Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой. Синтез БИХ-фильтров методом билинейного Z-преобразования''

1. Лекция по учебной дисциплине «Цифровая схемотехника и обработка сигналов» (Д-0205-1) Тема № 11: «Фильтры с бесконечной

ВОЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ
Лекция
по учебной дисциплине «Цифровая схемотехника и обработка
сигналов»
(Д-0205-1)
Тема № 11: «Фильтры с бесконечной импульсной
характеристикой»
Занятие № 44: «Синтез БИХ-фильтров методом
билинейного Z-преобразования»
Руководитель занятия – доцент кафедры, к.т.н., доцент,
полковник Филимонов Василий Александрович
г. Санкт-Петербург
2018

2. Учебные цели:

2
Учебные цели:
Изучить содержание билинейного Zпреобразования.
2.
Изучить методику синтеза цифровых
БИХ-фильтров при билинейном Zпреобразовании.
1.
Кафедра №2, ВАС

3. Учебные вопросы:

3
Учебные вопросы:
1.Определение билинейного Zпреобразования.
2.Свойства
билинейного
Zпреобразования.
3.Методика
синтеза
БИХфильтров.
Кафедра №2, ВАС

4. Литература для самостоятельной работы обучаемых:

4
Литература для самостоятельной работы обучаемых:
1. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций./
Авторы: А. И. Солонина, Д. А. Улахович, С. М. Арбузов,
Е. Б. Соловьёва/ Изд 2-е испр. и перераб. – СПб, БХВ,
2005. – 768 с. стр. 499 – 504, 507 – 516 .
Кафедра №2, ВАС

5. Первый учебный вопрос

5
Первый учебный вопрос
Определение билинейного
Z-преобразования
Кафедра №2, ВАС

6. Первый учебный вопрос

6
Первый учебный вопрос
z e pT
1
p ln z
T
2 n 1
z 1 1 z 1 3
1 z 1
ln z 2
... , n 0, 1, 2, ...
...
2n 1 z 1
z 1 3 z 1
Кафедра №2, ВАС

7. Первый учебный вопрос

7
Первый учебный вопрос
z e pT
1
p ln z
T
2 n 1
z 1 1 z 1 3
1 z 1
ln z 2
... , n 0, 1, 2, ...
...
2n 1 z 1
z 1 3 z 1
p
2 z 1
T z 1
Кафедра №2, ВАС

8. Первый учебный вопрос

8
Первый учебный вопрос
z e pT
1
p ln z
T
2 n 1
z 1 1 z 1 3
1 z 1
ln z 2
... , n 0, 1, 2, ...
...
2n 1 z 1
z 1 3 z 1
p
2 1 z 1
p
T 1 z 1
2 z 1
T z 1
2 T
1 z 1
p γ
1 z 1
p
z
p
H ( p)
p
1 z 1
1 z 1
H ( z)
Кафедра №2, ВАС

9. Второй учебный вопрос

9
Второй учебный вопрос
Свойства билинейного Zпреобразования
Кафедра №2, ВАС

10. Второй учебный вопрос

10
Второй учебный вопрос
1. Однозначное отображение p-плоскости на zплоскость
Частотная ось
z re j T
r 1
однозначно отображается в единичную окружность:
e j T ; p j 0 j
j
z
re j arg( z )
j
2 2 j ( )
j ( )
e
1
e
2 2
j
r 1
arg( z ) ( ) arctg
T
arctg
2arctg 2arctg
2
-1
0
1
-j
Рис. 1. Отображение p-плоскости на zплоскость при билинейном Z-преобразовании
Кафедра №2, ВАС

11. Второй учебный вопрос

11
Второй учебный вопрос
1. Однозначное отображение p-плоскости на zплоскость
Частотная ось
z re j T
r 1
однозначно отображается в единичную окружность:
e j T ; p j 0 j
j
z
re j arg( z )
j
2 2 j ( )
j ( )
e
1
e
2 2
j
r 1
arg( z ) ( ) arctg
T
arctg
2arctg 2arctg
2
-1
0
1
Отображение точек на Z-плоскость:
0; ( ) 0; z e j ( ) 1
; ( ) 2arctg( ) 2
-j
; z e j ( ) e j 1
2
2
; ( ) 2arctg( ) 2arctg(1) 2 ;
T
4
2
z e j ( ) e jπ 2 j
Рис. 1. Отображение p-плоскости на zплоскость при билинейном Z-преобразовании
Кафедра №2, ВАС

12. Второй учебный вопрос

12
Второй учебный вопрос
1. Однозначное отображение p-плоскости на zплоскость
Частотная ось
z re j T
r 1
однозначно отображается в единичную окружность:
e j T ; p j 0 j
j
z
re j arg( z )
j
2 2 j ( )
j ( )
e
1
e
2 2
j
r 1
arg( z ) ( ) arctg
T
arctg
2arctg 2arctg
2
-1
1
Отображение точек на Z-плоскость:
0; ( ) 0; z e j ( ) 1
; ( ) 2arctg( ) 2
-j
; z e j ( ) e j 1
2
2
; ( ) 2arctg( ) 2arctg(1) 2 ;
T
4
2
z e j ( ) e jπ 2 j
2
0
Левая p-полуплоскость
однозначно отображается
внутрь единичного круга, а
правая p-полуплоскость
j
r z
j
Рис. 1. Отображение p-плоскости на zплоскость при билинейном Z-преобразовании
2
2
2
0
0
r 1
r 1
Кафедра №2, ВАС

13. Второй учебный вопрос

13
Второй учебный вопрос
1. Однозначное отображение p-плоскости на zплоскость
Частотная ось
z re j T
r 1
однозначно отображается в единичную окружность:
e j T ; p j 0 j
j
z
re j arg( z )
j
2 2 j ( )
j ( )
e
1
e
2 2
j
r 1
arg( z ) ( ) arctg
T
arctg
2arctg 2arctg
2
-1
1
Отображение точек на Z-плоскость:
0; ( ) 0; z e j ( ) 1
; ( ) 2arctg( ) 2
-j
; z e j ( ) e j 1
2
2
; ( ) 2arctg( ) 2arctg(1) 2 ;
T
4
2
z e j ( ) e jπ 2 j
2
0
Левая p-полуплоскость
однозначно отображается
внутрь единичного круга, а
правая p-полуплоскость
j
r z
j
Рис. 1. Отображение p-плоскости на zплоскость при билинейном Z-преобразовании
2
2
2
0
0
r 1
r 1
Кафедра №2, ВАС

14. Второй учебный вопрос

14
2. Цифровой фильтр устойчив, если устойчив его аналоговый прототип.
3. Соотношение между аналоговыми Ω и цифровыми ω частотами принципиально нелинейно, т. е.
шкала частот деформируется.
p j ; z e j T
2 (1 e j T ) 2 e j T 2 (e j T 2 e j T 2 )
2 (e j T 2 e j T 2 )
j
j
j T
j T 2
j T 2
j T 2
T (1 e
T (e j T 2 e j T 2 )
) T e
(e
e
)
2 T
tg
;
T
2
2
T
arctg
T
2
Кафедра №2, ВАС

15. Второй учебный вопрос

15
Второй учебный вопрос
2. Цифровой фильтр устойчив, если устойчив его аналоговый прототип.
3. Соотношение между аналоговыми Ω и цифровыми ω частотами принципиально нелинейно, т. е.
шкала частот деформируется.
p j ; z e j T
2 (1 e j T ) 2 e j T 2 (e j T 2 e j T 2 )
2 (e j T 2 e j T 2 )
j
j
j T
j T 2
j T 2
j T 2
T (1 e
T (e j T 2 e j T 2 )
) T e
(e
e
)
2 T
tg
;
T
2
2
T
arctg
T
2
0
π
̂
Рис. 2. Связь между аналоговыми и
цифровыми частотами
Кафедра №2, ВАС

16. Второй учебный вопрос

16
Второй учебный вопрос
2. Цифровой фильтр устойчив, если устойчив его аналоговый прототип.
3. Соотношение между аналоговыми Ω и цифровыми ω частотами принципиально нелинейно, т. е.
шкала частот деформируется.
p j ; z e j T
2 (1 e j T ) 2 e j T 2 (e j T 2 e j T 2 )
2 (e j T 2 e j T 2 )
j
j
j T
j T 2
j T 2
j T 2
T (1 e
T (e j T 2 e j T 2 )
) T e
(e
e
)
2 T
tg
;
T
2
2
T
arctg
T
2
4. Сохраняются свойства оптимальности АЧХ аналогового
прототипа вследствие однозначности отображения
частотной оси в единичную окружность.
5. Порядок цифрового фильтра равен порядку аналогового
прототипа, т. е. количество их полюсов одинаково.
Количество нулей ЦФ совпадает с количеством нулей
прототипа, учитывая и нуль прототипа на бесконечности.
0
π
̂
Рис. 2. Связь между аналоговыми и
цифровыми частотами
Кафедра №2, ВАС

17. Второй учебный вопрос

Пример 1
1
H ( p)
;
p a
p a; p
H ( z ) H ( p ) p 1 z
1
1 z 1
z
17
1
1 z 1
1 z 1
( a ) ( a ) z 1
a
1
1 z
a
; z 1
a
Кафедра №2, ВАС

18. Второй учебный вопрос

Пример 1
1
H ( p)
;
p a
p a; p
H ( z ) H ( p ) p 1 z
1
1 z 1
z
18
1
1 z 1
1 z 1
( a ) ( a ) z 1
a
1
1 z
a
; z 1
a
6. Деформация шкалы частот означает, что метод билинейного Z-преобразования:
• пригоден лишь в тех случаях, когда требования к АЧХ фильтра-прототипа задаются
ступенчатой функцией частоты, что свойственно частотно-избирательным фильтрам (НЧ,
ВЧ, ПФ, РФ);
• не пригоден для синтеза корректирующих фильтров (фильтров с произвольными АЧХ),
фильтров с линейной ФЧХ, хотя бы прототип и обладал таким свойством, а также для
сохранения импульсной характеристики прототипа: ни фазочастотная, ни импульсная
характеристики аналогового прототипа не сохраняются.
Кафедра №2, ВАС

19. Третий учебный вопрос

19
Третий учебный вопрос
Методика синтеза
цифрового фильтра при
билинейном Zпреобразовании
Кафедра №2, ВАС

20. Третий учебный вопрос

20
Третий учебный вопрос
1. Задаются требования к цифровому фильтру (рис. 3, а) с указанием типа аппроксимации
АЧХ
ˆ)
A(
2. Формулируются требования к аналоговому
1
а
прототипу (рис. 3, б, в).
1 δ
1
δ2
0
ˆk
ˆ
π ̂
k
0
π ̂
G ( j )
1 1 δ1
δ2 0
б
Рис. 3. Задание
требований к цифровому вфильтру и
аналоговому прототипу:
требования к ЦФ (а), преобразование цифровых
частот
в аналоговые (б), требования к аналоговому прототипу
(в)
Кафедра №2, ВАС

21. Третий учебный вопрос

21
Третий учебный вопрос
1. Задаются требования к цифровому фильтру (рис. 3, а) с указанием типа аппроксимации
АЧХ
ˆ)
A(
2. Формулируются требования к аналоговому
1
а
прототипу (рис. 3, б, в).
1 δ
1
3. Рассчитываются по справочнику или
аналитически (по формулам) нули и полюсы
прототипа:
4. Нули и полюсы прототипа пересчитываются в
z-область по формуле
δ2
0
ˆk
ˆ
π ̂
p
z
p
k
5. По комплексно-сопряженным нулям z ( k 1) z k
и комплексно-сопряженным полюсам z ( k 1) z k
формируются полиномы второй степени с
вещественными коэффициентами, которые
затем используются в качестве числителей и
знаменателей биквадратных звеньев
соответственно.
0
π ̂
G ( j )
1 1 δ1
δ2 0
б
Рис. 3. Задание
требований к цифровому вфильтру и
аналоговому прототипу:
требования к ЦФ (а), преобразование цифровых
частот
в аналоговые (б), требования к аналоговому прототипу
(в)
Кафедра №2, ВАС

22. Третий учебный вопрос

22
Третий учебный вопрос
z k k j k ;
1
1
1
2
(1 z k z )(1 z k 1z ) 1 a1k z a2 k z ;
z k 1 k j k
a1k 2 k ; a2 k 2k 2k
Кафедра №2, ВАС

23. Третий учебный вопрос

23
z k k j k ;
1
1
1
2
(1 z k z )(1 z k 1z ) 1 a1k z a2 k z ;
z k 1 k j k
a1k 2 k ; a2 k 2k 2k
6. По правилу близости добротностей нуля и полюса формируются К/2 биквадратных звеньев
вида
1
2
H k ( z)
b0k b1k z b2k z
1 a1k z 1 a2k z 2
Qk
ˆk
rk
1 rk2
Рис. 4. Принцип объединения нулей и
полюсов
в биквадратные звенья
Кафедра №2, ВАС

24. Третий учебный вопрос

24
z k k j k ;
1
1
1
2
(1 z k z )(1 z k 1z ) 1 a1k z a2 k z ;
z k 1 k j k
a1k 2 k ; a2 k 2k 2k
6. По правилу близости добротностей нуля и полюса формируются К/2 биквадратных звеньев
вида
1
2
H k ( z)
b0k b1k z b2k z
1 a1k z 1 a2k z 2
Qk
ˆk
rk
1 rk2
Q1
ˆ 1 0,8 6
r1
ˆ3
r3
0, 21 0
1,16
Q
0
3
2
2
1 r1 1 0, 64
1 r3 1 0,0441
Q2
ˆ 2 0,85 0, 4
r2
3,85
2
0,
2775
1 r2
Q3 Q1 Q2
Рис. 4. Принцип объединения нулей и
полюсов
в биквадратные звенья
Кафедра №2, ВАС

25. Третий учебный вопрос

25
z k k j k ;
1
1
1
2
(1 z k z )(1 z k 1z ) 1 a1k z a2 k z ;
z k 1 k j k
a1k 2 k ; a2 k 2k 2k
6. По правилу близости добротностей нуля и полюса формируются К/2 биквадратных звеньев
вида
1
2
H k ( z)
b0k b1k z b2k z
1 a1k z 1 a2k z 2
Qk
ˆk
rk
1 rk2
Q1
ˆ 1 0,8 6
r1
ˆ3
r3
0, 21 0
1,16
Q
0
3
2
2
1 r1 1 0, 64
1 r3 1 0,0441
Q2
ˆ 2 0,85 0, 4
r2
3,85
2
0,
2775
1 r2
Q3 Q1 Q2
H ( z ) H3 ( z) H1 ( z) H 2 ( z)
8. Для каждого звена, во избежание переполнения его
сумматора, рассчитывается коэффициент масштабирования
k
Рис. 4. Принцип объединения нулей и
полюсов
в биквадратные звенья
Кафедра №2, ВАС

26. Заключение

26
Изученный метод синтеза БИХ-фильтров используется очень широко, в том числе
и для синтеза цифровых фазовых корректоров. Однако и у него есть свои
ограничения на применения: невозможно синтезировать фильтры, согласованные
с сигналом, амплитудные корректоры.
Кафедра №2, ВАС

27.

ЛЕКЦИЯ ЗАВЕРШЕНА!