Аналитическая геометрия

1. Модуль 2

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

2. Плоскость и её основные уравнения

• Рассмотрим плоскость P в
прямоугольной декартовой
системе координат.

3.

• Положение плоскости вполне
определяется
точкой
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) P
и вектором нормали
n ( A, B, C ) P (n 0)

4.

5.

• Возьмём любую точку
M ( x, y, z ) P
и построим вектор
M 0 M ( x x0 , y y 0 , z z 0 )

6.

• Так как n M 0 M , то скалярное
произведение
или
n M 0 M 0,
A( x x0 ) B( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0.

7.

• Получили уравнение плоскости,
заданной
точкой M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 )
и вектором нормали n ( A, B, C )

8.

• Если в уравнении
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
раскрыть скобки и обозначить
D Ax 0 By 0 Cz 0
то получим общее уравнение
плоскости:
Ax By Cz D 0
( A B C 0)
2
2
2

9.

• Теорема. Всякое уравнение
вида
Ax By Cz D 0
( A B C 0)
2
2
2
определяет некоторую
плоскость в пространстве.

10.

• Если в этом уравнении какойлибо из коэффициентов A, B, C
равен нулю, то плоскость
расположена параллельно той
оси, координата которой
отсутствует в уравнении.

11.

• Например, при A = 0 плоскость
By + Cz + D = 0 параллельна оси
Ox; при A = B = 0 плоскость Cz +
D = 0 параллельна осям Ox и
Oy, т.е. плоскости xOy и т.д.

12.

• Пусть в уравнении
Ax By Cz D 0
ни один из коэффициентов не
равен 0. Перепишем это
уравнение в виде
Ax By Cz D
разделим обе части этого
равенства на - D и обозначим

13.

D
D
D
a, b, c
A
B
C
Получим уравнение плоскости в
отрезках:
x y z
1,
a b c

14.

• где a, b, c – это величины
направленных отрезков,
отсекаемых плоскостью на осях
координат

15.

16.

• Если три точки
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
M 2 ( x2 , y 2 , z 2 )
M 3 ( x3 , y 3 , z 3 )
не лежат на одной прямой, то
через эти точки проходит
единственная плоскость:

17.

18.

• Уравнение плоскости,
проходящей через три точки,
имеет вид:
x x1
y y1
z z1
x 2 x1
y 2 y1
z 2 z1 0.
x3 x1
y 3 y1
z 3 z1

19.

• Пусть даны две
P1 : A1 x B1 y C1 z D1 0
и
P2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
• Угол φ между двумя
плоскостями
равен углу между
их векторами
нормали:

20.

cos
n1 n2
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1C2
A B C A B C
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2

21.

• Расстояние d от
точки
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
до
Axплоскости
By Cz D 0
определяется по
|
Ax
By
Cz
D
|
1
1
1
формуле
d
2
2
2
A B C

22.

• Пример. Даны две
точки
M ( 2, 0, 1)
M (1, 4, 2)
1
2
Записать
уравнение
M 1M 2 .
плоскости,
проходящей через
точку M1
перпендикулярно

23.

• Решение.
Поскольку
искомая
M 1M 2
плоскостьn
перпендикулярна
M 1 M 2 (3, 4, 1)
вектору
, то в
к ачестве вектора
нормали
возьмем вектор

24.

25.

• Подставив теперь
уравнение
Aв
(x
x 0 ) B( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0
A 3, B 4, C 1
а
также
x0 2, y 0 0, z 0 1
координаты точки
M1:
получим

26.

3( x 2) 4( y 0) 1( z 1) 0
или
3x 4 y z 5 0
– это и есть
искомое общее
уравнение
плоскости

27. Прямая в пространстве и её основные уравнения

• Рассмотрим
прямую l в
прямоугольной
дек артовой
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) l
системе
координат
.
(m, n, p) || l
Положениеs прямой

28.

29.

• Возьмем любую
M ( x, y, z) l
точку
Mи
0 M || s
построим вектор
, из условия
коллинеарности
этих векторов
получим
x
x
y
y
z
z
0
0
0
канонические
уравнения
m
n прямой
p
в пространстве:

30.

• Обозначим
коэффициент
пропорционально
сти через
параметр t и
выразим через t
переменные
x x 0 mt , x, y,z.
Приходим
к
y y 0 nt,
параметрическим
z z pt,
уравнениям
0

31.

• Уравнение прямой,
проходящей через
две точки M1(x1, y1, z1) и
M2(x2, y2, z2) , имеет вид:
x x1
y y1
z z1
.
x2 x1 y 2 y1 z 2 z 1

32.

• Рассмотрим две
плоскости P 1 : A1x + B1y
+ C1z+ D1 = 0 и
P 2 : A2x + B2y + C2z+ D2 = 0.
Если эти
плоскости не
параллельны, то
они пересек аются
по прямой,
задаваемой

33.

A1 x B1 y C1 z D1 0,
A
x
B
y
C
z
D
0
.
2
2
2
2
• Эта система
называется общим
уравнением
прямой в
пространстве.

34.

• Угол φ между двумя
прямыми l1 и l2
равен углу между
их направляющими
s1 (m1 , n1 , p1 ) s 2 (m 2 , n 2 , p 2 )
векторами
s1 s 2
mи
1 m 2 n1 n 2 p1 p 2
cos
2
2
2
2
2
2
| s1 || s 2 |
m1 n1 p1 m 2 n 2 p 2

35.

• Угол ψ между
x x0 y y 0
прямой
m
n
z z0
p
и плоскостью Ax + By
+ Cz + D = 0
определяе
| Am тся
Bn Cpпо
|
sinформуле
2
2
2
2
2
2
A B C m n p

36.

• Пример.
Составить
к анонические и
параметрические
уравнения прямой,
проходящей через
точки M1(3; 2; -1) и M2(4; 2;
1).

37.

• Решение.
Подставляем в
формулу
координаты точек
M1x(3; 2;3-1) иyM 2(4;
2 2; 1):z 1
4 3
2 2
1 1

38.

• или
x 3 y 2 z 1
1
0
2
– к анонические
уравнения прямой
(нуль
в
s (1, 0, 2)
знаменате
ле
означает
, что
направляющий
вектор

39.

• Запишем
параметрические
уравнения прямой:
x 3 y 2 z 1
t
1
0
2
x 3 t,
x 3 t,
y 2 0, z 1 2t ,
y 2, z 1 2t

40. Прямая на плоскости и её основные уравнения

• Уравнение прямой
с угловым
коэффициентом
k
y kx b
имеет вид
y y 0 k ( x x0 )
или

41.

где k = tg α – угловой
коэффициент
прямой, b –
величина отрезк а,
отсек аемого этой
прямой на оси Oy,(x0,
y0) – точк а, лежащая
на прямой.

42.

43.

• Кроме того,
прямую l на
плоскости можно
задатьnвектором
( A, B) l
нормали
M
(
x
,
y
)
l
0 0
0
и точкой

44.

45.

• Получим три
уравнения,
аналогичные
уравнениям для
A( x x0 ) B( y: y 0 ) 0
плоскости
– уравнение
прямой, заданной

46.

Ax By C 0
– общее уравнение
прямой;
x y
1
a b
– уравнение
прямой в

47.

• Прямая l на
плоскости также
определяется
s
(
m
,
n
)
||
l
направляющим
вектором
M
(
x
,
y
)
l
0 0
0
и точкой

48.

49.

• Получим еще 3
уравнения,
аналогичные
уравнениям
x x0 в y y 0
прямой
пространстве:
m
n

50.

–
x x0 mt ,
y y 0 nt
параметрические
x
x
y
y
1 прямой
1
уравнения
;
x 2 x1
y 2 y1
– уравнение
прямой,
проходящей через

51.

• Угол между двумя
прямыми,
заданными
y k1 x b1
уравнениями:
l1: y k x b
и
2
2
k 2 k1
tg найти по
можно
1 k1 k 2
формуле
l2:

52.

• при этом
l1 l 2
т
. е. ,
k1k 2 1,
1
k1
k2
l1 || l2 k1 k2 .

53.

• Расстояние d от
точки M1(x1, y1) до
прямойAx + By + C = 0
вычисляется по
формуле
d
| Ax1 By1 C |
2
A B
2

54.

• Пример. Записать
уравнения прямых,
проходящих через
точку M(– 2, 1)
параллельно и
перпендикулярно
прямой
3x – 4y + 12 = 0.

55.

• Решение.
Перепишем общее
уравнение прямой
3x – 4y + 12 = 0, выразив
из него
переменную y:
3
l: y x 3
4

56.

• Получили
уравнение прямой
с угловым
коэффициентом
k=
l1 || l
3/4. Запишем
уравнение прямой
и проходящей
через точку
3 M(– 2, 1).
k1 k для
Поскольку
4
параллельных

57.

• то
3
y 1 ( x 2)
4
или
4 y 4 3x 6,
3x 4 y 10 0.

58.

• Составим
уравнение
прямой
l 2 l
, проходящей
через точку
M(– 2,1).
Так к ак угловые
коэффициенты
перпендикулярны
1
4
k 2 связаны
х прямых
k
3
соотношением

59.

4
y 1 ( x 2)
3
или
3 y 3 4 x 8,
4 x 3 y 5 0.
• Прямые
изображены на
рис.