Центр масс твердого тела. Теорема о движении центра масс

1. Центр масс твердого тела. Теорема о движении центра масс.

10 класс
Учиель Кечкина Наталия Игоревна
МБОУ «Средняя школа № 12»
г. Дзержинск, 2017

2. Центр масс

Центр масс находится в
центре палки.
Рис. 1 – Траектория движения центра масс
однородной палки
Центр масс находится
ближе к грузу.
Рис. 2 – Траектория движения центра масс
палки с грузом
Центр масс- точка тела,
которая движется так,
как будто на нее
действуют только
внешние силы, причем
ее положение зависит от
того, как распределена
масса внутри тела.

3. Центр масс

Пример. Система состоит из двух
материальных точек массами m1 и m2.
Предположим, что
m1 l2
m2 l1
(1)
где l1 и l2 - векторы, проведенные от точек к
центру масс;
r1 и r2 - радиус-векторы точек;
rc - радиус-вектор, проведенный из начала
координат к центру масс точек.
Из рисунка 3 видно
r1 l 1 r c
(2)
r2 l 2 rc
Умножим (2) на m1 и m2 соответственно
Рис. 3 – Система из двух
материальных точек
m1 r 1 m1 l 1 m1 r c
(3)
m2 r 2 m2 l 2 m2 r c
(4)

4. Центр масс

Сложим (3) и (4), получим
m1 r1 m1 l 1 m2 r 2 m2 l 2 m1 r c m2 r c
Так как
(5)
m1 l 1 m2 l 2
то (5) можно записать в виде
m1 r1 m2 r 2 m1 m2 r c
(6)
Из (6) следует, что для системы из двух тел
положение центра масс задается радиусвектором
r
c
m1 r 1 m2 r 2
m1 m2
Для системы из
материальных точек
(7)
произвольного
числа
Рис. 3 – Система из двух
материальных точек
m r
r m
i
i
c
i
i
i
где mi – масса i-го элемента;
ri - радиус-вектор i-го
элемента.
(8)

5. Центр масс

i mi xi
xc
i mi
i mi уi
уc
i mi
i mi zi
zc
i mi
где xi, yi, zi - координаты одного из элементов
тела.
Рис. 4 – Положение
материальной точки в
трехмерной системе
координат
(9)

6.

Импульс твердого тела
Импульс твердого тела равен суммарному
импульсу всех его точек
p m
i
i
(10)
i
где vi – скорость отдельных точек тела.
С учетом (8) можно записать
m r c mi r i
(11)
i
Путь за время ∆t радиус-векторы изменятся
на ∆r
(12)
m c mi i
r i
r
Разделим левую и правую части выражения
(12) на ∆t
m
rc
mi r i
t
t
i
(13)
m c mi i
i
Импульс твердого тела равен
импульсу материальной точки,
масса которой равна массе тела, а
скорость равна скорости центра
масс.
(14)
p m
c
(15)

7.

Теорема о движении центра масс
Уравнение движения i-го элемента массой mi
(mi i )
Fik Fi
t
t
k i
pi
или
(16)
t
Fi
(20)
i
Fik
k i
–
сумма
внутренних
сил,
действующих на i-ый элемент тела со
стороны других элементов
По III закону Ньютона
Fik Fki
(17)
Тогда сумма всех внутренних сил равна 0
i mi i
С учетом (14)
где Fi – внешняя сила,
m c
Fi
t
i
(22)
m a c Fi
(23)
(18)
Тогда (16) можно записать в виде
(mi i )
i t i Fi
(21)
i
Fik Fki 0
m c
Fi
t
i
(19)
Центр масс твердого тела
движется так же как двигалась бы
материальная точка, масса которой
равна массе тела, под действием
внешних сил, приложенных к
данному телу.

8.

Теорема о движении центра масс
Следствие теоремы о движении центра масс:
Если сумма внешних сил равна 0, то центр масс покоится или
движется равномерно и прямолинейно.
c
0
t
c const
(24)