Похожие презентации:
Построение и выбор аналитических моделей
1. ВЫБОР МОДЕЛИ
Лекция 9Построение и выбор аналитических
моделей
2. ЧАСТЬ 1
Поиск аналитическихзависимостей
методом
наименьших
квадратов
3. Назначение и идея метода
Назначение метода:Поиск аналитической зависимости z = f(x) по данным
эксперимента.
Идея метода
Полагаем известными:
а) предполагаемый вид исходной зависимости z = f(x);
б) таблицу, определяющую экспериментально полученную
зависимость уi (xi), где i - номер эксперимента
Идея состоит в поиске коэффициентов функции z=f(x)
которые бы минимизировали функцию S вида:
2
n
S
(y
i 1
i
z ( xi ) )
(1.1)
4. Иллюстрация к формуле (1.1)
Формула (1.1)представляет
собой сумму
квадратов
отклонений от
предполагаемой
зависимости.
5. ПРИМЕР 1
Поиск коэффициентов полинома.Пусть z(x) =c1 + c2x + c3x2 . Тогда
точке минимума функции S
соответствуют условия:
S
S
S
0;
0. (1.2
0;
c1
c3
c2
6. Полученная на основании (1.2) система уравнений
nn
n
2
nC1 C2 xi C3 xi yi
i 1
i 1
i 1
n
n
n
2
3
C1 xi C2 xi C3 xi xi y (1.3)
i 1
i 1
i 1
n
n
n
n
2
3
3
2
C1 xi C2 xi C3 xi xi yi
i 1
i 1
i 1
i 1
7. ПОСЛЕДНИЙ ШАГ
Система (1.3) решаетсяотносительно С1, С2, С3, что
позволяет определить вид
функции:
3
Z ( x)
c x
i 1
i
i 1
8. ЧАСТЬ 2
Решениесистемы
линейных
уравнений
методом Гаусса
9. Форма представления исходных данных
Метод основан напоследовательном исключении
неизвестных. Пусть дана система
уравнений:
a11 x1
a21x1
...
a x
n1 1
a12 x2 ... a1n xn
a22 x2 ... a2 n xn
... ... ... ... ... ... ... ...
an 2 x2 ... ann xn
f1
f2
(1.4)
fn
10. Исключение x1 из (n-1) уравнений
Для этого i-ое уравнение делится на ai1,а затем 1-ое уравнение вычитается из
всех остальных. При этом система (1.4)
принимает следующий вид:
x1
1
b12
x2 ...
1
b22 x2 ...
...
... ...
bn12 x2 ...
b11n xn
1
b2 n xn
...
...
1
bnn
xn
См. следующий слайд.
... ...
F11
1
F2
(1.5)
Fn1
11. Компоненты системы (1.5)
b1
ij
aij
aii
a1 j
a11
fi
f1
F
ai1 a11
1
ii
i 1, n; j 1, n
12. Исключение xi в (n-i) уравнениях
Для этого в (1.5) повторяетсяприменительно к x2 предыдущая
процедура. Повторяя ее
последовательно для x3, x4, …, xn,
получим:1
1
x1 b12 x2 ... b11n xn
F1
2
2
x
...
b
x
F
2
2n n
2
... ... ... ... ...
(1.6)
n
xn
Fn
13. Решение системы (1.6)
Переменные системы(1.6) вычисляются
последовательно,
начиная с xn. Т.о.
размерность матрицы
на каждой итерации
уменьшается на 1.
14. Пример 2
Поиск коэффициентованалитической модели,
описываемой экспонентой:
у ( x) C1e .
c2 x
(1.7)
15. Преобразование уравнения (1.7)
Логарифмируя, получимполином:
T ln у ( x) ln C1 C2 x
16. Сведение задачи к известному виду
Таким образом, задачу вновьудалось свести к поиску
коэффициентов полинома. Функция
S имеет вид:
2
S (ln yi Ti ) ln yi ln C1 C2 xi .
i 1
i 1
n
2
n
17. Приравнивая нулю производные, получим систему (1.8):
n ln C1 C2 xi ln yii 1
i 1
(1.8)
n
n
n
[ln C1 ] xi C2 xi2 xi ln yi
i 1
i 1
i 1
n
n
18. Исходные данные
№х
у
1
0
2
2
1
5,4365
3
2
14,778
19. Вид системы (1.8)
3С 3C2 5,0793;(1.9)
'
3C1 5C2 7,0793,
'
где С1 ln( C1 ).
'
1
20. Решение системы (1.9)
C1 2;C2 1;
y 2e .
x
21. САМОСТОЯТЕЛЬНО
Поиск коэффициентованалитической модели,
описываемой уравнением вида:
у ( x) C1 х . (2.0)
c2
Исходные данные представлены в
таблице на следующем слайде.
22. Таблица исходных данных
№х
у
1
1,0
2,0
2
2,0
4,0
3
3,0
6,0
23. ЧАСТЬ 3
Выбор модели24. Критерии качества аналитических моделей
Максимальное по абсолютной величине отклонениеот экспериментальных данных.
Квадратичное отклонение - квадратный корень из
суммы квадратов такого рода отклонений.
Среднее квадратичное отклонение - квадратный
корнем из суммы квадратов такого рода отклонений
деленный на число экспериментальных данных.
Сумма абсолютных величин отклонений от
экспериментальных данных.
Среднее абсолютное отклонение- сумма
абсолютных величин отклонений от
экспериментальных данных, деленная на число
экспериментальных данных.
25. САМОСТОЯТЕЛЬНО
Привести критериикачества
аналитических
моделей,
отсутствующие на
предыдущем слайде.
26. Графическая интерпретация
Каждой аналитической модели у(x)можно поставить в соответствие
некоторую точку в многомерном
пространстве, оси которого
соответствуют выбранным критериям
качества K , а конкретные значения
на этих осях отражают значения
соответствующих критериев. (см.
рис. на следующем слайде).
27. Сравнение интегрального критерия с эталоном
12
3
Сравнение
интегрального
критерия с эталоном
Поскольку
наилучшим
значением для
перечисленных
выше критериев
является нулевое,
качество модели
z(x) можно
оценить
расстоянием от
соответствующей
точки А до начала
координат О
К2
К3
А
0
Если имеется
несколько
моделей
такого рода,
то выбирается
та из них,
которой
соответствует
наиболее
близкая к
К1 началу
координат
точка.
28. САМОСТОЯТЕЛЬНО
Выбрать наилучшую из двухмоделей:
C2
y1 C1 ;
x
y2 C1 exp( C2 x ),
если критериями являются
максимальное отклонение и
среднеквадратичное отклонение,
применительно к таблицам,
приведенным на следующих
29. Форма представления персональных исходных данных
ХУ1
У2
1
1,0
3,0
2
2,0
1,1
3
3,0
0,4
30. Таблица персональных исходных данных
12
3
1
2.1
0.36
1
3
0.14
1
3
0.7
2
1.6
0.15
2
2.1
0.02
2
2.5
0.27
3
1.25
0.5
3
1.8
0.00
2
3
2.33
0.1
4
1
6
5
4
0.3
1
4
1.1
1
5
0.4
2
3
0.04
2
3.5
0.4
2
4
0.05
7
3
2.6
0.00
5
3
3.2
0.11
3
3.7
0.00
8
31. Таблица персональных исходных данных
78
91
2.1
0.36
1
2.9
0.14
1
3.1
0.7
2
1.7
0.15
2
2.2
0.02
2
2.5
0.29
3
1.25
0.6
3
1.7
0.00
2
3
2.33
0.11
10
11
12
1
4
0.31
1
4.1
1.1
1
4.8
0.41
2
3
0.03
9
2
3.4
0.45
2
3.9
0.05
5
3
2.8
0.00
5
3
3.23
0.11
5
3
3.6
0.00
9
32. Таблица персональных исходных данных
1314
15
1
2.0
0.36
1
3.04
0.14
1
3.02
0.69
7
2
1.7
0.17
2
2.05
0.01
9
2
2.48
0.26
8
3
1.23
0.48
3
1.81
0.00
2
3
2.31
0.09
7
16
1 18 3.8
17
0.32
1
4.04
1.12
1
5.2
0.41
2
2
3.1
0.04
1
2
3.50
1
0.38
9
2
3.89
0.05
6
3
2.65
0.00
5
3
3.20
5
0.11
6
3
3.71
0.00
8
33. Таблица персональных исходных данных
1921
1
20
2.10
6
0.35
9
1
3.1
0.14
1
1
3.0
0.73
1
2
1.59
1
0.16
1
2
2.13
0.02
3
2
2.51
0.27
2
3
1.25
3
0.51
3
1.82
0.00
2
3
2.33
4
0.12
22
1 24 3.98
23
0.32
1
4.02
1.09
8
1
5.05
0.42
2
3.99
0.04
1
2
3.48
0.39
8
2
3.95
0.05
6
3
2.62
0.00
5
3
3.18
9
0.11
2
3
3.70
2
0.00
8