Показательные неравенства, их типы и методы решения

1.

2.

;
1. Область определения функции
0;
С в о й с т в а показательной функции
2. Область значений функции
у ах , а 1
3. Промежутки сравнения значений
функции с единицей
при x 0, a x 1
при x 0, 0 a x 1
4. Четность, нечетность
у ах , 0 a 1
при x 0, 0 a x 1
при x 0, a x 1
Функция не является ни чётной, ни
нечётной (функция общего вида).
5. Монотонность
монотонно
возрастает на R
6. Экстремумы
Показательная функция экстремумов
не имеет
7. Асимптота
8. При любых действительных значениях х
и у; a>0, a≠1; b>0, b≠1.
монотонно
убывает на R
Ось Ох является горизонтальной
асимптотой
1) а х а у а х у ;
2) a x :а у а х у ;
3) аb а хb х ;
х
х
ах
а
4) х ;
b
b
5) а х
у
а ху ;
6) r Q и a b, то
аr br при r 0
аr br при r 0;
7) r, s Q и r s, то
аr as при а 1
аr as при 0 а 1.

3.

Задание № 1
Определите тип функции
y 1,3
возрастающая
y 0,8
убывающая
0 0,8 1
y ex
возрастающая
e 1
x
x
1
y
3
x
убывающая
1,3 1
0
1
1
3
?

4.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
простейших показательных неравенств:
Пусть а – данное положительное, не
равное единице число и b – данное
действительное число. Тогда неравенства
ax > b (ax ≥ b) и ax < b (ax ≤ b)
называются простейшими
показательными неравенствами.

5.

ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ
решением неравенства?
Решением неравенства с
неизвестным х называют число х0, при
подстановке которого в неравенство
получается верное числовое
неравенство.

6.

ЧТО ЗНАЧИТ
решить неравенство?
Решить неравенство –
значит, найти все его решения или
показать, что их нет.

7.

Рассмотрим взаимное расположение графика
функции y=ax, a>0, a≠1 и прямой y=b
y ax , a 1 и b R
y ax , 0 a 1 и b R
y
y
y=b, b>0
y=b, b>0
1
y=b, b=0
y=b, b<0
0
1
х0
x
х0
0
y=b, b=0 x
y=b, b<0

8.

ВЫВОД №1:
При b ≤ 0 прямая y=b не пересекает
график функции y=ax, т.к. расположена
ниже кривой y=ax, поэтому неравенства
ax > b (ax ≥ b) выполняются при x R, а
неравенства ax < b (ax ≤ b) не имеют
решения.
2 х 5 справедливо при любых х
2x 0 и 5 0
x
1
4 справедливо при любых х
3
1
0 и 4 0
3
10 x 3 решений нет
10x 0 и 3 0
x
x
1
10 решений нет
7
x
1
0 и 10 0
7

9.

ВЫВОД №2:
При b > 0 прямая у = b пересекает график функции y = ax
в единственной точке, абсцисса которой x0 = logab
y ax , a 1 и b 0
y
Если a > 1 и b > 0,
то для каждого x1 > x0
соответствующая
точка графика функции y = ax
находится выше прямой y = b,
а для каждого x2 < x0 - ниже
прямой y = b.
y=b, b>0
1
х2
0
х0 х1
x

10.

ВЫВОД №2:
При b > 0 прямая у = b пересекает график функции y = ax
в единственной точке, абсцисса которой x0 = logab
y ax , 0 a 1 и b 0
y
y=b, b>0
1
х1 х0
0
х2
x
Если a > 1 и b > 0,
то для каждого x1 < x0
соответствующая
точка графика функции y = ax
находится выше прямой y = b,
а для каждого x2 > x0 - ниже
прямой y = b.

11.

Простейшие показательные неравенства
a 1
a b
x
0 a 1
ax b
a x a logab
a a
x log ab
x log ab
x
loga b
ax b
ax b
a x a logab
a x a logab
x log ab
x log ab

12.

Пример №1.1
2x 8
Решение:
2x 8,
2 x 2 3 , y 2t 2 1
возрастает на всей
области определения,
x 3.
Ответ:
;3

13.

Пример №1.2
x
1
27
3
Решение:
x
1
27,
3
x
3
t
1
1 1
1
, y 0 1
3
3 3
3
убывает на всей
области
определения,
x 3.
Ответ:
; 3

14.

Пример №1.3
3x 5
Решение:
3x 5,
t
3x 3log3 5 , y 3 3 1
возрастает на всей
области определения,
x log 3 5.
Ответ:
log 3 5;

15.

Пример №1.4
x
1
7
4
Решение:
x
1
7,
4
4 x 4log4 7 ,
y 4t 4 1
возрастает на всей
области определения,
x log 4 7,
x log 4 7.
Ответ:
log 4 7;

16.

Типы показательных неравенств и методы их решения
1) Показательные неравенства, сводящиеся к простейшим
Пример №1
Решение:
2
2
х 1
х 2
х 1
х 2
4,
22 , y 2t 2 1
2
х 1
х 2
4
возрастает на всей области
определения
x 1
2,
x 2
x 1
2 0,
x 2
x 5
0,
x 2
2 x 5.
Ответ:
2;5

17.

Типы показательных неравенств и методы их решения
1) Показательные неравенства,
сводящиеся к простейшим
Решение:
4 3
1 3
x 2 2x 1
x 2 2x 1
5 4,
4 3
9,
3 x 2x 1 1,
x 2 2x 1
3
9;
2
Пример №2
3x 2x 1 30 ,
x 2 2x 1
3
32 ;
2
y 3t 3 1
x 2 2x 1
5 4
возрастает на всей
области определения
1 x 3,
x 1 2 ,
2
x 1 2 ,
x 2x 1 0,
x 1 2 ; 1 x 3,
2
x 2x 1 2;
1 x 3, x 1 2 ;
1 x 1 2 ,
1 2 x 3.
Ответ:
1;1 2 1
2 ;3

18.

Типы показательных неравенств и методы их решения
2) Показательные неравенства,
сводящиеся к квадратным неравенствам
Решение:
Пример
22x 2 3 2x ,
2 2x 3 2 x 2 0.
Пусть 2
x
t, t 0, тогда
t 3t 2 0,
t 0;
2
2 2x 2 3 2 x
t 1,
t 2,
t 0;
Вернёмся к переменной х
t 0,
t 1,
t 0,
t 2;
0 2 x 1,
2 x 0 при x R
x
2 2;
t
функция y 2 2 1
возрастает при всех х
из области определения
0 t 1,
t 2.
2 x 1, 2 x 20 ,
x
x
2 2; 2 2;
x 0,
x 1.
Ответ:
;0 1;

19.

Типы показательных неравенств и методы их решения
3) Однородные показательные неравенства первой и второй
степени. Однородные показательные неравенства первой степени
Решение:
x
1 1
2 2
1
2
x 2
1
2
1
2
x 2
5,
1
1 5,
2
x 2
2
Пример №1
x
1 1
2 2
x 2
5
5
5,
4
x 2
4,
2 2 x 22 ,
2 x 2,
x 0.
y 2t 2 1
возрастает на всей
области определения
Ответ:
;0

20.

Типы показательных неравенств и методы их решения
3) Однородные показательные
неравенства первой и второй степени. Однородные
Решение:
показательные неравенства первой степени
3x 2 7 x 4 7 x 1 34 3x 1 ,
Пример №2
3 x 2 7 x 4 7 x 1 34 3 x 1
3x 2 34 3x 1 4 7 x 1 7 x ,
3x 1 33 34 7 x 1 4 7 ,
3
3
x 1
x 2
7 7 3 ,
x 1
7
x 2
,7
x 2
0, при x R
3
7
x 2
3
7
x 2
1,
0
t
3
3
3
, y 0 1 ,
7
7
7
x 2 0.
убывает на всей
области определения
x 2.
Ответ:
;2

21.

Типы показательных неравенств и методы их решения
3) Однородные показательные неравенства
первой и второй степени. Однородные показательные
Решение:
неравенства второй степени
3 4 x 2 9 x 5 6 x 0,
Пример №3
3 22x 5 2 3 2 32x 0,
x
3 4x 2 9x 5 6x 0
3 2 2x 5 2 x 3 x 2 3 2x 0, 3 2x 0, при x R
22x
2x 3x
32x
3 2x 5 2x 2 2x 0,
3
3
3
2x
x
2
Пусть t , t 0, тогда
3
2
3t 2 5t 2 0, t 1,
3
t 0;
t 0;
x
2
2
3 5 2 0.
3
3
Вернёмся к переменной х
x
2 2
1,
3 3
x
0
2
t 1.
3
r
2 2 2
2
2
, y 0 1 убывает на всей области
3 3 3
3
3
определения
0 x 1.
Ответ:
0;1

22.

Типы показательных неравенств и методы их решения
Решение:
4) Показательные неравенства,
сводящиеся к рациональным неравенствам
Пример
x 1
2 2
3 0,
x
x 1
2
2
3 0
2
x
2 x 3 0,
2
x
Пусть 2 t, t 0, тогда
2
2
t
t 3 0, 3t 2 0, t 2 3t 2 0, 1 t 2,
t
t
t 0;
t
0;
t 0;
t 0;
x
1 t 2.
Вернёмся к переменной х
1 2x 2,
y 2r 2 1
возрастает на всей
области определения
0 x 1.
Ответ:
0;1

23.

Типы показательных неравенств и методы их решения
5) Показательные нестандартные неравенства
Решение:
x
2
4x 4
x 2
2 x 1,5
x 2
2x 3
Пример
x 1,5
х
1,
1,
2
4х 4
х 1,5
1
1.
Неравенство равносильно совокупности
2x 3
x 2
1,
x 2 2x 3 1.
Решим каждое утверждение совокупности отдельно.
x 2
2x 3
1,
x 2
2x 3
x 2
0 x 2 1,
2x 3 0;
x 2 1,
2x 3 0;
0
x 2 0,
x 2 1,
2x 3 0;
x 2 1,
2x 3 0;
x 2,
1 x 2 1,
2x 3;
x 1 1,
x 2 1,
2x 3;
x 2,
1 x 3,
x 1,5;
x 3,
x 1,
x 1,5;
1 x 1,5,
x 3.

24.

Типы показательных неравенств и методы их решения
5) Показательные нестандартные неравенства
Решение:
x 2
2x 3
Пример
1.
1.
х
2.
x 2 1,
x 2 0,
x 2 1;
2x 3 0,
x 1,
x 2,
x 3.
2
4х 4
х 1,5
1
2x 3,
x 1,5.
Проверка
x 1
x 2
1 2
1
2 3
1
1,
2 2
2 2 3
1,
01 1,
1,
1 1. верно
x 1,5
x 3
0 1. неверно
3 2
3 2 3
13 1,
1,
1 1. верно
1,5 2
2 1,5 3
1,
0
0,5 1,
1 1. верно
Проверка показала, что х=1, х=3, х=1,5 являются решениями уравнения, а х=2 не является
решением уравнения.
Итак,
1 x 1,5,
x 3,
x 1, x 3, x 1,5;
1 x 1,5,
x 3.
Ответ:
[1;1,5] [3; ∞).