Аналитическая геометрия

1. Аналитическая геометрия

1

2. Прямая на плоскости

Уравнение прямой, проходящей через две точки
L М1(x1, y1) и M2(x2, y2) - точки на плоскости.
Проведем через них прямую L.
Возьмём на прямой точку M(x, y).
M
M2
M 1M , M 1M 2 коллинеарн ые
M1
x x1
y y1
.
x2 x1 y 2 y1
Уравнение прямой в отрезках
y
M 2 0; b
x a y 0
x a b y a bx ay ab
0 a b 0
b
M1 a;0
0
а
x
x y
1
a b
2

3.

Каноническое уравнение прямой
a
М0
Прямая L однозначно может быть задана
М
L
точкой М(x0, y0) и вектором а m ; n ,
Возьмём на прямой точку M(x, y).
M 0 M , а коллинеарные
x x0 y y 0
.
m
n
3

4.

Параметрические уравнения прямой
x x0 y y0
t
m
n
x x0 mt,
y y0 nt.
Уравнение прямой, заданной точкой и вектором нормали
L
n
M0
M
Задана точка М0(x0, y0) и вектор нормали n A; B .
М(x, y) – произвольная точка на прямой L.
M0M n n M0M 0
A( x x0 ) B( y y0 ) 0.
4

5.

Общее уравнение прямой
A( x x0 ) B( y y0 ) 0
Ax Ax0 By By 0 0,
Ax By ( Ax0 By 0 ) 0,
Ax By C 0.
Уравнение прямой, заданной точкой
и угловым коэффициентом
y
М
y
М0
y0
Из M 0 MA tg
A
0
Задана точка М0(x0, y0) и
угловой коэффициент k tg .
М(x, y) – произвольная точка на прямой L.
L
x
x0
x
y y0
,
x x0
y y0 k ( x x0 ).
5

6.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом
y y0 k ( x x0 )
y y0 kx kx0 ,
y kx ( y0 kx0 ),
y kx b
Расстояние от точки до прямой
М0
d
Задана точка М0(x0, y0) и
прямая
Ax By C 0.
Расстояние от точки до прямой
вычисляется по формуле:
d
Ax0 By 0 C
A2 B 2
6

7.

Взаимное расположение прямых
L2
y
1
L1 и L2 – пересекающиеся прямые
Найдем угол между этими прямыми
L1
2 1 , 2 1 ,
tg tg ( 2 1 ),
tg 2 tg 1
tg
,
1 tg 2 tg 1
2
x
0
Если прямые параллельны, то
k 2 k1
tg
.
1 k1 k 2
0 tg 0 k1 k2
Если прямые перпендикулярны, то
2
сtg 0 k1k 2 1
7

8. Кривые второго порядка Окружность

y
Окружность – множество точек плоскости
равноудаленных от данной точки плоскости,
называемой центром окружности.
С(x0; y0) – центр окружности,
R – радиус,
М(x; y) – произвольная точка окружности.
M
y0
C R
0
x0
x
CM R ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 R 2
Если центр окружности совпадает с началом координат,
уравнение примет вид
2
2
x y R2.
8

9.

Эллипс
y
b
0
-a
с
-с
x
a
-b
Каноническое уравнение эллипса
с центром в точке О(0;0):
x2 y2
1
a 2 b2
Множество точек плоскости, для которых
сумма расстояний от двух заданных точек,
называемых фокусами, есть величина
постоянная, большая расстояния между
фокусами.
а, b – полуоси эллипса;
М1(а;0); М2(-а;0); М3(0;b); М4(0;-b) –
вершины эллипса;
F1(c;0); F2(-c;0) – фокусы;
с
1
большая полуось
- эксцентриситет;
большая полуось 2 меньшая полуось 2 c 2 .
Если центр эллипса находится в точке О/(x0; y0),
то уравнение имеет вид:
( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2
1.
2
2
a
b
9

10.

Гипербола
b
y x
a
y
y
b
x
a
b
0
a
Каноническое уравнение
гиперболы с центром симметрии в
точке О(0;0): 2
2
x
y
1,
2
2
a
b
Уравнение сопряженной
гиперболы:
x2 y2
2 2 1
a
b
Множество точек плоскости, для которых
модуль разности расстояний от двух
заданных точек, называемых фокусами,
есть величина постоянная, меньшая
расстояния между фокусами.
x а – действительная полуось;(b)
b – мнимая полуось;(a)
точки пересечения с осями М1; М2 –
вершины гиперболы;
F1(c;0); F2(-c;0) – фокусы; c 2 a 2 b 2 .
y
b
x - асимптоты гиперболы;
a
с
1 - эксцентриситет;
действительная полуось
Если центр симметрии - О/(x0; y0),
то уравнение гиперболы имеет вид:
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2
1.
2
2
a
b
Уравнения асимптот: y y0 b x x0 .
a

11.

Парабола
Множество точек плоскости, каждая из
которых находится на одинаковом
расстоянии от заданной точки, называемой
фокусом и прямой, называемой
директрисой.
y
p – параметр;
О(0;0) – вершина;
-p/2
0
p/2
x
F(p/2;0) – фокус;
y
p - уравнение директрисы.
2
Уравнение параболы:
y 2 2 px
11

12.

Канонические уравнение параболы с вершиной в точке О/(x0; y0)
x x0 p / 2
x x0 p / 2
а)
x0 ; y0
F x0 p / 2; y0
y y0 2 2 p x x0
б)
F x0 p / 2; y0
x0 ; y0
y y0 2 2 p x x0
y y0 p / 2
в)
F x0 ; y0 p / 2
x0 ; y0
г)
x0 ; y0
F x0 ; y0 p / 2
y y0 p / 2
x x0 2 2 p y y0
x x0 2 2 p y y0
12

13.

Если уравнение кривой второго порядка записано в виде
Ax 2 By 2 Cx Dy E 0
,
то при
A=B
кривая является окружностью;
А∙B>0
кривая является эллипсом;
А∙B<0
кривая является гиперболой;
А=0 и B≠0
кривая является параболой;
А≠0 и B=0
кривая является параболой.
13

14.

Построить кривую
x 2 y 2 16 y 17 0.
14

15.

Построить кривую
9 x 2 25 y 2 225 0.
15

16.

Построить кривую
16 x 2 9 y 2 64 x 54 y 161 0.
16

17.

Построить кривую
y 2 2 x 2 y 5 0.
17

18. Полярная система координат

Полярная система координат определяется
заданием некоторой точки О, называемой
полюсом, и исходящего из полюса луча ОЕ,
называемого полярной осью, а также
масштабом измерения длины.
Полярными координатами точки M плоскости
называются , , где
M
О
Е
ОМ ,
угол поворота против часовой стрелки
полярной оси до совмещения с ОМ .
18

19. Формулы связи декартовых и полярных координат

Y
Формулы связи декартовых и
полярных координат
x cos ,
y sin .
M
y
2 x2 y 2 ,
x2 y2 ,
y sin
y
tg .
tg .
x cos
x
О
Е
x
Х
19

20.

Задача. Кривая задана уравнением 2 cos
в полярной системе координат. Построить кривую в
декартовой системе координат.
x2 y2 ;
x cos cos
x;
2 cos x 2 y 2 2
x
x2 y2
x2 y2 2x
x 2 y 2 2 x 0;
A B 1 имеем урвнение окружности, приведем уравнение
к каноническому виду и выполним построение.
20

21.

x 2 y 2 2 x 0 x x0 y y0 R 2
2
x
x
2
2x y2 0
2
2x 1 y2 1
x 1 y 0
2
2
2
12
y
центр окружности 1;0
R=1
R 1
0
1
x
21

22. Плоскость Уравнение плоскости, заданной точкой и вектором нормали

Задана точка М0(x0, y0, z0) и
вектор нормали n A; B; C ,
M(x, y, z) - произвольная точка плоскости.
n
М0
М
n M0M
n M0M 0
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z 0 ) 0.
Общее уравнение плоскости
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
Ax Ax0 By By 0 Cz Cz0 0,
Ax By Cz ( Ax0 By 0 Cz0 ) 0,
Ax By Cz D 0.
22

23.

Уравнение плоскости в «отрезках»
x y z
1.
a b c
Здесь a, b, c – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат.
23

24.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Пусть в пространстве заданы три точки
М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и M3(x3, y3, z3).
М(x, y, z) –
произвольная точка плоскости М1М2М3.
М2
М1
М3
М
Построим векторы
M 1M , M 1M 2 , M 1M 3 ,
M 1M M 1M 2 M 1M 3 0 (из условия компланарн ости)
x x1 y y1 z z1
x2 x1 y 2 y1 z 2 z1 0.
x3 x1 y3 y1 z 3 z1
24

25.

Расстояние от точки до плоскости
Задана точка М0(x0, y0, z0) и
М0
плоскость
d
Ax By Cz D 0.
Расстояние от точки до плоскости
вычисляется по формуле:
d
Ax0 By 0 Cz0 D
A2 B 2 C 2
25

26.

Взаимное расположение плоскостей
Плоскости 1 и 2 заданы уравнениями :
2
n1 A1 ; B1; C1
A1 x B1 y C1 z D1 0,
n2 A2 ; B2 ; C2
1
A2 x B2 y C2 z D2 0.
Угол между плоскостями
n1 n2
cos
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1 C2
A1 B1 C1 A2 B2 C2
2
2
2
2
2
2
.
Условие перпендикулярности
n1 n2 0 A1 A2 B1 B2 C1 C2 0.
Условие параллельности
A
B
C
n1 , n2 коллинеарные 1 1 1 .
A2 B2 C2
26

27. Прямая в пространстве Канонические уравнения прямой

a
М0
М
L
Прямая L однозначно может быть задана
точкой М0(x0, y0, z0,) и вектором а m ; n; p ,
Возьмём на прямой точку M(x, y, z).
M 0 M , а коллинеарные
x x0 y y 0 z z 0
.
m
n
p
Параметрические уравнения прямой
x x 0 mt,
x x0 y y0 z z0
t y y 0 nt ,
m
n
p
z z pt.
0
27

28.

Общие уравнения прямой
Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух
плоскостей:
2
1
A1 x B1 y C1 z D1 0,
A2 x B2 y C2 z D2 0.
L
28

29.

Взаимное расположение прямых в пространстве
Условие параллельности двух прямых
L1
а1 m1 ; n1; p1
а2 m2 ; n2 ; p2
L2
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y 2 z z 2
m2
n2
p2
m1 n1 p1
.
m2 n2 p2
Условие перпендикулярности двух прямых
L1
L2
а1 m1 ; n1; p1
m1 m2 n1 n2 p1 p2 0.
а2 m2 ; n2 ; p2
29

30.

Угол между двумя прямыми
L1
а1 m1 ; n1; p1
L2
а2 m2 ; n2 ; p2
cos
m1 m2 n1 n2 p1 p2
m1 n1 p1 m2 n2 p2
2
2
2
2
2
2
.
30

31.

Взаимное расположение прямой и плоскости
2
n A; B; C
Острый угол между прямой
x x0 y y0 z z0
m
n
p
и плоскостью
а m ; n; p
Ax By Cz D 0
L
определяется из соотношения
cos sin
2
A m B n C p
A B C m n p
2
2
2
2
2
2
.
Условие параллельности прямой и плоскости
A m B n C p 0.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости
A B C
.
m n p
31

32.

Примеры решения задач
32