Числовая последовательность. Предел последовательности; сходящиеся и расходящиеся последовательности

1.

1 Числовая последовательность. Предел последовательности; сходящиеся и расходящиеся последовательности.
Теорема о единственности предела сходящийся последовательности(с доказательством).
Последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве натуральных чисел.
Число A называется пределом числовой последовательности {an}, если для любого, даже сколь угодно малого
положительного числа ε > 0, найдется такое число N (зависящее от ε), что для всех членов последовательности с
номерами n > N верно неравенство: |an - A|< E.
Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся, в обратном случае последовательность
расходится.
Теорема о единственности предела сходящийся последовательности: Последовательность не может иметь
больше одного предела. Доказательство. Это следует из того, что последовательность не
может одновременно приближаться к двум разным числам одновременно.
Формально, выберем ε значительно меньше разницы между числами A и B.
Тогда очевидно, что мы не сможем указать такого номера N, начиная с
которого одновременно будут выполнены два условия: |an - A|< E и |an - В|< E
Этими рассуждениями теорема доказана.