Решение иррациональных неравенств

1. Решение иррациональных неравенств.

2.

Рассматрим решение неравенств, содержащих
переменную под знаком квадратного корня.
При решении таких неравенств необходимо помнить условие
существования квадратного корня (ОДЗ): подкоренное
выражение не может принимать отрицательные значения.
Некоторые методы решения иррациональных
неравенств.
Назад
Метод интервалов.
Использование равносильных переходов.
Метод рационализации (замены множителей).
Введение новой переменной.
Использование свойств квадратного корня.
Решение неравенств, содержащих двойные радикалы.

3.

Методы
Метод интервалов.
Метод интервалов – это универсальный способ решения
практически любых неравенств, которые встречаются в
школьном курсе алгебры.
Пример 1.
4 x x 5 0
4 x 0
ОДЗ :
x 5 0
Найдем нули функции
4 x x 5 0
4 x x 5
4 x x 5
1
x ОДЗ
2
05.04.2020
5
x 4
x 5
x [ 5 ;4 ]
1
2
4
Определим знаки функции на полученных
промежутках и учтем ОДЗ.
1
Ответ : 5 ;
2
3

4.

Методы
Метод интервалов.
Пример 2.
x 2 5 x 6 2 x 2 6 x 15
x 2 5 x 6 2 x 2 6 x 15 0
Найдем нули функции
x 2 5 x 6 2 x 2 6 x 15 0
x 2 5 x 6 2 x 2 6 x 15
x 2 5 x 6 2 x 2 6 x 15
x2 x 9 0
1 37 ОДЗ
x
2
1 37 ОДЗ
x
2
1 37
2
x2 5 x 6 0
ОДЗ : 2
2 x 6 x 15 0
( x 6 )( x 1 ) 0
3 39
3 39
x
0
x
2
2
3 39
2
3 39
2
1
3 39
2
6
6
Далее нужно определить знаки функции на
полученных промежутках.
4

5.

Методы
Метод интервалов.
Пример 2.
x 2 5 x 6 2 x 2 6 x 15
x 5 x 6 2 x 6 x 15 0
2
2
1 37
2
3 39
2
6
Правило чередования знаков здесь не работает, так как левая
часть не разложена на множители.
Браться за определение знаков функции методом контрольных
точек страшновато (хотя преодолев определенные
вычислительные трудности, мы достигнем цели).
Можно избежать этих неприятностей, если владеть другими
методами решения иррациональных неравенств.
5

6.

Использование равносильных переходов.
Методы
Выведем схемы решения трех основных типов иррациональных
неравенств используя свойства числовых неравенств и здравый смысл.
Таким образом избежим малоэффективного механического
запоминания.
1. a )
f ( x ) g( x )
f(x) 0
ОДЗ :
g( x ) 0
Так как левая и правая части неравенства
неотрицательны, то по свойству числовых
неравенств имеем право возвести их в квадрат
не меняя при этом знак неравенства.
То есть, необходимо f ( x ) 0
выполнение трех
g( x ) 0
f ( x ) g( x )
условий:
f ( x ) g( x )
Найди лишнее!
f(x) 0
f0( x f)( x ) gg((xx))
f ( –xлишнее
) g( x )
Очевидно, что g(x) ≥0
6

7.

Использование равносильных переходов.
Методы
Самостоятельно выведи схему для решения следующего неравенства
1. б )
f ( x ) g( x )
f ( x) 0
g ( x) 0
f ( x) g ( x)
f(x) 0
ОДЗ :
g( x ) 0
f ( x ) g( x )
( x– )лишнее
0
g≥0
0 f g( (xx))
f (gx() x=>
f(x)
)
f ( x ) g( x )
Следует отметить, что данные переходы справедливы и для
нестрогих неравенств.
Отметим положительный момент в применении выведенных
схем: нужно решать не три неравенства (метод интервалов), а два.
Меньше действий – меньше вероятность допустить ошибку!
7

8.

Использование равносильных переходов.
2.
f ( x ) g( x )
ОДЗ : f ( x ) 0
Условие, при котором неравенство
может иметь решения: g ( x ) 0
2
Тогда: f ( x ) g ( x )
Незначительно отличается
переход для нестрогого
неравенства:
Методы
f(x) 0
f ( x ) g( x ) g( x ) 0
f ( x ) g2( x )
f(x) 0
f ( x ) g( x ) g( x ) 0
f ( x ) g2( x )
8

9.

Использование равносильных переходов.
3.
f ( x ) g( x )
ОДЗ : f ( x ) 0
Методы
Лишнее условие.
Объясни почему.
Решения у такого неравенства могут быть при любом значении g(x)
1 случай: g ( x ) 0
f(x) 0
Тогда неравенство выполнено при любом х ϵ ОДЗ
g( x ) 0
2 случай: g ( x ) 0
f(x) 0
Тогда имеем право возвести обе части в квадрат g ( x ) 0
f ( x ) g2( x )
f ( x ) 0
g( x ) 0
f ( x ) g( x )
g( x ) 0
2
f ( x ) g ( x )
9

10.

Использование равносильных переходов.
f(x) 0
f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
g( x ) 0
f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
Не пропускайте вывод данных
равносильных переходов.
Запоминание без понимания
смысла – занятие
малоперспективное.
Методы
f(x) 0
f ( x ) g( x ) g( x ) 0
f ( x ) g2( x )
f ( x ) 0
g( x ) 0
f ( x ) g( x )
g( x ) 0
2
f ( x ) g ( x )
Назад
10

11.

Использование равносильных переходов.
Методы
Переходы
Пример 2.
2
x
5x 6 0
2
2
x 5 x 6 2 x 6 x 15 2
2
x
5
x
6
2
x
6 x 15
x2 5 x 6 0
x 2 5 x 6 2 x 2 6 x 15
( x 6 )( x 1 ) 0
x2 x 9 0
11
66
1 37
x
2
1 37
x
2
1 37
2
Сравни с решением методом
интервалов.
0
1 37
2
1 37
Ответ : ;
2
( 6 ; )
11

12.

Методы
Использование равносильных переходов.
Переходы
Пример 3.
x 2 2 x 1 0
2 x 3 0
2
x 2x 1 2x 3
2 x 3 0
x 2 2 x 1 ( 2 x 3 )2
1 система
x 2 2 x 1 0
2 x 3 0
( x ( 1 2 ))( x ( 1 2 )) 0
x 1,5
1 2
1,5
1 2
x [ 1 2 ;1,5 )
12

13.

Использование равносильных переходов.
Методы
Переходы
Пример 3.
x [ 1 2 ;1,5 )
2
x 2 x 1 2 x 3 2 x 3 0
x 2 2 x 1 ( 2 x 3 )2
2 система
2 x 3 0
2
2
x 2 x 1 ( 2 x 3 )
x 1,5
x 2 ( x 0 ,8 ) 0
Объединение решений
0 ,8
1,5
2
x [ 1,5 ;2 )
x [ 1 2 ;1,5 )
x [ 1,5 ;2 )
Ответ : [ 1 2 ;2 )

14.

Методы
Использование равносильных переходов.
Переходы
Пример 4.
2 x x 2 0
x( 2 x ) 0
x 5
2 x x 2 5 x 5 x 0
2 x 2 12 x 25 0
2 x x 2 ( 5 x )2
2 x 2 12 x 25 0
x 5
x( 2 x ) 0
2 x 2 12 x 25 0
D 0 функция не имеет нулей
0
2
2 x 2 12 x 25 0
5
x R
Ответ : [ 0 ;2 ]
при любом х

15.

Метод рационализации (замены множителей)
Методы
Переходы
Пример 5.
3 x2 3 x 7 6 x x2
0
( 10 x 7 )( 10 x 3 )
Схемы не работают.
Такое неравенство удобно решать методом замены множителей,
который уже рассматривался в теме «Решение неравенств,
содержащих переменную под знаком модуля» и будет
рассматриваться позднее при решении показательных и
логарифмических неравенств.
В применении к иррациональным множителям замены выглядят
следующим образом:
f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x ) f ( x ) g 2 ( x ) ( g ( x ) 0 )
f ( x ) g( x ) 1
f ( x ) g( x ) 1 ( g ( x ) 0 )
Помни про ОДЗ!
Объясни.

16.

Метод рационализации (замены множителей)
Методы
Переходы
Пример 5.
3x 3x 7 6 x x
0
( 10 x 7 )( 10 x 3 )
2
2
Числитель является множителем дроби.
Замена:
f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x )
3 x2 3 x 7 ( 6 x x2 )
0
( 10 x 7 )( 10 x 3 )
3 x2 3 x 7 ( 6 x x2 )
0
( 10 x 7 )( 10 x 3 )
4 x2 4 x 1
( 2 x 1 )2
0
0
Учтем
ОДЗ
( 10 x 7 )( 10 x 3 )
( 10 x 7 )( 10 x 3 )
2
0 ,3
!
0 ,5
0 ,7
3
3 x 2 3 x 7 0
6 x x 2 0
ОДЗ
10 x 7 0
10 x 3 0
D 0, x R
( x 3 )( x 2 ) 0
x 0 ,7
x 0 ,3
2 0 ,3
0 ,7
3
Ответ : [ 2 ;0 ,3 ) { 0 ,5 } ( 0 ,7 ;3 ]

17.

Метод рационализации (замены множителей)
Методы
Переходы
Пример 6.
2 x 2 2 x 25 0
ОДЗ 10 x 7 0
10 x 3 0
2 x 2 x 25 6 x
0
( 10 x 7 )( 10 x 3 )
2
2 x 2 2 x 25 (6 x)
0
(10 x 7)(10 x 3)
D 0 , x R x 0 ,7
x 0 ,7
x 0 ,3
x 0 ,3
Множитель (6-х) может принимать как
отрицательные, так и неотрицательные
значения.
1 случай: 6 x 0 , x [ 6 ; ). Замена: f ( x ) g( x ) f ( x ) g 2 ( x )
( x 1 )( x 11 )
2 x 2 2 x 25 ( 6 x )2
0
0
( 10 x 7 )( 10 x 3 )
( 10 x 7 )( 10 x 3 )
6
1
Учтем условие х ≥ -6
0 ,3
0 ,7
11
[ 6 ; 1 ] ( 0 ,3 ;0 ,7 ) [ 11; )

18.

Метод рационализации (замены множителей)
Методы
Переходы
Пример 6.
2 x 2 x 25 (6 x)
0
(10 x 7)(10 x 3)
2
1 случай: [ 6 ; 1 ] ( 0 ,3 ;0 ,7 ) [ 11; )
2 случай: 6 x 0 , x ( ; 6 )
Замена:
f ( x ) g( x ) 1
1
0
( 10 x 7 )( 10 x 3 )
6
0 ,3
( ; 6 )
D 0 , x R x 0 ,7
x 0 ,7
x 0 ,3
x 0 ,3
Ответ: объединение решений
первого и второго случая.
Учтем условие х < -6
2 x 2 2 x 25 0
ОДЗ 10 x 7 0
10 x 3 0
0 ,7
Ответ : ( ; 1 ] ( 0 ,3 ;0 ,7 ) [ 11; )

19.

Метод введения новой переменной
(явная замена).
Пример 7. 2 x 3 x 1 0
2 t 2 3t 1 0
2( t 0 ,5 )( t 1 ) 0
Методы
Переходы
ОДЗ : x 0
t x x t2
0 ,5
1
1 ) x 1 - правая и левая части неравенства
x 1
неотрицательны => имеем право
x 0 ,5
возвести в квадрат x 1
1
1
1
- аналогично x . С учетом ОДЗ 0 x .
2) x
2
4
4
t 1
t 0 ,5
Ответ: объединение решений
первого и второго неравенства.
Ответ : [ 0 ;0 ,25 ] [ 1; )

20.

Метод введения новой переменной
(обратные числа).
Пример 8.
t
1
x 1
t
x 1
Переходы
x 1
x 1 0
ОДЗ :
x 1 0
x 1
Объясни,
почему.
x 1
x 1 3
x 1
x 1 2
x 1
x 1
Методы
1 3
t
2t 0
t 2
1
2 t 2 3 t 2 0 2( t 2 )( t 0 ,5 ) 0
0 ,5
0
2
Учтем условие t > 0
t 0
t 2
x 1
0
x 1
x 1
2
x 1
1

21.

Метод введения новой переменной
(обратные числа).
Пример 8.
x 1
x 1 3
x 1
x 1 2
1)
x 1
0
x 1
x 1
2)
2
x 1
x ОДЗ
Методы
Переходы
x 1
x 1 0
ОДЗ :
x 1 0
x 1
x 1
0
x 1
x 1
2
x 1
1
1
- правая и левая части неравенства
неотрицательны => имеем право
возвести в квадрат
Учтем ОДЗ
x 1
3x 5
4
0
x 1
x 1
1
1
5
3
5
Ответ : ( ; 1 ) ;
3

22.

Метод введения новой переменной.
Методы
Переходы
Часто, даже если вы не видите повторяющиеся
и обратные выражения, введение новой переменной
может значительно облегчить решение неравенства.
2 x 3 0
ОДЗ :
x 2 0
3
x
2 x 2
x 2
2x 3 x 2 2
t x 2 t2 x 2 x t2 2
Пример 9.
2( t 2 ) 3 t 2
2
Объясни,
почему.
3
1
2t 2 7 2 t 2 t 2 7 ( 2 t )2 ( t 1 )( t 3 ) 0
Учтем ОДЗ
t 1
t 3
x 2 1
x 2 3
х 2 1 х 3
x 2 9 x 11
2
3
11
Ответ : [ 2 ;3 ) ( 11; )

23.

Метод введения новой переменной
(полезна наблюдательность).
Методы
Переходы
Пример 10.
x 2 3 2 x 2 3 x 2 1.5( x 4 ) ОДЗ : 2 x 2 3 x 2 0
D 0
a 0
2
2
2
x 3 2 x 3 x 2 1.5 x 6
x R
2 x 2 6 2 2 x 2 3 x 2 3 x 12
( 2 x2 3 x 2 ) 2 2 x2 3 x 2 8 0
t 2 2t 8 0
t 4
t 2
2
2 x2 3 x 2 4
2 x 2 3 x 2 2 Ø
t 2 x2 3 x 2
2 x2 3x 2 t2
Объясни,
почему.
4
2 x 2 3 x 2 4 2 x 2 3 x 2 16
2 x 2 3 x 14 0
2( x 2 )( x 3 ,5 ) 0
Ответ : ( ; 2 ] [ 3 ,5 ; )
2
3 ,5

24.

Использование свойств квадратного корня.
1)
f ( x ) 0,
2)
f ( x ) g( x )
f ( x ) g( x )
Второе свойство справедливо с ограничениями
так как может изменять ОДЗ. !
(Аналогично для частного)
Пример 11.
Методы
Переходы
8 x 0
ОДЗ : 2 x 1 0
8 15 x 2 x 2 0
1
1
1
x ( 0 ,5 ;8 )
8 x
2x 1
8 15 x 2 x 2
1
1
1
( 8 x )( 2 x 1 ) 0
8 x
2x 1
( 8 x )( 2 x 1 )
8 x 2x 1
8 x 2x 1
1
8 x
2x 1
2x 1 8 x 1
2x 1 1 8 x
2x 1 9 x 2 8 x
3 x 8 0
2 8 x 3 x 8 8 x 0
4( 8 x ) ( 3 x 8 )2
Объясни,
почему.

25.

Использование свойств квадратного корня.
1)
f ( x ) 0,
f ( x ) g( x )
2)
f ( x ) g( x )
1
1
1
8 x
2x 1
8 15 x 2 x 2
8
x 3
x 8
( 9 x 8 )( x 4 ) 0
Учтем ОДЗ
0 ,5
8
9
Переходы
8 x 0
ОДЗ : 2 x 1 0
8 15 x 2 x 2 0
Пример 11.
3 x 8 0
8 x 0
4 ( 8 x ) ( 3 x 8 )2
Методы
8
3
x ( 0 ,5 ;8 )
4
8
Ответ : ( 4 ;8 )

26.

Использование свойств квадратного корня.
1)
f ( x ) 0,
Пример 12.
f ( x ) g( x )
2)
f ( x ) g( x )
20 x 2 x ( x 2 8 x 12 ) 0
Так как первый множитель (корень)
неотрицателен, следовательно не влияет на
знак правой части неравенства.
Методы
Переходы
ОДЗ : 20 x 2 x 0
x [ 5 ;4 ]
Рассмотрим два случая.
1 случай.
20 x 2 x 0
x 5
В этом случае неравенство выполнено =>
- решения.
x 4
2 случай. 20 x 2 x 0 Тогда имеем право разделить обе части
неравенства на положительный множитель не меняя знак.
x 2 8 x 12 0
( x 2 )( x 6 ) 0
5
2
4
6
Учтем ОДЗ
Ответ : { 5 } [ 2 ;4 ]

27.

Решение неравенств, содержащих двойные
радикалы.
Пример 13.
1 способ
Так как обе части неотрицательны,
то возведем их в квадрат: x 2 x 1 4
2 x 1 4 x
x 1
x 1 0
x 4
x 4
4 x 0
x 4
4 x 0
2
( x 10 )( x 2 ) 0
4 ( x 1 ) ( 4 x )
2
4
10
Переходы
x 1 0
ОДЗ :
x 2 x 1 0
x 2 x 1 2
x ( 4 ; )
x 4
( x 10 )( x 2 ) 0
Методы
При x 1
выполнены оба
условия.
x ( 4 ; )
x [ 2 ;4 ] ОДЗ
Ответ : [ 2 ; )

28.

Решение неравенств, содержащих двойные
радикалы (использование свойства f 2 ( x ) f ( x ) ) . Методы
Переходы
Пример 13.
x 2 x 1 2
Объясни,
почему.
2 способ
ОДЗ : x 1
Заметим, что x 2 x 1 ( x 1 1 )2
x 2 x 1 2 ( x 1 1 )2
x 1 1 2 x 1 1 2
x 1 1
Возведем обе части в квадрат: x 1 1
x 2 ОДЗ
Ответ : [ 2 ; )
Согласитесь, что решение получено более коротким и простым путем.
Вывод: если видишь корень под корнем ищи полный квадрат!

29.

Задачи из тренировочных и диагностических
работ для подготовки к ЕГЭ.
Пример 14.
x 2 x 6 x 2 9 x 18 0
Методы
Переходы
ОДЗ :
Можно даже не находить ОДЗ.
Данное неравенство может быть выполнено только в случае когда оба
корня обращаются в ноль.
x x 6 0
2
x 3
x 2
Подстановкой определяем, что только -3 обращает в ноль второй
корень.
Ответ : { 3 }

30.

Задачи из тренировочных и диагностических
работ для подготовки к ЕГЭ.
Методы
Переходы
2
4
x
0
1
1
Пример 15.
2
( 4 x 2 )
0
ОДЗ
:
x 1
x 3
2x 2
x 3
Объясни,
Воспользуемся методом замены множителей
замену.
1
1
( 4 x 4 )
0
2x 2 x 3
2
3
x 3 2x 2
x
0
( 2 x 2 )( x 3 )
2
1
2
2
x2 ( 1 x )
0
( 2 x 2 )( x 3 )
3
2
!
1
0
Учтем ОДЗ
1
2
Ответ : [ 2 ; 1 ) { 0 } [ 1;2 ]

31.

Задачи из тренировочных и диагностических
работ для подготовки к ЕГЭ.
2
6
x
3 x 18
x 2 3 x 18
x 2
Пример 16.
Воспользуемся неотрицательностью корня
1 случай:
Методы
Переходы
( x 6 )( x 3 ) 0
ОДЗ :
x 2
x 2 3 x 18 0
6
2
3
x 6
x 3 - решения неравенства.
2 случай: x 2 3 x 18 0. Тогда имеем право разделить обе части
неравенства на положительный множитель не меняя знак неравенства.
6
6 ( x 2)
4 x
1
0
0
x 2
x 2
x 2
Учтем ОДЗ
6
2
3
4
Ответ : { 6 } [ 3 ;4 ]

32.

Методы
Тренировочные упражнения.
Переходы
1
x 2
x
Ответ
:
;2
1
2
1 2x
3
2 x 2
Ответ : x ( ;1 )
2 x
( x 1 ) x2 x 2 0
x x 1
2
Ответ : x { 1 } [ 2 ; )
1
Ответ : x ;
2
x 2 x 1 x 2 x 1 2
Ответ : x [ 1; )