Иррациональные уравнения и неравенства

1. Иррациональные уравнения и неравенства

2. Иррациональные уравнения

Определение. Уравнения, содержащие
переменную под знаком корня,
называются иррациональными.
3
x 3 x x 1;
2 3 x2 3 x 3
5 x 25 x 2 0

3. Подходы к решению иррациональных уравнений

!
Иррациональные уравнения решаются с
помощью перехода к рациональным
уравнениям или системам.
1.
Возведение обеих частей уравнения в степень.
f(x) = g(x)
f(x) = g(x)
f 2n+1(x) = g2n+1(x), n N
f 2n(x) = g2n(x), n N
При возведении в четную степень возможно появление
посторонних корней. Поэтому обязательно нужно
выполнить проверку, подставляя полученные корни в
исходное уравнение.

4. Подходы к решению иррациональных уравнений

Пример 1.
x3 x x 1
х3 – х = (х + 1)3
3х2 + 4х + 1 = 0
Ответ: {- 13 ; -1}.
х1 = - 13 , х2 = -1.
3

5. Подходы к решению иррациональных уравнений

Пример 2.
х = (х – 2)2.
x x 2
х2 – 5х + 4 = 0
х1 = 4, х2 = 1.
– Проверка: х1 = 4, 1 1 2 - верно;
х2 = 1, 4 4 2 - ложно;
значит х = 1 – посторонний корень.
или
– ОДЗ: х ≥ 0
х–2≥0
х ≥ 2, т.е. х [2; + ∞).
значит х = 1 – посторонний корень, так как 1 [2; + ∞).
Ответ: 4.

6. Подходы к решению иррациональных уравнений

2. Введение одной или нескольких новых
переменных.
Пример 3. 2 3 x 2 3 x 3
Пусть y 3 x.
Тогда 2у2 + у – 3 = 0
у1 = 1, у2 = -1,5.
27
3
3
Значит x 1 или x 1,5 х = 1 или х = - 8 .
Ответ: {1; - 27
8 }.

7. Подходы к решению иррациональных уравнений

Пример 4. 3 x 34 3 x - 3 1
Пусть
u 3 x 34 , v 3 x - 3
Тогда исходное уравнение равносильно системе:
u–v=1
u3 = x + 34
Вычтем из второго третье уравнение:
v3 = x – 3
u–v=1
u=v+1
u=v+1
u3 – v3 = 37
(v + 1)3 – v3 = 37 v2 + v -12 = 0
Тогда v1 = 3, v2 = -4.
Значит, х – 3 = 33 или х – 3 = (-4)3 х = 30 или х = -61.
Ответ: {-61; 30} .

8. Подходы к решению иррациональных уравнений

3. Предварительный анализ ОДЗ и вида
уравнения.
Пример 5.
x 1 8 3 5x
ОДЗ: х – 1 ≥ 0
3 – 5х ≥ 0
Ответ: нет корней.
х≥1
х ≤ 0,6
x

9. Подходы к решению иррациональных уравнений

Пример 6.
5 x 25 x 2 0
5 x 0 или
25 x 2 0
(как арифметические корни).
Значит их сумма равна нулю, только если
5 x 0
25 x 2 0
Ответ: 5.
х=5
х=±5
х=5

10. Иррациональные неравенства

Определение. Иррациональные неравенства –
это неравенства, содержащие переменную под
знаком корня.
x 3 26 x 2;
5 y 3;
x 2 4x 5 2x 3 0.

11. Подходы к решению иррациональных неравенств

Иррациональные неравенства решаются с
помощью перехода к равносильным
рациональным неравенствам или их системам.
Исходное
неравенство
Равносильное неравенство
или система
1
f(x) > g(x)
2
f(x) > g(x) ≥ 0
f 2n+1(x) > g 2n+1(x), n N
f 2n(x) > g 2n(x)
f(x) > 0
g(x) ≥ 0

12. Подходы к решению иррациональных неравенств

Исходное
неравенство
3
f(x) g(x)
4
f(x) g(x)
5
f(x) g(x)
Равносильное неравенство
или система
f(x) ≥ 0
g(x) > 0
f(x) < g2(x)
f(x) ≥ 0
g(x) ≥ 0
f(x) ≤ g2(x)
g(x) < 0
f(x) ≥ 0
g(x) ≥ 0
f(x) > g2(x)

13. Подходы к решению иррациональных неравенств

Исходное
неравенство
Равносильное неравенство
или система
1
f(x) a, a 0
f(x) ≥ а2
2
f(x) a, a 0
f(x) ≥ 0
3
f(x) a, a 0
f(x) ≥ 0
f(x) ≥ а2
4
f(x) a, a 0
Нет решений ( x )

14. Решение иррациональных неравенств

Пример 1. 3 x 3 26 x 2
х3 + 26 > (x + 2)3
x2 + 2x – 3 < 0
(x -1)(x + 3) < 0
x (-3; 1).
Пример 2.
5–у≥0
5–y≤3
5 y 3
у≤5
y≥4
у [-4; 5]

15. Решение иррациональных неравенств

Пример 3.
x 2 4x 5 2x 3 0
2х – 3 < 0
x2 + 4x – 5 ≥ 0
2х – 3 ≥ 0
x2 + 4x – 5 >(2x + 3)2
x < 1,5
(x – 1)(x + 5) ≥ 0
x ≥ 1,5
8 22
8 22
x
x
0
3
3
x 2 4x 5 2x 3
x < 1,5
(x – 1)(x + 5) ≥ 0
x ≥ 1,5
3x2 – 16x + 14 < 0
1,5
/////////////////////////////////////////////////////////////
\\\\\\\\\\\\\\
-5
\\\\\\\\\\\\\\\\\
1
1,5////////////////////////
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
8 22
3
8 22
x ( ; 5] [1;
)
3
8 22
3