Частичные функции распределения

1.

Частичные функции распределения
ˆ N ( x1 ,...xN ),
xi {ri , pi } полная функция распределения
Воспользуемся для простоты нормировкой
'
s ( x1,... xs ) dxs 1...dxN ˆ N
'
dx ,...dx
1
1
dxs 1...dxN ˆ N
( N s)!
- s-частичные функции распределения
N
ˆ N 1.
(1)
( s 1,2,...)
определяют вероятность распределения по координатам и импульсам в
группе s неразличимых частиц.
-- нормировка
(2)
(3)
ns (r1 ,...rs ) dp1...dps s ( x1 ,...xs )
(4)
-- s-частичные координатные функции распределения
dr1...drs ns (r1,...rs )
N!
( N s )!
-- нормировка
(5)

2.

Полные функции
ˆ N и n N связаны соотношением
N
N ( r1 , p1 ,...rN , pN ) nN ( r1,...rN ) M ( p j )
(6)
j 1
M ( p)
– нормированное распределение Максвелла.
Аналогична связь ˆ s и ns :
s
s ( r1 , p1,...rs , pN ) ns ( r1,...rN ) M ( p j )
(7)
j 1
ns ( r1 ,...rs )
1
drs 1...drN nN ( r1 ,...rN )
( N s)!
nN ( r1 ,...rN )
ns ( r1 ,...rs )
1
exp U N ( r1 ,...rN ) / T
ZN
1
U N ( r1 ,... rN ) / T
dr
...
dr
e
s 1
N
Z N ( N s )!
(8)
(9)
(10)
Выделим в U N ( r1 ,...rN ) энергию взаимодействия первых s частиц:
U N ( r1 ,...rN ) U s ( r1,...rs ) U N s ( rs 1...rN r1,...rs )
(11)

3.

U N s ( rs 1...rN r1 ,...rs ) – энергия взаимодействия частиц s 1,... N
между собой и с частицами 1...s . Из (10):
e U s ( r1 ,...rs )/ T
U N s ( rs 1 ... rN r1 ,... rs )/ T
ns ( r1 ,...rs )
dr
...
dr
e
s 1
N
Z N ( N s )!
(12)
В приближении малой плотности:
dr
s 1
...drN e
U N s ( rs 1 ...rN r1 ,...rs )/T
ns (r1 ,...rs )
V
N s
N!
U s ( r1 ,...rs )/T
e
V s ( N s )!
,
VN
ZN
N!
(13)
(14)
s
N
(15)
s N
ns (r1 ,...rs ) e U s ( r1 ,...rs )/T ,
V
Трансляционная инвариантность: U s ( r1 a , ...rs a ) U s ( r1 , ...rs )
для любого a. Из (15):
ns ( r1 a ,...rs a ) ns ( r1 ,...rs )
(16)
Из (10) следует, что (16) справедливо в общем случае (не только
для газа малой плотности)

4.

Для s 1 равенство (16) показывает, что n1 (r ) const. Из (5):
N
откуда
dr
n
(
r
)
const
V
N
,
const
n,
11 1
1 (r , p) n M ( p ).
Положим в (16) s 2, a r2 :
n1 (r ) n,
n2 (r1 , r2 ) n2 (r1 r2 ),
V
(17)
2 (r1 , p1 , r2 , p2 ) n2 (r1 r2 ) M ( p1 ) M ( p2 ).
(18)

5.

s-частичные средние
N
p 2j
N
1
Hˆ
( rj1 rj2 )
2 j1 j2 1
j 1 2m
(19)
-- в этом выражении для функции Гамильтона первая сумма носит
одночастичный характер, вторая – двухчастичный. В общем случае sчастичная величина имеет вид
Fˆs
N
j1 j2 ... js 1
f s ( x j1 ,...x js ).
(20)
N!
( N s )!
слагаемых, каждое из которых дает одинаковый вклад в среднее
Сумма в (20) содержит
N ( N 1)...( N s 1)
Fˆs .
Выбирая для усреднение вклад с f s ( x1 ,...xs ), находим
Fˆs
'
N!
dx1...dx N f s ( x1 ,... xs ) N ( x1 ,... x N )
( N s )!
1
dx1...dxs f s ( x1 ,... xs ) dxs 1...dx N N ( x1 ,... x N )
( N s )!
(21)

6.

С учетом (1) окончательно получаем
Fˆs dx1...dxs f s ( x1 ,...xs ) s ( x1 ,...xs ).
(22)
Для функций, зависящих только от координат, это равенство приобретает
вид
(23)
Fˆ dr ...dr f (r ,...r ) n (r ,...r ).
s
1
s
s
1
s
s
1
s

7.

Выражение для средней энергии через частичные функции
Используя соотношения (22), (23), произведем усреднение функции
Гамильтона (19):
2
p
1
E Hˆ dr1dp1 1 1 ( r1 , p1 ) dr1dp1 dr2 dp2 ( r1 r2 ) 2 ( r1 , p1 , r2 , p2 ) (24)
2m
2
Из (17):
p12
p12
3NT
dr
dp
(
r
,
p
)
n
dr
dp
(
p
)
1 1 2m 1 1 1 1 1 2m M 1 2
(25)
– известное выражение для средней кинетической энергии.
Из (18):
1
‫