Упругие волны в твердом теле. Теория упругости

1.

Упругие волны в твердом теле

2.

Теория упругости: некоторые понятия
Механическое напряжение в т.т. –
Сила действующая между двумя смежными
элементами на бесконечно малом участке
площади = d F/d S
n = dFn /d S
t = dFt /d S
Fn проекция на нормаль к S
Ft проекция на плоскость касательную к S
n x nx y n y z nz
n = 1,2,3

3.

Тензор напряжений
11 12 13
ij 21 22 23
32
33
31
ij ji

4.

Тензор напряжений
0
11 0
0 22 0
0
0 33
Для любой точки абсолютно упругого тела существует
декартовая система координат в которой тензор
упругих напряжений является диагональным.

5.

Смещение и деформация
U 0
0
U cмещение
U ( x x) U ( x)
x
U
деформация
x
U 0
0
U 0
0

6.

Вектор смещения
U (U1 ,U 2 ,U 3 )
Деформации по направлению осей
Нормальные компоненты
U 3
U1
U 2
11
, 22
, 33
x1
x2
x3

7.

U1
x2
U 2
x1
Деформации сдвига
1 U1 U 2
, 13
12
2 x2
x1
1 U 2 U 3
23
2 x3
x2
1 U1 U 3
,
2 x3
x1
1 U i U j
ij
2 x j
xi

8.

Связь между напряжением и деформацией
Изотропное тело
E – модуль Юнга
– коэффициент Пуассона
= E
n =
1
11 11 22 33
E
1
22 22 11 33
E
1
33 33 11 22
E

9.

Связь между напряжением и деформацией
G – модуль сдвига
1
12 12
G
1
23 23
G
1
31 31
G

10.

Связь между напряжением и деформацией
= n + t
0
11 0
n 0 22 0
0
0
33
0 12 13
t 21 0 23
0
32
31
= n+ t
0
11 0
n 0 22 0
0
0
33
0 12 13
1
t 21 0 23
2
0
32
31

11.

Связь между напряжением и деформацией
0
11 0
1 0 0
Tr ( )
E
n
0 22 0
0 1 0
1
1
0
0
0
0
1
33
Tr ( ) 11 22 33
E
Tr ( )
Tr ( ) Tr ( ) 11 22 33
1 2
E
Tr( )
n
n
Ι
1
1 2
1 0 0
I 0 1 0
0 0 1

12.

Связь между напряжением и деформацией
0 12 13
t G 21 0 23 2G t
0
31 32
В изотропном теле
G = E/2(1 + )
E
Tr( )
Ι
1
1 2
1
Tr( )
Ι
E
E

13.

Связь между напряжением и деформацией
ij Cijkl kl
Закон Гука, анизотропное тело
Тензор упругих постоянных
Cijkl 81 компонента
Сijkl С jikl , Сijkl С jilk , Сijkl Сlkji
21 независимая компонента
11 1
12, 21 6
13, 31 5
23, 32 4
С1122 С12
С1123 С14
C11
C21
C
Cij 31
C41
C
51
C
61
C12
C22
C32
C42
C52
C62
C13
C23
C33
C43
C53
C63
C14
C24
C34
C44
C54
C64
C15
C25
C35
C45
C55
C65
C16
C26
C36
C46
C56
C66

14.

Кубические кристаллы
Изотропные тела
Di ij E j eijk jk
Пьезоэлектрики
Тензор
пьезоэлектрических
постоянных
ij
Ui
2
t
x j
2
Ei
xi
С11, С12 и С44
С44= 0,5 (С11 + С12)
ij Cijkl ( E ) kl ekij Ek
Волны
Uj
2
t
2
Uk
Cijkl
ekij
xi xl
xi xk
divD 0
2
Uk
eikl
xi x j
xi xl
2
ij
2
2

15.

Фононные возбуждения в твердом теле.
2
2M
( R ) [ N ( R ) U ( R )] ( R ) E ( R )

16.

Квазичастицы
Твердое тело сложная система, состоящая из
сильно
взаимодействующих
частиц
электронов и ионов. Квантово-механическое
описание
движения
и
энергетических
параметров этих взаимодействующих друг с
другом частиц представляет значительные
трудности из-за огромного количества этих
частиц.
Для преодоления сложностей, возникающих
при
описании
большого
количества
взаимодействующих
частиц,
была
предложена
концепция
квазичастиц.
В
основе этой концепции лежит попытка
описать твердое тело в виде суммы
независимых друг от друга согласованных

17.

Колебательные свойства кристаллов
M·d2 un /dt2 = - f ·( un - un-1) + f ·( un+1 - un)
M·d2 un /dt2 = f ·( un+1 + un-1 - 2 ·un)
u(x,t)=A·exp(i(kx- t))
x = an
un=A·exp(i(kan- t))
-M 2 = - f ·{2 - exp(-ika) - exp(ika)} =
- 2 ·f ·{1- cos(ka)} = 4·f ·sin2(ka/2)
2 =4·( f / M) ·sin2(ka/2), -> = max ·|sin(ka/2)|
max =2·( f / M)1/2

18.

Колебательные свойства кристаллов
Квазичастицы фононы
= max ·|sin(ka/2)|
= 2 /k
min = 2a
max =
k`= k + 2 m/a
un`=A exp(i(k`an- t)) =A exp(i(k an- t)) exp(i2 mn) = un

19.

Колебательные свойства кристаллов
Узлы n заняты ионами с массой M, а узлы n` ионами
с массой m , так чтобы M > m.
Расстояние между одинаковыми ионами а.
Коэффициент квазиупругой силы между ионами
находящимися в узлах n и n` f1 , а между ионами n и
n`-1 f2.
f2
f1

20.

Колебательные свойства кристаллов
M·d2 un /dt2 = - f2 ·( un - un`-1) + f1 ·( un’ - un)
m·d2 un` /dt2 = - f2 ·( un` - un+1) + f1 ·( un - un`)
un = A exp(i(kan - t ))
un-1 = un exp(-ika)
un` = B exp(i(kan - t ))
un+1 = un exp(ika)
un` = (B /A) un
-A · ( 2 - ( f2 + f1 ) / M )= B· ( f1 + f2· exp(-ika))/ M
-B · ( 2 - ( f2 + f1 ) / m )= A · ( f1 + f2· exp(ika))/ m

21.

Колебательные свойства кристаллов
A / B =( f1+ f2· exp(-ika))/(( f2 + f1 ) - M 2 )
=(( f2 + f1 ) - m 2 )/( f1 + f2· exp(ika ))
Закон дисперсии
4 - {( f2 + f1 )( M + m)/( Mm)} 2 + 4 f2 f1 sin2(ka/2) = 0
пусть 02 = ( f2 + f1 )( M + m)/( Mm)
21,2 = ( 02/2)(1 {1 - 16( f2 f1 / 04 )sin2(ka/2)}1/2

22.

Колебательные свойства кристаллов
Введем обозначение
16( f2 f1 / 04) = 16 { Mm /( M + m)}2 { f2 f1/(f2 + f1 )2} = 2
21 = ( 02/2)(1 - {1 - 2sin2(ka/2)} 1/2)
22 = ( 02/2)(1 + {1 - 2sin2(ka/2)} 1/2)
- /a <k< /a
1(0) = 0; акустические фононы
1( /a) = ( 0/ 2)(1-(1- 2)1/2) 1/2
2(0) = 0; оптические фононы
2( /a) = ( 0/ 2)(1 + (1- 2)1/2) 1/2
2(0) = 0 > 2( /a) > 1( /a) > 1(0)

23.

Колебательные свойства кристаллов
В окрестности k=0
1 0,25 0 ka k
2 0(1 - ( ka)2/32)
21 = ( 02/2)(1 - {1 - 2sin2(ka/2)} 1/2)
22 = ( 02/2)(1 + {1 - 2sin2(ka/2)}1/2)
Характер колебаний
атомов при k 0
un / un’ = A / B =( f1 + f2· exp(-ika)) /(( f2 +f1 ) - M 2)
1 (0)=0
un / un’ = 1

24.

Колебательные свойства кристаллов
un / un’ = A / B =( f1 + f2· exp(-ika)) /(( f2 +f1 ) - M 2)
В окрестности k=0
2 = 0
02 = ( f2 + f1 )( M + m)/( Mm)
un / un’ =(f1 + f2) /((f2 +f1 )- M 02) =
(f1 + f2) /((f2 +f1 )- (f2 +f1 )( M + m)/( m)) =
=1/(1 - ( M + m)/ m) = - m/M
un M + un’ m = 0

25.

Колебательные свойства кристаллов
min = 2a
2( /a) = ( 0/ 2)(1 + (1- 2)1/2) 1/2
1( /a) = ( 0/ 2)(1-(1- 2)1/2) 1/2

26.

Увлечение электронов акустическими
фононами
Смещение иона U=U0·cos( t- kx)
Деформация dU/dx= U0k·sin( t- kx)
Появляются области сжатия и растяжения
Изменяется плотность заряда
Изменяется
Появляется
распределение
Электрическое поле
потенциала V и
E = -dV/dx
потенциальная
энергия эл-на. e
Бегущая эл. волна!!!
W(x) = - eV(x)

27.

Увлечение электронов акустическими
фононами
в металлах
бегущие со скоростью
звука «потенц. ямки»
в полупроводниках
бегущая со скоростью
звука модуляция Eg
Затухание акустической
волны

28.

Акустоэлектрический эффект
Заряды накапливаются на краях полупроводника
возникает эл. поле E
Поток фононов с энергией q и импульсом q/vзв
Поток энергии W=nq vзв q
Поток импульса p=W/ vзв =nq q
W(1 - dx)
W
Электроны получают импульс
Wdx / vзв <F>ne dx
<Fne>ne dx = eEne dx
dx
E= W/ enevзв = W/ vзв

29.

Акустоэлектрический эффект
Заряды накапливаются на краях полупроводника
возникает разность потенциалов
W
U Edx
L
vзв
0
L
Если замкнуть цепь, то пойдет ток
j U / L
W
vзв

30.

Усиление акустических волн
Акустическая волна + внешнее электрическое поле

31.

Дифракция света на акустических волнах
зв 200 МГц
+ 0,03
+ 0,02
+ 0,01
0,00
-0,01
l
радиан
c l
c зв
1 arcsin
n vзв
-0,02
-0,03
vзв 5.8 км / c
c 1
sin m sin 0 m
n зв
0 0
зв
зв
v зв
c 1
sin 1
n зв

32.

Дифракция света на акустических волнах
d зв
l зв
d
2 зв sin 0
c
n
c
2 0
зв n
l
зв
зв
v зв
c зв
nvзв