Похідна. Фізичний і геометричний зміст похідної

1.

Похідна. Фізичний і
геометричний зміст похідної.

2. Похідна та диференційованість функції

Функція f має в точці x похідну:
f ' ( x) lim
x 0
f ( x)
x
Фізичний зміст похідної:
Геометричний зміст похідної:
S (t )
t 0
t
k tg f ' ( x0 )
(t ) lim
Функція f диференційована
в точці x:
f ( x) A( x) x a( x; x) x,
lim a( x; x) 0, A( x) R
x 0
Функція f неперервна в точці x
Арифметичні операції над
диференційованими функціями u I v:
(u v)' u ' v' ,
(uv)' u ' v uv' ,
u u ' v uv'
.
'
v2
v
Похідна складеної функції y=f(u),
u=ф(x):
y
x
'
y ' u
u
x
'
Похідна оберненої функції x=ф(y):
' ( y)
1
f ' ( x)
Таблиця похідних
Похідні вищого порядку:
f
( n)
( x) ( f ( n 1) ( x))' , n 2,3...

3.

4.

І.Ньютон сформулював дві основні
проблеми математичного аналізу:
1). Довжина шляху, який долається, є
постійною(тобто в будь-який
момент часу); необхідно знайти
швидкість руху у пропонований час;
2). Швидкість руху постійно дана;
необхідно знайти довжину
пройденого у запропонований час
шляху.

5.

1). Задача про миттєву швидкість:
V t S (t )
2). Задача про знаходження змінного
струму, який проходить по провіднику:

6.

3). Друга похідна:
(t)

7.

4). Приклад:

8.

Висновок:

9.

10.

під редакцією М.І.Сканаві.

11.

Задача 15.120.
Тіло масою m0 рухається прямолінійно
за законом
S(t)= αt +βt+ λ
α, β, λ –сталі
Довести, що сила яка діє на тіло стала
2

12. Доведення:

F=m0a
a(t)=V’(t)=S”(t);
S’(t)=(αt2+ βt+ λ)’=2αt+β;
a(t)=S”(t)=(2αt+ β)’=2α;
a(t)=2α,
α=const;

13.

Сила, що діє на тіло – стала.

14. Задача 15.121

Тіло масою m0 рухається прямолінійно за
законом S (t ) 2
2t 1
Довести, що сила, яка діє на тіло,
пропорційна кубу пройденого шляху.

15. Доведення

F=m0a;

16.

Сила, що діє на тіло, пропорційна
кубу пройденого шляху.

17.

18.

дотична
M
січна
N
Дотичною до кривої в
даній точці M,
називається граничне
положення січної MN,
коли точка N прямує
вздовж кривої до точкиM.

19.

y
f ' ( x0 ) tg
k-кутовий коефіцієнт
k tg f ' ( x0 )
f ( x0 x)
f ( x0 )
y f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 )
рівняння дотичної до графіка функції
в точці з абсцисою x0.
x
x
x0
y
x0 x
x
y f (x)
arctgk , якщо k 0
arctgk , якщо k 0

20.

геометричного змісту похідної

21.

22.

1) Обчисліть f ' (1) , якщо кут між дотичною
проведеної до графіка функції y f (x) у точці
з абсцисою x0 1 і додатнім напрямом осі OX,
дорівнює 300.
Розв’язання
3
f ' (1) tg 30
3
0

23.

2) До графіка функції y 0,5 x проведено
дотичну у точці з абсцисою x0 3 . Обчисліть
тангенс кута нахилу дотичної до додатнього
напрямку осі абсциса.
2
Розв’язання
f ' (3) 3;
f ' ( x0 ) tg tg 3.

24.

3) На малюнку зображено графік функції
і дотичну до нього в точці з абсцисою x0.
y
Знайти значення
y f (x)
f ' ( x0 )
y f (x)
Розв’язання
f ' ( x0 ) tg ,
1
x0
1
x
135 ,
0
tg 45 1.
0

25.

4) На малюнку зображений графік функції y f (x) та дотичні до нього в точках
x2 . Користуючись геометричним змістом похідної, знайдіть f ' ( x1 ) f ' ( x2 ) .
y
Розв’язання
f ' ( x1 ) tg 450 1;
f ' ( x2 ) tg0 0;
0
f ' ( x1 ) f ' ( x2 ) 1
0
x2 45
0
x1
x
x1

26.

5) Знайдіть, при яких значеннях параметра а
дотична до графіка функції y x 3 ax 2 у точці
з абсцисою x0 1 проходить через точку
N(3;4).
Розв’язання
y f ( x0 ) f ' ( x0 )( x x0 );
f ( x0 ) 1 a;
f ' ( x) 3 x 2 2ax;
f ' ( 1) 3 2a;
y 1 a (3 2a )( x 1)
y (3 2a ) x a 2,
т.N y 4 (3 2a )3 a 2,
a 1.

27.

y1=k1x +b1,
<=> k1=k2, <=> y1IIy2
y2=k2x +b2,

28.

y1=k1x +b1,
<=> k1·k2= -1, <=> y1 I y2
y2=k2x +b2,

29.

Задача 1
На параболі y= 4- X вибрано дві
точки з абсцисами x= -1 і x=3. Через ці
точки проведено січну. Знайти рівняння
дотичної до параболи, яка паралельна
січній.

30.

Розв'язання
1) y = kx + b – рівняння січної
Дана січна проходить через точки :
(-1;3), (3;-5)
Складаємо рівняння січної:
3 = -k + b;
8= -4k,
-5 =3k + b;
k= -2, то b=1
y= -2x +1 – рівняння січної

31.

2)y=f(x0) + f '(x0)(x-x0) – рівняння
дотичної
f(x0)=4 - x02;
f '(x0)= -2x0;
y =4- x02 - 2x0(x-x0),
y = -2x0x +x02 + 4,

32.

3) y1=kx +b1, y2=k2x +b2,
k1=k2 <=> y1||y2
4)За умовою паралельності прямих,
маємо :
-2x0= -2
x0=1.
Отже, y = -2x-3 - шукане рівняння
дотичної.

33.

Задача 2
Записати рівняння дотичної до
графіка функції f(x)= -x2+4, яка
перпендикулярна до прямої x-2y+2=0.

34.

Розв'язання
y = f(x0) +f '(x0)(x-x0),
f (x0) = -x02+4,
f '(x0) = -2x0,
y= -x02 +4 - 2x0(x-x0),
y= -2x0x +x02 +4 - рівняння дотичної
y= 0,5x +1 - рівняння прямої
перпендикулярної до дотичної

35.

y1=k1x +b1 і y2=k2 +b2
k1· k2= -1<=>y1 I y2

36.

За умовою перпендикулярності
прямих маємо :
якщо k1= -2x0, k2=0,5,то -2x0·0,5= -1,x0=1.
Отже, y= -2x+5 - шукане рівняння
дотичної

37.

Задача 3
Знайти величину кута між двома
дотичними проведеними з точки (0;-1)
до графіка функції y=x2.

38. Задача 4 Знайти площу трикутника, утвореного бісектрисами координатних кутів і дотичної до кривої y= в точці М(3;2)