Лекция по учебной дисциплине «Цифровая схемотехника и обработка сигналов» (Д-0205-1) Тема № 11: «Фильтры с бесконечной
Учебные цели:
Учебные вопросы:
Литература для самостоятельной работы обучаемых:
Первый учебный вопрос
Первый учебный вопрос
Первый учебный вопрос
Первый учебный вопрос
Второй учебный вопрос
Второй учебный вопрос
Второй учебный вопрос
Второй учебный вопрос
Второй учебный вопрос
Второй учебный вопрос
Второй учебный вопрос
Второй учебный вопрос
Второй учебный вопрос
Второй учебный вопрос
Третий учебный вопрос
Третий учебный вопрос
Третий учебный вопрос
Третий учебный вопрос
Третий учебный вопрос
Третий учебный вопрос
Третий учебный вопрос
Заключение
2.32M
Категории: ФизикаФизика ЭлектроникаЭлектроника

Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой. Синтез БИХ-фильтров методом билинейного Z-преобразования''

1. Лекция по учебной дисциплине «Цифровая схемотехника и обработка сигналов» (Д-0205-1) Тема № 11: «Фильтры с бесконечной

ВОЕННАЯ АКАДЕМИЯ СВЯЗИ
Лекция
по учебной дисциплине «Цифровая схемотехника и обработка
сигналов»
(Д-0205-1)
Тема № 11: «Фильтры с бесконечной импульсной
характеристикой»
Занятие № 44: «Синтез БИХ-фильтров методом
билинейного Z-преобразования»
Руководитель занятия – доцент кафедры, к.т.н., доцент,
полковник Филимонов Василий Александрович
г. Санкт-Петербург
2018

2. Учебные цели:

2
Учебные цели:
Изучить содержание билинейного Zпреобразования.
2.
Изучить методику синтеза цифровых
БИХ-фильтров при билинейном Zпреобразовании.
1.
Кафедра №2, ВАС

3. Учебные вопросы:

3
Учебные вопросы:
1.Определение билинейного Zпреобразования.
2.Свойства
билинейного
Zпреобразования.
3.Методика
синтеза
БИХфильтров.
Кафедра №2, ВАС

4. Литература для самостоятельной работы обучаемых:

4
Литература для самостоятельной работы обучаемых:
1. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций./
Авторы: А. И. Солонина, Д. А. Улахович, С. М. Арбузов,
Е. Б. Соловьёва/ Изд 2-е испр. и перераб. – СПб, БХВ,
2005. – 768 с. стр. 499 – 504, 507 – 516 .
Кафедра №2, ВАС

5. Первый учебный вопрос

5
Первый учебный вопрос
Определение билинейного
Z-преобразования
Кафедра №2, ВАС

6. Первый учебный вопрос

6
Первый учебный вопрос
z e pT
1
p ln z
T
2 n 1
z 1 1 z 1 3
1 z 1
ln z 2
... , n 0, 1, 2, ...
...
2n 1 z 1
z 1 3 z 1
Кафедра №2, ВАС

7. Первый учебный вопрос

7
Первый учебный вопрос
z e pT
1
p ln z
T
2 n 1
z 1 1 z 1 3
1 z 1
ln z 2
... , n 0, 1, 2, ...
...
2n 1 z 1
z 1 3 z 1
p
2 z 1
T z 1
Кафедра №2, ВАС

8. Первый учебный вопрос

8
Первый учебный вопрос
z e pT
1
p ln z
T
2 n 1
z 1 1 z 1 3
1 z 1
ln z 2
... , n 0, 1, 2, ...
...
2n 1 z 1
z 1 3 z 1
p
2 1 z 1
p
T 1 z 1
2 z 1
T z 1
2 T
1 z 1
p γ
1 z 1
p
z
p
H ( p)
p
1 z 1
1 z 1
H ( z)
Кафедра №2, ВАС

9. Второй учебный вопрос

9
Второй учебный вопрос
Свойства билинейного Zпреобразования
Кафедра №2, ВАС

10. Второй учебный вопрос

10
Второй учебный вопрос
1. Однозначное отображение p-плоскости на zплоскость
Частотная ось
z re j T
r 1
однозначно отображается в единичную окружность:
e j T ; p j 0 j
j
z
re j arg( z )
j
2 2 j ( )
j ( )
e
1
e
2 2
j
r 1
arg( z ) ( ) arctg
T
arctg
2arctg 2arctg
2
-1
0
1
-j
Рис. 1. Отображение p-плоскости на zплоскость при билинейном Z-преобразовании
Кафедра №2, ВАС

11. Второй учебный вопрос

11
Второй учебный вопрос
1. Однозначное отображение p-плоскости на zплоскость
Частотная ось
z re j T
r 1
однозначно отображается в единичную окружность:
e j T ; p j 0 j
j
z
re j arg( z )
j
2 2 j ( )
j ( )
e
1
e
2 2
j
r 1
arg( z ) ( ) arctg
T
arctg
2arctg 2arctg
2
-1
0
1
Отображение точек на Z-плоскость:
0; ( ) 0; z e j ( ) 1
; ( ) 2arctg( ) 2
-j
; z e j ( ) e j 1
2
2
; ( ) 2arctg( ) 2arctg(1) 2 ;
T
4
2
z e j ( ) e jπ 2 j
Рис. 1. Отображение p-плоскости на zплоскость при билинейном Z-преобразовании
Кафедра №2, ВАС

12. Второй учебный вопрос

12
Второй учебный вопрос
1. Однозначное отображение p-плоскости на zплоскость
Частотная ось
z re j T
r 1
однозначно отображается в единичную окружность:
e j T ; p j 0 j
j
z
re j arg( z )
j
2 2 j ( )
j ( )
e
1
e
2 2
j
r 1
arg( z ) ( ) arctg
T
arctg
2arctg 2arctg
2
-1
1
Отображение точек на Z-плоскость:
0; ( ) 0; z e j ( ) 1
; ( ) 2arctg( ) 2
-j
; z e j ( ) e j 1
2
2
; ( ) 2arctg( ) 2arctg(1) 2 ;
T
4
2
z e j ( ) e jπ 2 j
2
0
Левая p-полуплоскость
однозначно отображается
внутрь единичного круга, а
правая p-полуплоскость
j
r z
j
Рис. 1. Отображение p-плоскости на zплоскость при билинейном Z-преобразовании
2
2
2
0
0
r 1
r 1
Кафедра №2, ВАС

13. Второй учебный вопрос

13
Второй учебный вопрос
1. Однозначное отображение p-плоскости на zплоскость
Частотная ось
z re j T
r 1
однозначно отображается в единичную окружность:
e j T ; p j 0 j
j
z
re j arg( z )
j
2 2 j ( )
j ( )
e
1
e
2 2
j
r 1
arg( z ) ( ) arctg
T
arctg
2arctg 2arctg
2
-1
1
Отображение точек на Z-плоскость:
0; ( ) 0; z e j ( ) 1
; ( ) 2arctg( ) 2
-j
; z e j ( ) e j 1
2
2
; ( ) 2arctg( ) 2arctg(1) 2 ;
T
4
2
z e j ( ) e jπ 2 j
2
0
Левая p-полуплоскость
однозначно отображается
внутрь единичного круга, а
правая p-полуплоскость
j
r z
j
Рис. 1. Отображение p-плоскости на zплоскость при билинейном Z-преобразовании
2
2
2
0
0
r 1
r 1
Кафедра №2, ВАС

14. Второй учебный вопрос

14
2. Цифровой фильтр устойчив, если устойчив его аналоговый прототип.
3. Соотношение между аналоговыми Ω и цифровыми ω частотами принципиально нелинейно, т. е.
шкала частот деформируется.
p j ; z e j T
2 (1 e j T ) 2 e j T 2 (e j T 2 e j T 2 )
2 (e j T 2 e j T 2 )
j
j
j T
j T 2
j T 2
j T 2
T (1 e
T (e j T 2 e j T 2 )
) T e
(e
e
)
2 T
tg
;
T
2
2
T
arctg
T
2
Кафедра №2, ВАС

15. Второй учебный вопрос

15
Второй учебный вопрос
2. Цифровой фильтр устойчив, если устойчив его аналоговый прототип.
3. Соотношение между аналоговыми Ω и цифровыми ω частотами принципиально нелинейно, т. е.
шкала частот деформируется.
p j ; z e j T
2 (1 e j T ) 2 e j T 2 (e j T 2 e j T 2 )
2 (e j T 2 e j T 2 )
j
j
j T
j T 2
j T 2
j T 2
T (1 e
T (e j T 2 e j T 2 )
) T e
(e
e
)
2 T
tg
;
T
2
2
T
arctg
T
2
0
π
̂
Рис. 2. Связь между аналоговыми и
цифровыми частотами
Кафедра №2, ВАС

16. Второй учебный вопрос

16
Второй учебный вопрос
2. Цифровой фильтр устойчив, если устойчив его аналоговый прототип.
3. Соотношение между аналоговыми Ω и цифровыми ω частотами принципиально нелинейно, т. е.
шкала частот деформируется.
p j ; z e j T
2 (1 e j T ) 2 e j T 2 (e j T 2 e j T 2 )
2 (e j T 2 e j T 2 )
j
j
j T
j T 2
j T 2
j T 2
T (1 e
T (e j T 2 e j T 2 )
) T e
(e
e
)
2 T
tg
;
T
2
2
T
arctg
T
2
4. Сохраняются свойства оптимальности АЧХ аналогового
прототипа вследствие однозначности отображения
частотной оси в единичную окружность.
5. Порядок цифрового фильтра равен порядку аналогового
прототипа, т. е. количество их полюсов одинаково.
Количество нулей ЦФ совпадает с количеством нулей
прототипа, учитывая и нуль прототипа на бесконечности.
0
π
̂
Рис. 2. Связь между аналоговыми и
цифровыми частотами
Кафедра №2, ВАС

17. Второй учебный вопрос

Пример 1
1
H ( p)
;
p a
p a; p
H ( z ) H ( p ) p 1 z
1
1 z 1
z
17
1
1 z 1
1 z 1
( a ) ( a ) z 1
a
1
1 z
a
; z 1
a
Кафедра №2, ВАС

18. Второй учебный вопрос

Пример 1
1
H ( p)
;
p a
p a; p
H ( z ) H ( p ) p 1 z
1
1 z 1
z
18
1
1 z 1
1 z 1
( a ) ( a ) z 1
a
1
1 z
a
; z 1
a
6. Деформация шкалы частот означает, что метод билинейного Z-преобразования:
• пригоден лишь в тех случаях, когда требования к АЧХ фильтра-прототипа задаются
ступенчатой функцией частоты, что свойственно частотно-избирательным фильтрам (НЧ,
ВЧ, ПФ, РФ);
• не пригоден для синтеза корректирующих фильтров (фильтров с произвольными АЧХ),
фильтров с линейной ФЧХ, хотя бы прототип и обладал таким свойством, а также для
сохранения импульсной характеристики прототипа: ни фазочастотная, ни импульсная
характеристики аналогового прототипа не сохраняются.
Кафедра №2, ВАС

19. Третий учебный вопрос

19
Третий учебный вопрос
Методика синтеза
цифрового фильтра при
билинейном Zпреобразовании
Кафедра №2, ВАС

20. Третий учебный вопрос

20
Третий учебный вопрос
1. Задаются требования к цифровому фильтру (рис. 3, а) с указанием типа аппроксимации
АЧХ
ˆ)
A(
2. Формулируются требования к аналоговому
1
а
прототипу (рис. 3, б, в).
1 δ
1
δ2
0
ˆk
ˆ
π ̂
k
0
π ̂
G ( j )
1 1 δ1
δ2 0
б
Рис. 3. Задание
требований к цифровому вфильтру и
аналоговому прототипу:
требования к ЦФ (а), преобразование цифровых
частот
в аналоговые (б), требования к аналоговому прототипу
(в)
Кафедра №2, ВАС

21. Третий учебный вопрос

21
Третий учебный вопрос
1. Задаются требования к цифровому фильтру (рис. 3, а) с указанием типа аппроксимации
АЧХ
ˆ)
A(
2. Формулируются требования к аналоговому
1
а
прототипу (рис. 3, б, в).
1 δ
1
3. Рассчитываются по справочнику или
аналитически (по формулам) нули и полюсы
прототипа:
4. Нули и полюсы прототипа пересчитываются в
z-область по формуле
δ2
0
ˆk
ˆ
π ̂
p
z
p
k
5. По комплексно-сопряженным нулям z ( k 1) z k
и комплексно-сопряженным полюсам z ( k 1) z k
формируются полиномы второй степени с
вещественными коэффициентами, которые
затем используются в качестве числителей и
знаменателей биквадратных звеньев
соответственно.
0
π ̂
G ( j )
1 1 δ1
δ2 0
б
Рис. 3. Задание
требований к цифровому вфильтру и
аналоговому прототипу:
требования к ЦФ (а), преобразование цифровых
частот
в аналоговые (б), требования к аналоговому прототипу
(в)
Кафедра №2, ВАС

22. Третий учебный вопрос

22
Третий учебный вопрос
z k k j k ;
1
1
1
2
(1 z k z )(1 z k 1z ) 1 a1k z a2 k z ;
z k 1 k j k
a1k 2 k ; a2 k 2k 2k
Кафедра №2, ВАС

23. Третий учебный вопрос

23
z k k j k ;
1
1
1
2
(1 z k z )(1 z k 1z ) 1 a1k z a2 k z ;
z k 1 k j k
a1k 2 k ; a2 k 2k 2k
6. По правилу близости добротностей нуля и полюса формируются К/2 биквадратных звеньев
вида
1
2
H k ( z)
b0k b1k z b2k z
1 a1k z 1 a2k z 2
Qk
ˆk
rk
1 rk2
Рис. 4. Принцип объединения нулей и
полюсов
в биквадратные звенья
Кафедра №2, ВАС

24. Третий учебный вопрос

24
z k k j k ;
1
1
1
2
(1 z k z )(1 z k 1z ) 1 a1k z a2 k z ;
z k 1 k j k
a1k 2 k ; a2 k 2k 2k
6. По правилу близости добротностей нуля и полюса формируются К/2 биквадратных звеньев
вида
1
2
H k ( z)
b0k b1k z b2k z
1 a1k z 1 a2k z 2
Qk
ˆk
rk
1 rk2
Q1
ˆ 1 0,8 6
r1
ˆ3
r3
0, 21 0
1,16
Q
0
3
2
2
1 r1 1 0, 64
1 r3 1 0,0441
Q2
ˆ 2 0,85 0, 4
r2
3,85
2
0,
2775
1 r2
Q3 Q1 Q2
Рис. 4. Принцип объединения нулей и
полюсов
в биквадратные звенья
Кафедра №2, ВАС

25. Третий учебный вопрос

25
z k k j k ;
1
1
1
2
(1 z k z )(1 z k 1z ) 1 a1k z a2 k z ;
z k 1 k j k
a1k 2 k ; a2 k 2k 2k
6. По правилу близости добротностей нуля и полюса формируются К/2 биквадратных звеньев
вида
1
2
H k ( z)
b0k b1k z b2k z
1 a1k z 1 a2k z 2
Qk
ˆk
rk
1 rk2
Q1
ˆ 1 0,8 6
r1
ˆ3
r3
0, 21 0
1,16
Q
0
3
2
2
1 r1 1 0, 64
1 r3 1 0,0441
Q2
ˆ 2 0,85 0, 4
r2
3,85
2
0,
2775
1 r2
Q3 Q1 Q2
H ( z ) H3 ( z) H1 ( z) H 2 ( z)
8. Для каждого звена, во избежание переполнения его
сумматора, рассчитывается коэффициент масштабирования
k
Рис. 4. Принцип объединения нулей и
полюсов
в биквадратные звенья
Кафедра №2, ВАС

26. Заключение

26
Изученный метод синтеза БИХ-фильтров используется очень широко, в том числе
и для синтеза цифровых фазовых корректоров. Однако и у него есть свои
ограничения на применения: невозможно синтезировать фильтры, согласованные
с сигналом, амплитудные корректоры.
Кафедра №2, ВАС

27.

ЛЕКЦИЯ ЗАВЕРШЕНА!
English     Русский Правила