Движение в геометрии

1. Движение в геометрии

2. Понятие движения

Движение – это отображение
пространства на себя, сохраняющее
расстояния между точками

3. Виды движения

Центральная симметрия
Осевая симметрия
Зеркальная симметрия
Параллельный перенос

4. Центральная симметрия

Дано :
A’
B’
O ( xO ; yO ; zO ),
A( x A ; y A ; z A )
Найти : A' ( x A' ; y A' ; z A' )
Решение :
O
D
C
B
A
C’
D’
A A' ,
O середина AA' ,
x A x A'
xO x A' 2 x0 x A
2
y A y A'
yO y A ' 2 y 0 y A
2
z A z A'
zO z A ' 2 z 0 z A
2
A' (2 x0 x A ; 2 y0 y A ; 2 z0 z A )

5. Осевая симметрия

Дано : a : M 0 ( x0 , y0 , z0 ), q{x1 , y1 , z1}
A( x A , y A , z A )
Найти : A' ( x A' , y A' , z A' )
a
C
Решение :
OC
OD
C’
D’
H ( xH , y H , zG ),
D
OA
A
B
OB
x x0 y y0 z z0
x1
y1
z1
B’
уравнение прямой a
AH a, H a
( x x A ) x1 ( xH x A ) y1 ( xH x A ) z1 0
AH q 0 H
xH x0 y H y0 z H z0
A’ H a
x
y1
z1
1
x A x12 x0 y12 x0 z12 x1 ( y1 ( y0 y A ) z1 ( z0 z A ))
xH
x12 y12 z12
y ( x x0 )
yH 1 H
y0
x
1
z ( x x0 )
z0
zH 1 H
x
1
AH {xH x A ; y H y A ; z H z A }
AH
A 2
A' ; A' (2 xH x A ; 2 y H y A ; 2 z H z A )

6. Зеркальная симметрия

Дано : : ax by cz d 0
α
A( x A , y A , z A )
Найти : A' ( x A' , y A' , z A' )
Решение :
ax by cz d 0
уравнение плоскости , где q (a, b, c)
AH {xH , y H , z H } || q (a, b, c) , H
D
OC
C
D xH x A y H y A z H z A
C
c
b
a
axH by H cz H d 0
OD
OB
B
A
B
OA
A
a ( y Ab z A c d ) b 2 x A c 2 x A
xH
a2 b2 c2
b( x H x A )
yA
yH
a
b( z H z A )
zA
zH
a
AH {xH x A ; y H y A ; z H z A }
AH
A' , A' (2 xH x A ; 2 y H y A ; 2 z H z A )
A 2

7. Параллельный перенос

Дано : p{xP , y P , z P , }
C’
C
A( x A , y A , z A )
D’
D
Решение :
A’
A
B’
B
p
Найти : A' ( x A' , y A' , z A' )
A'
A
p
A' ( x A x p ; y A y p ; z A z p )