Признаки подобия треугольников

1.

В
B`
С
C`
A`
А
Два треугольника называются подобными,
если их углы соответственно равны и
стороны одного треугольника
пропорциональны сходственным
сторонам другого.

2. Первый признак подобия треугольников

ЕСЛИ ДВА УГЛА ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
СООТВЕТСТВЕННО РАВНЫ ДВУМ УГЛАМ
ДРУГОГО, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
ПОДОБНЫ.
,
А А
С С
,

3.

A
B
D
C
E
F
∟AED=∟FEC (вертикальные)
∟ADE=∟FCE (накрест лежащие)
∆AED и ∆FEC – подобны
(по двум углам)
Дано: ABCD –
параллелограмм,
Е принадлежит DC;
F=AE BC;
DE=8см;
EC=4см;
BC=7см;
AE=10см.
Найти:
EF и FC.
DE AE
8 10
4 10
EF
5см
EC EF
4 EF
8
AD BC 7
AD DE
7
8
7 4
FC
3,5
FC CE
FC 4
8
Ответ: EF=5см; FC=3,5см.

4. Решим задачу:

По данным рисунка найдите х .
E
D
Составим пропорцию:
j
х
8
A
12
C
B
6
НАЙДЁМ Х :

5. Второй признак подобия треугольников: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и

углы, заключённые
между этими сторонами, равны, то такие треугольники
подобны.
АВ:А`B`=AC:A`C`;
∆ABC
∟A=∟A`
∆A`B`C`

6. Задача №559

На одной из сторон данного угла А отложены отрезки
АВ=5см и АС=16 см. На другой стороне этого же угла
отложены отрезки AD=8см и AF=10см. Подобны ли
треугольники ACD и AFB?
Дано: АВ=5см
Решение
АС=16см,AD=8см,
AF=10см.
Найти: ACD и
AFB
подобны?
C
∆ACD и ∆AFB
подобны по
B
A
1) ∟А- общий
AB 5 AF 10 5
2)
;
AD 8 AC 16 8
AB AF
AD AC
D
E
углу и двум
сторонам.

7.

Т
р
е
т
и
й
п
р
и
з
н
а
к
п
о
д
о
б
и
я
Если три стороны одного
треугольника пропорциональны
трём сторонам другого, то такие
треугольники подобны.
A
B
F
D
E
C

8.

Подобны ли треугольники ABC и A1B1C1, если АВ=3см, ВС=5см, СА=7см,
А1В1=4,5см, В1С1=7,5см, С1А1=10,5см?
Треугольники подобны, если
Проверим:
AB
3
2
;
A1 B1
4,5 3
BC
5
2
;
B1C1
7,5 3
AC
7
2
A1C1 10,5 3
AB BC AC
A1B1 B1C1 A1C1

9.

Средней линией треугольника называется
отрезок, соединяющий середины двух его
сторон.
Дано: EFG
F
EH=HF
EI=IG
Доказать:
H
HI=
E
I
G
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРЕУГОЛЬНИКА
ПАРАЛЛЕЛЬНА ОДНОЙ ИЗ ЕГО СТОРОН И
РАВНА ПОЛОВИНЕ ЭТОЙ СТОРОНЫ.
HI
1
2
FG
FG

10.

Доказать, что медианы
треугольника пересекаются в
одной точке, которая делит
каждую медиану в отношении
2:1, считая от вершины.
ED – средняя линия→AB ED→
∟1=∟2, ∟3=∟4 (накрест лежащие)→
∆ACB подобен ∆ECD (по двум углам).
C
Значит:
E
4
Но AB=2ED, поэтому AO=2OD,
D
2
AO BO AB
OD OE ED
BO=2OE.
O
Таким образом, точка О пересечения
A
1
3
F
B
медиан AD и BE делит каждую из них
в отношении 2:1, считая от вершины

11.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В
ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
А
Высота прямоугольного треугольника,
проведённая из вершины прямого угла,
разделяет треугольник на два подобных
прямоугольных треугольника, каждый из
которых подобен данному треугольнику.
D
С
В

12.

1. Высота прямоугольного
треугольника, проведённая из
вершины прямого угла, есть
среднее пропорциональное
между отрезками, на
которые делится гипотенуза
этой высотой.
CD AD DB
А D
В
С

13.

Катет прямоугольного треугольника
есть среднее пропорциональное между
гипотенузой и отрезком гипотенузы,
заключённом между катетом и
высотой, проведённой из вершины
прямого угла.
А
AC AB AD
BC AB BD
D
С
В

14. Самостоятельная работа

C
b
h
a
A
B
bc
D
ac
Вариант 1
Вариант 2
Дано:
Дано:
bc=25;
ac=16.
Найти:
h; a; b.
Найти:
bc=36;
ac=64.
h; a; b.