Рациональные, иррациональные неравенства. Приемы их решения

1. Рациональные, иррациональные неравенства. Основные приемы их решения

2. Иррациональные неравенства

Определение. Иррациональные
неравенства – это неравенства,
содержащие переменную под знаком корня.
x 3 26 x 2;
5 y 3;
x 2 4x 5 2x 3 0.

3. Подходы к решению иррациональных неравенств

Иррациональные неравенства решаются с
помощью перехода к равносильным
рациональным неравенствам или их
системам.
Исходное
неравенство
Равносильное неравенство
или система
1
f(x) > g(x)
2
f(x) > g(x) ≥ 0
f 2n+1(x) > g 2n+1(x), n N
f 2n(x) > g 2n(x)
f(x) > 0
g(x) ≥ 0

4. Подходы к решению иррациональных неравенств

Исходное
неравенство
3
4
5
f(x) g(x)
f(x) g(x)
f(x) g(x)
Равносильное неравенство
или система
f(x) ≥ 0
g(x) > 0
f(x) < g2(x)
f(x) ≥ 0
g(x) ≥ 0
f(x) ≤ g2(x)
g(x) < 0
f(x) ≥ 0
g(x) ≥ 0
f(x) > g2(x)

5. Подходы к решению иррациональных неравенств

Исходное
неравенство
Равносильное неравенство
или система
1
f(x) a, a 0
f(x) ≥ а2
2
f(x) a, a 0
f(x) ≥ 0
3
f(x) a, a 0
f(x) ≥ 0
f(x) ≥ а2
4
f(x) a, a 0
Нет решений ( x )

6. Решение иррациональных неравенств

Пример 1. 3 x 3 26 x 2
х3 + 26 > (x + 2)3
x2 + 2x – 3 < 0
1).
(x -1)(x + 3) < 0
x (-3;
Пример 2. 5 y 3
5–у≥0
у≤5
5–y≤3
y≥4
у
[-4;
5]

7. Решение иррациональных неравенств методом интервалов

8. Решим неравенства:

1.
x 5 1
2.
x 7 x 1
3.
( x 1) x x 2 0
2

9. Решение первого неравенства 1. равносильно

Решение первого неравенства
1.
x 5 1
равносильно
x 5 1 0
Шаг 1. Рассмотрим иррациональную функцию f ( x)
x 5 0
и найдем область определения
x 5
- область определения
Шаг 2. Вычислим нули функции
x 5 1
x 5 1 0
x 5 1
( x 5 ) 2 12
x 5 1
x 6
Шаг 3.
Ответ
- нуль функции
f (5.5) 5.5 5 1 0.5 1 0
x [5;6)
f (7 ) 7 5 1 2 1 0

10. 2. равносильно

2.
x 7 x 1
равносильно
x 7 x 1 0
Шаг 1. Рассмотрим иррациональную функцию
и найдем область ее определения
x 7
- область определения
Шаг 2. Вычислим нули функции
f ( x)
x 7 0
x 7 x 1
x 7 x 1 0
x 7 x 1
x 1 0
2
2
( x 7 ) ( x 1)
x 2
x 1
x 1
x 1
2
2
x
7
x
2
x
1
x x 6 0 x1 3; x 2 2
- нуль функции
Шаг 3.
f ( 6) 6 7 ( 6) 1 1 6 1 6 0
f (9) 9 7 9 1 4 10 6 0
Ответ
x [ 7;2)

11.

( x 1) x x 2 0
2
Шаг1.расмотрим иррациональную функцию
Найдем область определения
f ( x) (x - 1) x 2 x 2
x2 x 2 0
x1 2
x 2 1
Область определения
x 1
и
x 2

12. Шаг 2. Вычислим нули функции

( x 1) x x 2 0
2
x2 x 2 0
x 1 0
x2 x 2 0
x1 1
x 2 1
x3 2
-1; 1; 2 - нули функции
Шаг 3.
f ( 3) 0
f (3) 0
Ответ:
x ( ;1]
и
x 2

13. Алгоритм решения иррациональных неравенств:

1. Введение иррациональной функции;
нахождение области определения
функции.
2. Вычисление нулей функции.
3. На координатной прямой:
• отмечаем нули функции, принадлежащие
области определения;
• определяем знак функции на каждом
промежутке;
• с учетом знака неравенства выписываем
ответ.

14. Решение иррациональных неравенств

Пример 3.
x 2 4x 5 2x 3 0
x 2 4x 5 2x 3
2х – 3 < 0
x < 1,5
x2 + 4x – 5 ≥ 0
(x – 1)(x + 5) ≥ 0
2х – 3 ≥ 0
x ≥ 1,5
x2 + 4x – 5 >(2x + 3)2
3x2 – 16x + 14 < 0
1,5
x < 1,5
(x – 1)(x + 5) ≥ 0
x ≥ 1,5
8 22
8 22
x
x
0
3
3
/////////////////////////////////////////////////////////////
\\\\\\\\\\\\\\
-5
\\\\\\\\\\\\\\\\\
1
1,5
////////////////////////
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
8 22
3
8 22
x ( ; 5] [1;
)
3
8 22
3