Похожие презентации:
Матрицы и определители
1. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Программа подготовки бакалавров по направлению «Экономика»
Кафедра Экономики и управленияМАТРИЦЫ
И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Программа подготовки бакалавров по направлению
«Экономика»
Хамидуллин Р.Я.
Заведующий кафедрой ВМ и ЕНД
2.
Определитель – это число,которое вычисляется по формулам,
схемам и правилам.
Обозначается:
D
A
det A
3.
Определителем первого порядка матрицыA (a11)
называется число
То есть:
A a11 a11
a11
4.
Определителем второго порядканазывается число, которое
определяется по правилу:
a11
a12
a21 a22
a11 a22 a12 a 21
5.
Определителем третьего порядканазывается число, которое
определяется по правилу:
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32
a31 a32 a33
a13 a22 a31 a12 a21 a33 a11 a23 a32
6.
Для вычисления определителей третьего порядкаудобно пользоваться правилом треугольников:
7.
Вычислить определители матриц:1 2
A
3 5
1 1 1
B 2 1 1
1 1 2
8.
A1
2
3 5
1 5 ( 3) 2 11
1 1 1
B 2
1
1
1
1
2
1 1 2 ( 1) 1 1 1 2 1 1 1 1 ( 1) 2 2 1 1 1 5
9.
3 2 12 0 2
2 1 1
Минором M элемента a ijопределителя D
ij
называется такой новый определитель,
полученный из данного определителя
вычеркиванием строки и столбца,
на пересечении которых стоит
данный элемент.
Минор элемента определителя
обозначается как
M ij
a ij
10.
Алгебраическим дополнениемэлемента аij определителя D
называется минор Mij этого элемента,
умноженный на (-1)s , где S=i+j- сумме
индексов i+j.
Обозначают: Aij
Aij ( 1) M ij
S
S i j
11.
В частности, минор элементаa11
определителя третьего порядка найдется по
правилу:
a11
a12
a13
a21 a22
a23
a31
a33
a32
M 11
Его алгебраическое дополнение:
1 1
A11 ( 1) M11 M11
a22
a23
a32
a33
12.
1Определитель транспонированной
матрицы равен определителю
исходной матрицы.
A A
T
13.
Например:1 1 1
B 2
1
1 5
1
1
2
1
2 1
BT 1 1 1 2 2 1 1 4 1 5
1
1 2
14.
2При перестановке двух строк
или столбцов определитель
изменит свой знак на
противоположный.
15.
Например:1 1 1
B 2
1
1 5
1
1
2
Меняем местами первую и вторую строки:
2
1
1
1 1 1 4 1 1 1 2 2 5
1
1
2
16.
3Если определитель имеет две
одинаковые строки или столбца,
то он равен нулю.
17.
Например:1 1 3
2
2
2 4 4 12 12 4 4 0
2
2
2
18.
4Общий множитель строки или
столбца можно выносить за знак
определителя.
19.
Например:1 1 1
2
2
2 4 2 2 2 4 2 4
1
1
2
Выносим из второй строки множитель 2:
1 1 1
1 1 1
2
2 2 2 1 1
1 2 (2 1 1 1 2 1) 2 2 4
1
1 2
2
1 1
20.
5Определитель не изменится, если
к элементам одной строки или столбца
прибавить соответственные элементы
другой строки или столбца,
умноженные на одно и то же число.
21.
Например:1 1 1
B 2
1
1 5
1
1
2
Первую строку умножаем на 2 и складываем
со второй:
1 1 1
4 1 3 2 3 4 1 8 3 5
1
1
2
22.
6Треугольный определитель, у которого
все элементы, лежащие выше (или ниже)
главной диагонали- нули, равен
произведению элементов
главной диагонали.
23.
Например:= 3·3·3=27
24.
7Определитель равен сумме
произведений элементов какойлибо строки или столбца на их
алгебраические дополнения:
n
A ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ... ain Ain aik Aik
k 1
25.
Вычислить определитель:1
2
3
4
1
2
3
1
0
1
1
0
2
3
4
1
26.
Раскладываем определитель по третьейстроке:
1 2 3 4
1 2 3 1
0 1 1 0
0 A31 1 A32 1 A33 0 A34 A32 A33
2 3 4 1
Находим алгебраические дополнения:
=
27.
1 3 4A32 ( 1) 3 2 M 32 1 3 1 (3 6 16 24 3 4) 6
2 4 1
1 2 4
A33 ( 1)
3 3
M 33 1 2 1 2 4 12 16 2 3 3
2 3 1
Подставляем полученный результат:
=
6 ( 3) 3
28.
Вывод:Способы вычисления определителя.
29.
11. Определители второго и третьего
порядка вычисляют по схемам.
30.
2. Определитель можно вычислитьс помощью его разложения по элементам
строки или столбца (свойство 7).
31.
33. Определитель можно вычислить
способом приведения его
к треугольному виду.
32.
Этот способ основан на том, чтопо свойству 6,
треугольный определитель равен
произведению элементов главной
диагонали.
33.
Чтобы получить треугольныйопределитель, надо, по свойству 5
к какой-либо строке или столбцу
определителя
34.
прибавить соответствующие элементыдругой строки или столбца, умноженные
на одно и тоже число, до тех пор,
пока не придем к определителю
треугольного вида.
35.
Вычислить определитель:36.
Практикум 2.1 Определители1. Вычислить определители:
10 14
1 4
a)
; б)
;
6 21
3 2
1. 2. Вычислить определители третьего порядка разными способами(треугольников,
полосочками и по свойству 6)
1
2
5
2 3 4
a) 5 2 1 ; б) 3 4 7 ;
3 12 15
1 2 3
1. 3. Вычислить определители, используя разложение по 1 строке или 2-му столбцу,
свойства определителей:
0 5 2 0
2 1 3 1
8 3 5 4
1 1 2 4
; б)
;
a)
7 2 4 1
3 2 1 3
0 4 1 0
5 2 1 2
37.
Практикум 2.2 ОпределителиВычислить
значение
определителя
различными
способами
(разложение по 2 строке, 2 столбцу и приведением к треугольному виду)
2 3 4 5
5
4
2
3
для матрицы A
.
4 5 3 2
3 2 5 4
1 2
2 5
3
7
1
4
2. Вычислить определитель матрицы: A
- любой
5 9
2 7
1 2
4 6
способ
3 1
3. Вычислить определители матриц (любой способ): а)
;
4
6
2 3 4 5
1 6 3
3
4
5
2
;
6
1
2
в)
б)
;
4 5 2 3
3
2 1
5 2 3 4
1.