Угол между двумя плоскостями

1. Угол между двумя плоскостями

Угол между двумя пересекающимися плоскостями,
заданными уравнениями a1x + b1y + c1z + d1 = 0, a2x + b2y +
c2z + d2 = 0 можно найти, используя формулу
n1 n2
cos
,
| n1 | | n2 |
где n1 (a1 , b1 , c1 ), n2 (a2 , b2 , c2 ) - векторы нормалей. Однако
угол между векторами может быть тупым, а угол между
плоскостями нет. Поэтому, если косинус угла между
векторами получился отрицательным, то в ответе нужно
указывать его модуль.

2. Упражнение 1

Найдите угол φ между плоскостями, заданными уравнениями:
а) x = 0, y = 0;
б) x + y + z + 1 = 0, x + y – z – 1 = 0;
в) 2x + 3y + 6z – 5 = 0, 4x + 4y + 2z – 7 = 0.
Ответ: а)
90о;
1
б) cos ;
3
16
в) cos .
21

3. Упражнение 2

Найдите угол между плоскостями, проходящими через вершины A,
B, C1 и B, C, D1 единичного куба ABCDA1B1C1D1.
Решение. Пусть вершины единичного
куба имеют координаты: D(0, 0, 0), C(1,
0, 0), A(0, 1, 0), D1(0, 0, 1).
Данные плоскости ABC1 и BCD1
задаются уравнениями:
y + z = 1, x + z = 1.
Векторы нормалей имеют координаты (0, 1, 1) и (1, 0, 1).
Косинус угла между этими плоскостями равен 0,5. Искомый угол
равен 60о.
Ответ. 60о.

4. Упражнение 3

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостями
ABC1 и BDA1.
Решение. Пусть вершины единичного
куба имеют координаты: D(0, 0, 0), C(1,
0, 0), A(0, 1, 0), D1(0, 0, 1).
Данные плоскости ABC1 и BDA1
задаются уравнениями:
y + z = 1, x – y + z = 0.
Векторы нормалей имеют координаты (0, 1, 1) и (1, –1, 1).
Их скалярное произведение равно 0. Искомый угол равен 90о.
Ответ. 90о.

5. Упражнение 4

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 точка E – середина ребра AA1.
Найдите угол φ между плоскостями ABC1 и B1D1E.
Решение. Пусть вершины единичного
куба имеют координаты: D(0, 0, 0), C(1,
0, 0), A(0, 1, 0), D1(0, 0, 1).
Данные плоскости ABC1 и B1D1E
задаются уравнениями:
y + z = 1, x – y – 2z + 2 = 0.
Векторы нормалей имеют координаты (0, 1, 1) и (1, –1, –2).
cos
3
, φ = 30о.
2
Ответ. 30о.

6. Упражнение 5

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F – середины ребер AA1
и BB1. Найдите косинус угла φ между плоскостями ACF и B1D1E.
Решение. Пусть вершины единичного
куба имеют координаты: D(0, 0, 0), C(1,
0, 0), A(0, 1, 0), D1(0, 0, 1).
Данные плоскости ACF и B1D1E
задаются уравнениями:
x + y – 2z – 1= 0, x – y – 2z + 1 = 0.
Векторы нормалей имеют координаты (1, 1, –2) и (1, –1, –2).
2
cos .
3
2
3
Ответ. cos .

7. Упражнение 6

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F – середины ребер AA1
и CD. Найдите косинус угла φ между плоскостями BFC1 и B1D1E.
Решение. Пусть вершины единичного
куба имеют координаты: D(0, 0, 0), C(1,
0, 0), A(0, 1, 0), D1(0, 0, 1).
Данные плоскости BFC1 и B1D1E
задаются уравнениями:
2x – y – z – 1 = 0, x – y – 2z + 1 = 0.
Векторы нормалей имеют координаты (2, –1, –1) и (1, –1, –2).
5
cos .
6
5
Ответ. cos .
6

8. Упражнение 7

В правильной 3-й призме ABCA1B1C1, ребра которой равны 1,
найдите косинус угла между плоскостями ABC1 и AB1C1.
Решение. Пусть вершины
имеют координаты:
призмы
1 3
A(0, 0, 0), B 1, 0, 0 , B1 1, 0,1 , C1 ,
,1 .
2 2
Данные
плоскости
уравнениями:
2 3
3
z
y, z x
3
3
2 3
, 1 ,
Их векторы нормалей имеют координаты 0,
3
5
Косинус угла между ними равен
.
7
5
Ответ. 7 .
задаются
y.
3
, 1 .
1,
3

9. Упражнение 8

В правильной 3-й призме ABCA1B1C1, ребра которой равны 1, точки
D и E – середины ребер AA1 и CC1. Найдите косинус угла между
плоскостями ABE и DB1C1.
Решение. Пусть вершины призмы имеют
координаты: A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), A1(0, 0, 1),
1 3
C ,
, 0 .
2 2
Данные плоскости задаются уравнениями:
3
1
3
1
z
y, z x
y .
3
2
6
2
1 3
3
, 1 , ,
, 1 .
Их векторы нормалей имеют координаты 0,
3
2 6
7
Косинус угла между ними равен .
8
7
Ответ. 8 .

10. Упражнение 9

В правильной 4-й пирамиде SABCD, ребра которой равны 2, точки
E, F и G – середины ребер AB, BC и SC. Найдите косинус угла
между плоскостями SAD и EFG.
Решение. Пусть O(0, 0, 0), E(0, 1, 0),
F(1, 0, 0), S(0, 0, 2 ).
Данные
плоскости
уравнениями:
z 2 x 2,
Их векторы нормалей имеют координаты
Косинус угла между ними равен
3
.
Ответ.
3
3
.
3
задаются
x y 1.
2, 0, 1 , (1,1, 0).

11. Упражнение 10

В правильной 4-й пирамиде SABCD, ребра которой равны 2, точки
E, F – середины ребер SC, SD. Найдите косинус угла между
плоскостями SAD и ABE.
Решение. Пусть P, Q – середины ребер
AB, BC; O(0, 0, 0), P(0, 1, 0), Q(1, 0, 0),
S(0, 0, 2 ). Точка R пересечения прямой
SO и плоскости ABE имеет координаты
2 2
0,
0,
.
3
Данные
плоскости
уравнениями:
z 2 x 2,
Их векторы нормалей имеют координаты
3 51
Косинус угла между ними равен
.
51
3 51
.
Ответ.
51
задаются
3 2
y
z 1.
4
3 2
2, 0, 1 , 0,1,
.
4

12. Упражнение 11

В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1,
найдите косинус угла между плоскостями BDD1 и AFE1.
Решение. Пусть вершины призмы имеют
координаты: A(0, 0, 0), B(1, 0, 0),
D(1, 3, 0), E(0, 3, 0), B1 1, 0,1 , D1(1, 3,1).
Данные
плоскости
уравнениями:
x 1,
3y
z x
.
3
задаются
3
, 1 , (1, 0, 0).
Их векторы нормалей имеют координаты 1,
3
Косинус угла между ними равен 21 .
7
21
.
Ответ.
7

13. Упражнение 12

В правильной 6-й призме A…F1, ребра которой равны 1,
найдите косинус угла между плоскостями BCC1 и AFE1.
Решение. Пусть вершины призмы имеют
координаты: A(0, 0, 0), B(1, 0, 0),
3 3
3 3
C ,
, 0 , E (0, 3, 0), C1 ,
,1 .
2 2
2 2
Данные
плоскости
уравнениями:
задаются
3
y 3x 3, z x
y.
3
Их векторы нормалей имеют координаты
Косинус угла между ними равен
Ответ.
7
.
7
7
.
7
3
3, 1, 0 , (1,
, 1).
3

14. Упражнение 13

В правильной 6-й пирамиде SABCDEF, стороны основания которой
равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между
плоскостями SAF и SBD.
Решение. Пусть O(0, 0, 0), C(1, 0, 0),
3
G 0,
, 0 , S (0, 0, 3).
2
Данные
плоскости
уравнениями:
задаются
3
y 3x 3, z x
y.
3
Их векторы нормалей имеют координаты
Косинус угла между ними равен
Ответ.
7
.
7
7
.
7
3
3, 1, 0 , (1,
, 1).
3

15. Упражнение 14

В правильной 6-й пирамиде SABCDEF, стороны основания которой
равны 1, а боковые ребра равны 2, точка G – середина ребра SC.
Найдите косинус угла между плоскостями SAF и SDG.
Решение. Пусть O(0, 0, 0), C(1, 0, 0),
3
P 0,
, 0 , S (0, 0, 3).
2
Данные
плоскости
уравнениями:
задаются
3
y 3x 3, z x
y.
3
Их векторы нормалей имеют координаты
Косинус угла между ними равен
Ответ.
7
.
7
7
.
7
3
3, 1, 0 , (1,
, 1).
3