Дифференциальное уравнение Бернулли

1.

1. y
y
2 y 2 e ctgx 0
2
sin x
Данное дифф. уравнение является уравнением Бернулли. Решаем его с помощью
подстановки y u x v x . Тогда y u v uv . Подставим y, y в исходное уравнение:
uv
v
u v uv
2u 2 v 2 e ctgx 0 u v u v
2u 2 v 2 e ctgx
2
2
sin x
sin x
v
0.
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения v
sin 2 x
Тогда получим систему:
v
v
0
0
v
v
2
sin x
sin 2 x
u v u 0 2u 2 v 2 e ctgx
u v 2u 2 v 2 e ctgx
Из первого уравнения находим функцию v :
v
dv
v
dv
dx
v
0
2
2 ;
2
dx
v
sin x
sin x
sin x
dv
dx
ctgx
v sin 2 x ln v ctgx v e .
Найденную функцию подставим во второе уравнение системы:
du
du
u e ctgx 2u 2 e 2ctgx e ctgx u 2u 2
2u 2 2 2dx;
dx
u
du
1
1
2 2 dx
2x C u
u
2x C
u
Обе функции найдены, следовательно, общее решение уравнения будет иметь вид:
1
y uv
e ctgx
2x C
2. x 3 cos y dy 3 yx 2 e x dx 0
Проверим, не является ли данное уравнение дифф. уравнением в полных
дифференциалах.
В данном случае: P( x, y ) 3 yx 2 e x , Q( x, y ) x 3 cos y и
Q 3
P
x cos y 3x 2 .
3 yx 2 e x 3x 2 ;
x x
y y
P Q
, значит, данное уравнение является дифференциальным уравнением в
y x
полных дифференциалах. Общий интеграл уравнения задается формулой u( x, y) C ,
C const .
Запишем систему уравнений для определения функции u ( x, y ) :

2.

u
2
x
x P( x, y ) 3 yx e
u
Q( x, y ) x 3 cos y
y
Интегрируя первое уравнение по х, получаем:
x3
2
x
u ( x, y) 3 yx e dx 3 y e x ( y) x 3 y e x ( y) .
3
Подставим выражение для u ( x, y ) во второе уравнение системы:
u 3
x y e x ( y) x 3 ( y) x 3 cos y
y y
( y ) cos y ( y ) cos ydy sin y .
Таким образом, функция u ( x, y ) определяется формулой
u ( x, y ) x 3 y e x sin y .
Следовательно, общий интеграл уравнения задается следующим выражением:
x 3 y e x sin y C .
3.
2
y
y
y
x
x
В данном дифференциальном уравнении в явном виде отсутствует функция y .
2
z2 z
z z2
Проведем замену y z (x) , тогда y z (x) . Получим: z 2
или z 2 –
x x
x
x
дифференциальное уравнение Бернулли. Общее его решение найдем с помощью
подстановки z u x v x . Тогда z u v uv . Подставим z , z в полученное уравнение:
u v uv
uv u 2 v 2
2
x
x
u v u v
v u 2v 2
2
x
x
В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения v
Тогда получим систему:
v
v
v
0
v x 0
x
2 2
2 2
u
v
u v u 0
u v u v
x2
x2
Из первого уравнения находим функцию v :
v
dv
v
dv
dx
v 0
;
x
dx
x
v
x
dv
dx
1
1
v x ln v ln x v x x .
Найденную функцию подставим во второе уравнение системы:
1
u2 2
1
u2
du u 2
du dx
x
u 2
u 3
3
;
x
dx x
x
x
u 2 x3
v
0.
x

3.

du
dx
1 1
1
2x2
u 2 x 3 u 2 x 2 C1 u 1
2C1 x 2 1
C
1
2x2
Обе функции найдены, следовательно, общее решение уравнения z
иметь вид:
z z2
будет
x x2
2x2
1
2x
z uv
2
2C1 x 1 x 2C1 x 2 1
2x
Проведем обратную замену: y
.
2C1 x 2 1
Общее решение заданного уравнения восстанавливаем интегрированием:
t 2C1 x 2 1
2x
1 dt
1
1
y
dx
ln t C2
ln 2C1 x 2 1 C2
2
2C1
2C1 x 1
dt 4C1 x dx 2C1 t 2C1
Таким образом, общее решение заданного дифф. уравнения имеет вид
1
y
ln 2C1 x 2 1 C2
2C1
4. y 4 y 4 y e x sin 2 x
Это линейное неоднородное дифф. уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами.
Общее решение состоит из суммы общего решения соответствующего
однородного уравнения y 4 y 4 y 0 и частного решения данного неоднородного
уравнения: y y0 yч.н
Найдем y0 : y 4 y 4 y 0 .
Это линейное однородное дифф. уравнение 2-го порядка с постоянными
коэффициентами. Характеристическое уравнение:
2
k 2 4k 4 0 k 2 0 k1, 2 2
имеет два равных действительных корня, поэтому общее решение однородного
уравнения будет иметь вид:
y0 C1e 2 x C2 xe 2 x .
Теперь подберем частное решение заданного неоднородного дифф. уравнения (по
виду правой части). Правая часть уравнения представляет собой сумму 2-x функций.
Согласно принципу суперпозиции, частное решение можно представить в виде:
yч.н y1 y2 , где y1 – частное решение уравнения y 4 y 4 y e x , y 2 – частное
решение уравнения y 4 y 4 y sin 2 x .
В данном случае, частное решение y1 будет иметь вид y1 Ae x , а частное решение
y 2 будет иметь вид y 2 B cos 2 x C sin 2 x .
Таким образом,
частное решение заданного уравнения будет иметь вид
x
yч.н Ae B cos 2 x C sin 2 x .

4.

Подставим функцию y ч.н и производные
yч .н Ae x 2 B sin 2 x 2C cos 2 x ;
yч .н Ae x 4 B cos 2 x 4C sin 2 x
в левую часть уравнения:
Ae x 4 B cos 2 x 4C sin 2 x 4 Ae x 8B sin 2 x 8C cos 2 x 4 Ae x
4 B cos 2 x 4C sin 2 x e x sin 2 x;
Ae x 8B sin 2 x 8C cos 2 x e x sin 2 x
ex : A 1
1
sin 2 x : 8B 1 A 1; B ; C 0
8
cos2 x : 8C 0
1
Таким образом: yч.н e x cos2 x .
8
Следовательно, общее решение уравнения будет иметь вид:
1
y y0 yч.н C1e 2 x C2 xe 2 x e x cos2 x
8