Способы решения показательных неравенств

1. Тема урока Способы решения показательных неравенств

Учитель математики
ГБОУ СОШ № 591
Чернышева Е.А.

2.

Цели урока:
·
Обучающие - повторить, обобщить и систематизировать знания по
данной теме, совершенствовать умения и навыки учащихся упрощать
выражения;
·
Развивающие - способствовать развитию математического слуха,
речи, счетных навыков и мышления, развивать познавательный интерес
через использование межпредметных связей, культуру математической речи,
логическое мышление;
·
Воспитательные - побуждать учащихся к само и взаимоконтролю,
воспитывать познавательную активность, самостоятельность, упорство в
достижении цели.
Задачи урока:
·
Закрепить навыки умения упрощать выражения;
·
Формировать развитие мышления, счетных навыков;
·
Повысить интерес учащихся к урокам математики.

3. Структура изучения

x
2
1
1. Решение неравенства
2. Простейшие показательные
неравенства
3. Решение простейших показательных
неравенств
4. Что нужно учесть при решении
показательных неравенств?
5. Решение более сложных показательных
неравенств

4.

Решить неравенство 2x 1
x
При каких х график функции лежит y 2
y 2x
выше прямой y 1 ?
y 2x
График функции
лежит в ы ш е прямой y 1
при x>0.
y 1
Значит, неравенство 2x 1
верно при x 0;
1
0
?
1
Ответ: 0;
x
При каких х верно неравенство 2 1 ?

5.

Простейшие показательные
неравенства
Определение:
Неравенство, содержащее неизвестную в
показателе степени, называется
показательным неравенством.
Определение:
Неравенство в и д а
a f ( x ) a g ( x ) , a 0, a 1
называется простейшим показательным неравенством.

6. Решение простейших показательных неравенств

a 0, a 1
a
f ( x)
a
g ( x)
a 1
0 a 1
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
Знак неравенства
Меняется
Сохраняется

7. Что нужно учесть при решении показательных неравенств ?

Решить неравенство 2x 1
2 x 20
x 0.
?
Что нужно учесть при решении простейших
показательных неравенств ?
1. Привести основания степени к одинаковому основанию
2. Использовать свойства монотонной функции

8. Решите неравенства

x
8 x 3
8 x 3
3x 81
x R
x
3 x 34
Ответ:
4
2
3 9
x
2
2
2
3 3
x 2
x 4
x
Ответ: Х-любое
4
x
x ;4
Ответ:
; 4
x
2
x 2;
Ответ:
2;

9. Решите неравенство

25
x 3
5
2 x 3
1
5
5
3 x 1
1 3 x 1
5 2 x 6 5 3 x 1
2x 6 3x 1
2x 3x 1 6
x 5
-5
x 5;
x
Ответ:
5;

10. Решите неравенство

1
x 5 x
7
7
x 2 5 x
7
7 6
6
2
x 2 5 x 6
x2 5x 6 0
( x 2) ( x 3) 0
+
2 x 3
2
x 2;3
_
2
3
+
3
x
Ответ:
2;3

11.

а) Показательные неравенства, сводящиеся к квадратным
неравенствам
Решение:
Пример
22x 2 3 2x ,
2 2x 3 2 x 2 0.
Пусть 2
x
t, t 0, тогда
t 3t 2 0,
t 0;
2
22x 2 3 2x
t 1,
t 2,
t 0;
Вернёмся к переменной х
t 0,
t 1,
t 0,
t 2;
0 2 x 1,
2 x 0 при x R
x
2 2;
t
функция y 2 2 1
0 t 1,
t 2.
2 x 1, 2 x 20 ,
x
x
2 2; 2 2;
возрастает при всех х
из области определения
x 0,
x 1.
Ответ:
;0 1;

12.

б) Однородные показательные неравенства .
Решение:
x
1 1
2 2
1
2
x 2
1
2
1
2
Пример №1
x 2
5,
1 2
1 5,
2
x 2
x
1 1
2 2
x 2
5
5
5,
4
x 2
4,
2 2 x 22 ,
2 x 2,
x 0.
y 2t 2 1
возрастает на всей
области
определения
Ответ:
;0

13.

б) Однородные показательные неравенства первой и второй
степени.
Решение:
3x 2 7 x 4 7 x 1 34 3x 1 ,
3
x 2
34 3
x 1
4 7
x 1
3
3
x 2
7 ,
7 7 3 ,
x 1
7
x 2
,7
x 2
3x 2 7 x 4 7 x 1 34 3x 1
x
3x 1 33 34 7 x 1 4 7 ,
x 1
Пример №2
0, при x R
3
7
x 2
3
7
x 2
1,
0
t
3
3
3
, y 0 1 ,
7
7
7
x 2 0.
убывает на всей
области определения
x 2.
Ответ:
;2

14.

в) Показательные неравенства , сводящиеся к решению
методом интервалов
Пример
Решение:
2x 2 x 1 3 0,
x
x 1
2
2
3 0
2
x
2 x 3 0,
2
x
Пусть 2 t, t 0, тогда
2
2
t
t 3 0, 3t 2 0, t 2 3t 2 0, 1 t 2,
t
t
t 0;
t
0;
t 0;
t 0;
1 t 2.
Вернёмся к переменной х
1 2x 2,
y 2r 2 1
возрастает на всей
области
определения
0 x 1.
Ответ:
0;1

15.

16. Подведём итог

Сегодня на уроке Я…