Лекция 13. Применение законов теплового излучения

1. Лекция 13

Сегодня: понедельник, 26 декабря 2016 г.
Тема: Применение законов
теплового излучения
13.1. Формула Планка;
13.2. Тепловые источники света;
13.3. Радиационная температура;
13.4. Цветовая температура;
13.5. Яркостная температура.

2.

13.1. Формула Планка
Правильное, согласующееся с опытными данными
выражение
для спектральной плотности излучательности абсолютно черного
тела было найдено в 1900 г. немецким физиком М. Планком. Для
этого ему пришлось отказаться от установившегося положения
классической физики, согласно которому энергия любой системы
может изменяться непрерывно, т. е. может принимать любые сколь
угодно близкие значения. Согласно выдвинутой Планком квантовой
гипотезе, атомные осцилляторы изучают энергию не непрерывно, а
определенными порциями — квантами, причем энергия кванта
пропорциональна частоте колебания:
0 h hc /
где ω 2πν и h / 2
h 6,62 10
34
Дж с
(13.1.1)
квант действия
34
1,054 10
Дж с

3.

Так как излучение испускается порциями, то энергия осциллятора ε
может принимать лишь определенные дискретные значения,
кратные целому числу элементарных порций энергии ε0:
ε = nhv (n = 1,2,3,…..)
0 h нельзя ниоткуда вывести,
То, что
это гениальная
догадка М. Планка!!!
Используя статистические методы и представления о квантовом
характере теплового излучения, М. Планк вывел для универсальной
функции Кирхгофа формулу
2
h
2 h /(kT )
,
c e
1
2
r ,T
(13.1.2)

4.

которая блестяще согласуется с экспериментальными данными по
распределению энергии в спектрах излучения абсолютно черного
тела во всем интервале частот от 0 до оо и при различных
температурах. Теоретический вывод этой формулы М. Планк
изложил 14 декабря 1900 г. на заседании Немецкого физического
общества. Этот день стал датой рождения квантовой физики.
1.Вывод формулы Рэлея-Джинса. В области малых частот, т. е. при
hv << kТ (энергия кванта очень мала по сравнению с энергией
теплового движения kТ), формула Планка (13.1.2) совпадает с
формулой Рэлея - Джинса (17.4.1). Для доказательства этого
разложим экспоненциальную функцию в ряд, ограничившись для
рассматриваемого случая двумя первыми членами:
e
h /(kT )
h
h
h /(kT )
1
, e
1
.
kT
kT

5.

Подставляя последнее выражение в формулу Планка (13.1.2),
найдем, что
2
2
2
2πν
r ,T
rν ,T 2 kT
c
т. е. получим формулу Рэлея - Джинса (17.4.1).
2.Вывод формулы Стефана - Больцмана. Т.к. Rе r ,T d ,
2
h
2
2
2 kT,
c h /(kT)
c
0
излучательность абсолютно черного тела (зависит только от температуры).то
подставив в нее формулу (13.1.2), получим
2
Re r ,T d
0
2
2
0
с
h
e
h /( kT )
1
d .
ведем безразмерную переменную x = hν/kT:
dx hd /(kT); d kTdx / h . Формула для Re преобразуется к
виду
2 k 4 4 x 3dx
4
(13.1.3)
R
T
T ,
e
x
0 e 1
c 2h3
4
3
5 4
2 k x dx 2 k
где
2 3 x
, так как
2 3
c h 0 e 1 15c h

6.

3
x dx
x
0 e 1
4
15
.
Таким образом, действительно формула
Планка позволяет получить закон Стефана — Больцмана (ср.
формулы (17.3.1) и (13.1.3)). Кроме того, подстановка числовых
значений k, с и h дает для постоянной Стефана - Больцмана
величину, хорошо согласующуюся с экспериментальными данными.
3. Закон смещения Вина получим с помощью формул (17.3.2) и
(13.1.2):
2
Откуда
r ,T
c
r
2 ,T
2 c h
5
1
e
hc /( kT )
1
,
hc hc /(kT )
e
r ,T
2 c 2h
kThc /(kT )
6 hc /(kT )
5 ,
(e
1) e
1
Значение λтах, при котором функция достигает
максимума,
найдем,
приравняв нулю эту производную. Тогда, введя х = hc/(kT λтах),
получим уравнение

7.

xex- 5(ex - 1) = 0
Решение
этого
трансцендентного
уравнения
методом
последовательных приближений дает х = 4,965. Следовательно, х =
hc/(kTλтах) = 4,965, откуда Tλтах = hc/(4,965k) = b т. е.
получили закон смещения Вина.
Из формулы Планка, зная универсальные постоянные h, k и с,
можно вычислить постоянные Стефана - Больцмана σ и Вина b. С
другой стороны, зная экспериментальные значения σ и b, можно
вычислить значения h и k (именно так и было впервые найдено
числовое значение постоянной Планка). Таким образом, формула
Планка не только хорошо согласуется с экспериментальными
данными, но и содержит в себе частные законы теплового
излучения, а также позволяет вычислить постоянные в законах
теплового излучения. Следовательно, формула Планка является
полным решением основной задачи теплового излучения,
поставленной Кирхгофом. Ее решение стало возможным лишь
благодаря революционной квантовой гипотезе Планка.

8.

9.

13.2. Тепловые источники света
Свечение раскаленных тел используется для создания источников
света, первые из которых — лампы накаливания и дуговые лампы
— были соответственно изобретены русскими учеными А. Н.
Лодыгиным в 1373 г. и П. Н. Яблочковым в 1376 г.
На первый взгляд кажется, что абсолютно черные тела должны быть
наилучшими тепловыми источниками света, так как их
спектральная плотность излучательности для любой длины волны
больше спектральной плотности излучательности нечерных тел,
взятых при одинаковой температуре. Однако оказывается, что для
некоторых тел, например вольфрама, обладающих селективностью
теплового излучения, доля энергии, приходящаяся на излучение в
видимой области спектра, значительно больше, чем для абсолютно
черного тела, нагретого до той же температуры. Поэтому вольфрам,
обладая еще и высокой температурой плавления, является
наилучшим материалом для изготовления нитей ламп.

10.

Коэффициент видимости
Рис.13.3. Кривая видимости.
Чувствительность
человеческого глаза к
различным
длинам
волн различна. При
дневном
зрении
наибольшая
чувствительность для
λ=556 нм (зеленая
линия).
Коэффициент видимости V(λ) существенно зависит от λ. Например,
излучение с λ1=556 нм и λ2=500 нм воспринимается глазом в виде
яркости относящихся как 1:0,323.
Если в качестве источника взять а.ч. тело, то по закону Вина:
0,002898 м K
T
5200 K
6
0,555 10 м
К.П.Д. для а.ч. тела при температуре равной 5000÷6000 К 14÷15 %.

11.

Важнейшими характеристиками источника света являются
спектральный состав его излучения и световая отдача. В лампах
накаливания используются вольфрамовая нить по двум причинам:
а) ее тугоплавкость и большая стойкость к распылению при
больших Т, б) световая отдача у вольфрамовой нити, в видимой
части спектра, значительно больше, чем у а.ч. тела, нагретого до
такой же Т.
Температура вольфрамовой нити в вакуумных лампах не должна
превышать 2450 К, поскольку при более высоких температурах
происходит ее сильное распыление. Максимум излучения при этой
температуре соответствует длине волны 1,1 мкм, т. е. очень далек
от максимума чувствительности человеческого глаза ( 0,55 мкм).
Наполнение баллонов ламп инертными газами (например, смесью
криптона и ксенона с добавлением азота) при давлении 50 кПа
позволяет увеличить температуру нити до 3000 К, что приводит к
улучшению спектрального состава излучения. Однако светоотдача
при этом не увеличивается, так как возникают дополнительные
потери энергии из-за теплообмена между нитью и газом вследствие

12.

теплопроводности и конвекции. Для уменьшения потерь энергии за
счет теплообмена и повышения светоотдачи газонаполненных ламп
нить изготовляют в виде спирали, отдельные витки которой
обогревают друг друга. При высокой температуре вокруг этой
спирали образуется неподвижный слой газа и исключается
теплообмен вследствие конвекции. Энергетический к. п. д. ламп
накаливания в настоящее время не превосходит 5 %.
Люминесцентные источники света обладают в два-три раза
большим К.П.Д.
ОПТИЧЕСКАЯ ПИРОМЕТРИЯ
Законы теплового излучения используются для измерения
температуры раскаленных и самосветящихся тел (например, звезд).
Методы
измерения
высоких
температур,
использующие
зависимость спектральной плотности излучательности или
интегральной
излучательности
(излучательности)
тел
от
температуры, называются оптической пирометрией. Приборы для
измерения температуры нагретых тел по интенсивности их
теплового излучения в оптическом диапазоне спектра называются

13.

пирометрами. В зависимости от того, какой закон теплового
излучения используется при измерении температуры тел, различают
радиационную, цветовую и яркостную температуры.
13.3. Радиационная температура
В данном случае регистрируется излучательность исследуемого
тела и по закону Стефана — Больцмана вычисляется его
радиационная температура:
Tp 4 RT /
Это такая температура абсолютно черного тела, при которой его
излучательность Re равна излучательности RT исследуемого тела.
Радиационная температура Тр тела всегда меньше его истинной
температуры Т. Для доказательства этого предположим, что
исследуемое тело является серым. Тогда, используя закон СтефанаБольцмана и выражение для излучательности серого тела, можно

14.

записать
RTc AT Re AT T 4 .
С другой стороны
c
RT
4
Tр
Из сравнения этих выражений вытекает, что
Т р Т 4 АТ
Так как АТ < 1, то Тр < T, т.е. истинная температура тела всегда
выше радиационной.
Для измерений используется радиационный пирометр.

15.

A
Sii
B
mA
Радиационный пирометр
AB – светящаяся поверхность S – тела;
Si – крестообразная пластинка из платиновой
фольги с зачернённой поверхностью.
В пластинке термопара.

16.

Шкала миллиамперметра градуируется по излучению а.ч. тела
прямо в К. Поэтому для произвольного излучателя определяется так
называемая радиационная или энергетическая Т.
13.4. Цветовая температура
Для серых тел (или тел, близких к ним по свойствам) спектральная
плотность излучательности
R ,T AT r ,T ,
где АT = const < 1. Следовательно, распределение энергии в спектре
излучения серого тела такое же, как и в спектре абсолютно черного
тела, имеющего ту же температуру. Поэтому к серым телам
применим закон Вина, т. е., зная длину волны λтах, соответствующую максимальной спектральной плотности излучательности Rλ,T
исследуемого тела, можно определить его температуру
Т ц b / max ,

17.

которая называется цветовой температурой. Для серых тел цветовая
температура совпадает с истинной. Для тел, которые сильно
отличаются от серых (например, обладающих селективным
поглощением), понятие цветовой температуры теряет смысл. Таким
способом определяется температура на поверхности Солнца (Tц
6500 К) и звезд.
13.5. Яркостная температура
Яркостная температура Тя — температура абсолютно черного тела,
при которой для определенной длины волны его спектральная
плотность излучательности равна спектральной плотности
излучательности исследуемого тела, т. е.
r ,T R ,T ,
я
где Т — истинная температура тела. По закону Кирхгофа, для
исследуемого тела при длине волны λ

18.

R ,T / A ,T r ,T ,
или, учитывая предыдущее выражение A
,T r ,T / r ,T .
r ,T r ,T и,
Так как для нечерных тел А < 1, то
я
я
следовательно, Тя < Т, т. е. (истинная температура тела всегда выше
яркостной.
В качестве яркостного пирометра обычно используется пирометр с
исчезающей нитью. Накал нити пирометра подбирается таким,
чтобы выполнялось условие
A ,T r ,T / r ,T .
я
В данном случае изображение нити пирометра становится
неразличимым на фоне поверхности раскаленного тела, т. е. нить
как бы «исчезает». Используя проградуированный по абсолютно
черному телу миллиамперметр, можно определить яркостную
температуру.

19.

Нагретое тело
Нить накала
Фильтр
Г
Пирометр с исчезающей нитью

20.

Зная поглощательную способность Аλ,Т
тела при той же длине
волны, по яркостной температуре можно определить истинную.
Переписав формулу Планка в виде
ñ
2 c h
1
2 r ,T
hñ/(k Tÿ )
5
e
1
2
r ,T
и учитывая это в
A ,T r ,T / r ,T ,
получим
я
A ,T (e
hc /( k T )
1) /(e
hc /( k Tя )
1)
т. е. при известных Аλ,Т и λ можно определить истинную
температуру исследуемого тела.