграл
2
dx
0 1 cos x
Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической
x
2dt
t tg , x 2arctgt , dx
2
2
1 t
2
dx
1 t2
1
1 t2
1 t2
0 1 cos x cos x 1 t 2 , 1 cos x 1 t 2 1 t 2 2
x 0 t 0
x
t 1
2
1
1
1 t 2 2dt
1
dt
t
1
2
0
2 1 t
0
0

20.

1) при вычислении определенного интеграла
методом
замены
переменной
(методом
подстановки) возвращаться к первоначальной
переменной не требуется;
2) часто вместо подстановки x=φ(t) , применяют
подстановку t=g(x);
3) необходимо менять пределы интегрирования
при замене переменной.

21.

Метод интегрирования по частям.
Если функция u=u(x) и υ= υ (x) имеют
непрерывные производные на отрезке [a;b],
то имеет место формула
b
b
ud u du
b
a
a
a