Теорема синусов и косинусов

1. Найти площадь треугольника

8
30°

2.

3.

Повторение
Соотношения между сторонами и
углами прямоугольного
треугольника
C
b
A
a
h
bc
a2 + b2 = c2
a
c
В
c
h bc ac
b bc c
a
sin
c
b
cos
c
a
tg
b
a ac c

4.

Теорема синусов.
Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов.
a = b = c
sinA sinB sinC
В
(1)
a
c
(2)
C
b
A
(3)
1
S ab sin С
2
1
S bс sin А
2
1
S са sin В
2

5.

(1)
1
S ab sin С ;
2
(2)
1
S bс sin А;
2
1
S са sin В
2
1
1
a sin C
c sin А
A
ab
С bc
2
2
: sin С sin А
=
sin С sin А
sin С sin А
a
c
sin А sin C
(3)

6.

Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов.
MO
MX
OX
=
=
sinX sinO sinC
O
М
X

7.

Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов.
CD
EC
DE
=
=
sinE sinD sinC
D
C
E

8.

Теорема косинусов.
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов
двух
других
сторон двух
минусдругих
удвоенное
произведение этих
сумме
квадратов
сторон
сторон
на косинус произведение
угла между ними.
минус удвоенное
этих сторон
на косинус угла между ними.
2
a
=
C
b
A
a
c
B
2
b
+
2
c –
2bc cosA

9.

Теорема косинусов.
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов
двух
других
сторон двух
минусдругих
удвоенное
произведение этих
сумме
квадратов
сторон
сторон
на косинус произведение
угла между ними.
минус удвоенное
этих сторон
на косинус угла между ними.
0
AB2 = BC2 + CA2 – 2 BC CA cos C
2
2
2
B
AB = BC + CA
900
C
Теорему косинусов иногда
называют обобщенной
теоремой Пифагора.
A

10.

Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон
минус удвоенное произведение этих сторон
на косинус угла между ними.
XR2 = RO2 + XO2 – 2 RO XOcosO
2
2
2
RO = RX + XO – 2 RX XOcosX
XO2 = RX2 + RO2 – 2 RX ROcosR
R
X
O

11.

F
Запишите для данного
треугольника теорему синусов
и теорему косинусов для
каждой стороны.
С
D
DF
FC
DC
sin C sin D sin F
DF 2 DC 2 CF 2 2 DC CF cos C
DС DF CF 2 DF CF cos F
2
2
2
СF DC DF 2 DC DF cos D
2
2
2

12.

с b a 2ab cos С
2
2
2
2ab cos С b a c : 2ab
2
2
2
b a c
cos С
2ab 0
2
2
2
На практике удобно сравнивать квадрат большей
стороны и сумму квадратов двух других.
b a cc 0 cos C 0, C 90
2
2
22
0
b a cc 0 cos C 0 , C острый
2
2
22
b a cc 0 cos C 0 , C тупой
2
2
22

13.

Определите вид треугольника со сторонами 5, 6 и 7 см.
5 6
2
2
>7
2
треугольник остроугольный
Определите вид треугольника со сторонами 2, 3 и 4 см.
2
>
2 3
2
4 треугольник тупоугольный
2
Какой угол в данном треугольнике тупой ?

14.

Найти угол В
2 (2 3 )
2
2
=4
2
треугольник прямоуголь ный
В
?0
60
2
А
4
300
23
С

15.

Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон
минус удвоенное произведение этих сторон
на косинус угла между ними.
Найти ВС
2
cos 600
2
ВС2 = АВ2 + AC2 – 2 АВ AC cos А
В
ВС2
?
6
А
1
= 72 – 72 (– )
2
ВС2 = 108
ВС = 108
1200
6
С
36 3
ВС = 6 3

16.

Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов.
AB
AC
=
sinC sinB
АВ
4
0
sin 45
sin 600
АВ 4 sin 45 : sin 60
0
B
Найти АВ
600
2 3
АВ 4
:
2 2
?
750
A
450
4
4 2 2 4 6
АВ
3
2 3
C
0

17.

Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов.
2 2
2
0
sin 135
sin В
AB
AC
=
sinC sinB
sin В 2 sin 450 : (2 2 )
B
Найти угол А
22
?
A
1350
2
C
2 1
sin В 2
2 2 2
1
sin B
2
B1 30
0
А 150
B2 1500 не уд. усл.

18.

Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов.
2
3
0
sin С
sin 60
AB
BC
=
sinC sinA
sin C 2 sin 60 : 3
0
B
?
2
600
A
3
3
sin C 2
: 3
2
2
sin С
2
0
С1 45 В 750
0 не уд. усл.
С2 135
C
0
0
0
В 180 (135 60 ) 0

19. Домашнее задание

Выполнить тест по теме: «Площадь
треугольника» 8.12 до 17 часов
9А класс
https://app.teachermade.com/begin/94aa21
40-0bfc-45d1-9fe1-958fa73a1f22
9Б класс
https://app.teachermade.com/begin/40f2969
2-a94d-41dd-bd29-9a1b29246311