Решение показательных неравенств

1. Решение показательных неравенств

2. План урока

1. Неравенства вида аf(x) > аg(x).
2. Неравенства вида аf(x)>b, а>0.
3. Неравенства вида аf(x) > bg(x).
4. Решение показательных неравенств
методом замены переменной.
• 5. Решение неравенств, содержащих
однородные функции относительно
показательных функций.
• 6. Графическое решение показательных
неравенств

3. Функцию вида у=ах, где а>0 и а≠1 называют

Функцию вида у=ах, где а>0 и а≠1
называют показательной функцией

4.

Первое замечание
Сравните:
Показательная
функция
y ax (a 0, a 1)
Аргумент x
содержится в
x
показателе
1
степени
y 3 x , y , y (2,5) x
2
Степенная
функция
y xr
Аргумент x
содержится в
основании
1
степени
y x3 , y x1,5 , y x 3 , y
x -10

5. Второе замечание

Обычно не рассматривают показательную функцию с
основаниями:
а=1, т.к. 1x 1, т.е. показательная функция
«вырождается» в постоянную функцию у=1- это
неинтересно;
если а=0, то 0 x 0 для любого положительного
значения х, т.е. мы получаем функцию у=0,
определённую при х>0, - это тоже неинтересно;
если а<0, то выражение а x имеет смысл лишь при
целых значениях х, а мы всё-таки предпочитаем
рассматривать функции, определённые на
сплошных промежутках

6. Основные свойства показательной функции у=аx

№
a>1
0<a<1
1
D(f) ( ; )
D(f) ( ; )
2
E(f) (0; )
E(f) (0; )
3
Возрастает
Убывает
4
Непрерывна
Непрерывна

7. График показательной функции у=аx

0<а<1
а>1
Монотонно
возрастает
E(f)=(0;+∞)
E(f)=(0;+∞)
Монотонно
убывает
рис.1
D(f)=(-∞;+∞)
рис.2
D(f)=(-∞;+∞)

8. Неравенства, содержащие переменные в показателе степени, называют показательными

1. Неравенства
вида аf(x) > аg(x)
a 1 (a
f (x)
a
g(x)
f(x) g(x))
0 a 1 (af (x) ag(x) f(x) g(x))
0 a 1 (af (x) ag(x) f(x) g(x))

9. Задания ЕГЭ 2009 г.

А-6. Решите
неравенство:
1. (- ; 0,3]
2. (- ; - 4,3]
1
1
Решение:
2 7 -2
49 7
7
x 2.3
1
.
49
3. [-4,3; )
7 x 2.3 7-2 ,
x 2,3 2,
x 2 2,3,
x 4,3.
(- ; - 4,3]
Правильный2.ответ:
4. [0,3; )

10. Задания ЕГЭ 2009 г.

А-6. Решите
неравенство:
1. (- ; 1,5]
9
2. (- ; ]
8
Решение:
81 34,
81x 34x,
3. (- ; 1
37 x 9 81x.
4. (- ; 3
37 x 9 34x.
7x 9 4x,
7x 4 x 9,
3x 9,
x 3.
(- ; 3
Правильный 4.
ответ:

11. Задания ЕГЭ 2009 г.

А-6. Решите
неравенство:
2
1. - ;
5
2
2. - ;
5
1
3
1
3. ;
5
2 5 x
1 0.
2
4. ;
5
0
2 5 x
Решение:
1
1
1
,
1.
3
3
2 5x 0,
5x -2,
2
x .
5
2
2.
;
Правильный ответ:
5
1
3
2 5 x
0
1
.
3

12. Задания ЕГЭ 2006 г.

А-9. Решите
неравенство:
1. 1; 6
2. 2; 3
x2 5 x 6
2
3. - ; 2 3;
Решение:
4 x 22x ,
x2 5 x 6
2
4x.
4. - ; 1 6;
22x.
x2 5x 6 2x,
8
6
4
x2 5x 6 2x 0,
2
x2 7x 6 0,
х
0
0
-2
-4
y x 7x 6
2
x2 7x 6 0,
x1 6, x2 1.
1; 6
Правильный1.ответ:
-6
-8
1
1
2
3
4
5
6
7
6 Х
8

13. Пример

1. Найдите область определения функции:
1
1,5-0,3x
g(x) ln 9
.
27
1. 10;
2. - ; 10
Решение:
9
1
0
27
1,5-0,3x
3. 0; 10
- ; 10
Правильный2.ответ:
4. - ; 0

14. Пример

2. Найдите область
определения функции:
f(x) 23 x 1 16.
1. 1;
2. - ; - 1
3. ; - 1
4. 1;
23 x 1 16 0
Решение:
1;
Правильный4.ответ:

15. Пример

3. Укажите множество
значений
:
y функции
2x 5.
1. 5;
Решение:
2. 0;
3. ;
y 2x ,
2x 0,
2 x 5 5.
5;
Правильный1.ответ:
4. 7;

16. 2. Неравенства вида аf(x)>b, а>0.

2. Неравенства вида аf(x)>b, а>0.
a) b 0, тогда
af (x) b x D(f);
б) b 0, тогда
a f(x) b f(x) log a b при a 1;
a f(x) b f(x) log a b при 0 a 1

17. Пример 1

x
1
Решите неравенство:
1.
2
x
1
0.
Решение:
2
x
1
1 x R
2
R
Правильный xответ:

18. Пример 2

Решите неравенство:
2 x 5.
Решение:
2 x 5 2x 2log2 5 x log2 5.
Правильный log
ответ:
2 5;

19. Пример 3

3x
1
Решите неравенство:
3.
2
Решение:
1
2
3x
1
2
log 1 3
2
3x log 1 3 x
2
1
log 1 3 x log 1 3 3.
3
2
2
3
; log 1 3
Правильный ответ:
2

20. Пример из заданий ЕГЭ 2006 г.

Решите неравенство:
104x-5 0,1.
1. ;
2. 1;
3. ; 1
Решение:
104x -5 0.
104x-5 0,1 , x R
;
Правильный 1.
ответ:
4. 1;

21. 3.Неравенства вида аf(x) > bg(x)

3.Неравенства вида аf(x) > bg(x)
если a 1, то :
a
f (x)
b
g(x)
f(x) g(x) logab,
если 0 a 1, то :
a
f (x)
b
g(x)
f(x) g(x) logab

22.

Пример
x2
2 3 .
Решите
неравенство: x
x2
Решение:log2 (2 ) log2 (3 );
x
x x 2 log2 3;
x x 2 log2 3 0;
-
+
0
1
log2 3
x(1 x log2 3) 0;
1
1
x 0;
, log 3 log3 2;
2
log2 3
x 0; log3 2
0;: log3 2
Ответ

23.

Решение показательных неравенств
методом замены переменной
Решите неравенство:
9 x 27 12 3 x.
Решение:
3x t,
t 2 12t 27 0;
3 t 9;
3 3x 9;
31 3x 32;
1 x 2
1; 2
Ответ:

24.

Решение неравенств, содержащих однородные
функции относительно показательных функций
Решите
4x 2 52x 10x 0.
неравенство:
Решение:
4x 2 52x 2x 5x 0;
x
x
x
2
4
10
t,
2 0;
5
25
25
2
5
x
2
2 x
2 0;
5
t 2 t 2 0;
t 1, t 2.
x
2
2;
5
x
log 2 2
2
2
5
;
5
5
x log 2 2.
5
; log 2 2
Ответ:
5

25. Неравенства, в которых в одной части неравенства содержится показательная функция, а в другой - любая другая

Решите
52 x 2 3x.
неравенство:
1. ;
2. 1;
y 5 2- x
Решение:
3. ; 1
4. 1;
y 2 3x
и
7
6
5
у
4
3
y
у=52+
х
у=2-3х
2
1
0
-6
-5
-4
-3
-2
x
-1
-1
0
1
-2
1;
Правильный4.ответ:
2
х

26.

5 4 x - 2 .
Решите неравенство:
2
x
1. - 1,3
2. - ,1
x
y
5
4
Решение:
3. 3 , 7
и
4. 1,
y x - 2 .
2
у
8
6
4
у=(х-2)2
y
2
х
0
-6
-4
у=5х-4
-2
0
1
2
-2
-4
-6
x
- ,1
Правильный2.ответ:
4
6

27.

Решите
3x-2 1 x 1.
неравенство:
1. 0;7
3. - 1;3
2. 3;1
x -2
y
3
Решение:
4
4. 3,
и y 1 x 1.
у
3,5
у=1+ х 1
3
у=3х-2
2,5
y
2
1,5
1
0,5
х
0
-2
-1
0
1
2
x
3
4
3. - 1;3
Правильный ответ:
5
6