Задачи на оптимизацию

1.

2.

СВОЙСТВО
Если непрерывная на промежутке
функция имеет единственную
точку экстремума х0, то в случае
максимума значение f(х0) –
наибольшее на этом промежутке,
а в случае минимума – значение
f(х0) - наименьшее.

3.

③
Объяснение нового материала.
Задачи на
оптимизацию
(от лат. optimum –
«наилучший») – задачи,
которые возникают там,
где необходимо
выяснить как с
помощью имеющихся
средств достичь
наилучшего результата.

4.

Большую часть своих
усилий человек тратит
на поиск наилучшего,
оптимального
решения поставленной
задачи.

5.

С такими задачами в
наше время
приходится иметь
дело
представителям
самых разных
специальностей.
Задачи подобного рода носят общее название – задачи
на оптимизацию (от латинского слова optimum –
“наилучший”).

6.

Экономисты стараются спланировать
связи завода с источниками сырья
так, чтобы транспортные расходы
оказались минимальными, и т.д.
Задачи подобного рода носят общее название – задачи на
оптимизацию (от латинского слова optimum – “наилучший”).

7.

Технологи – стараются так
организовать производство, чтобы
выпускалось как можно больше
продукции.
Задачи подобного рода носят общее название – задачи на
оптимизацию (от латинского слова optimum – “наилучший”).

8.

Конструкторы пытаются разработать
прибор для космического корабля
так, чтобы масса прибора была
наименьшей.
Задачи подобного рода носят общее название – задачи на
оптимизацию (от латинского слова optimum – “наилучший”).

9.

В самых простых задачах на
оптимизацию мы имеем дело с
двумя величинами, одна из
которых зависит от другой,
причём надо найти такое значение
второй величины, при котором
первая принимает своё
наименьшее или наибольшее
(наилучшее в данных условиях)
значение.

10.

Метод поиска наименьших
наибольших значений функции
применим к решению разнообразных
прикладных задач.
Для решения таких задач используют важный практический
вывод:
Если непрерывная на промежутке функция имеет единственную
точку экстремума хо, то в случае максимума значение f(х0)наибольшее на этом промежутке, а в случае минимума значение
f(х0)- наименьшее.

11.

Задачи на оптимизацию решают
по обычной схеме
1.
Составление математической
модели;
2.
Работа с моделью;
3.
Ответ на вопрос задачи.

12.

Памятка по решению
задач на оптимизацию
I этап. Составление математической модели.
Составляется математическая модель задачи. Здесь часто успех задачи
зависит от разумного выбора независимой переменной. Важно,
чтобы нетрудно было выразить у через х.
II этап. Работа с составленной моделью.
Составленная модель исследуется с помощью производной. В момент
такого исследования сюжет самой задачи нас не интересует.
III этап. Ответ на вопрос задачи.
В рамках составленной модели, полученный результат интерпретируется
для исходной задачи.

13.

④
Решение задач. Разбор.
Рассмотрим следующую задачу.
Периметр прямоугольника равен 40см. Какую
длину должны иметь стороны прямоугольника,
чтобы площадь была наибольшей?
I этап. Составление математической модели.
Выбираем независимую переменную х и выражаем через неё
стороны прямоугольника. х см – длина прямоугольника, (20-х)
см – ширина прямоугольника.
Записываем функцию f(x) =x·(20-x) =20x – x2;
II этап. Работа с составленной моделью.
Находим производную f ' (x) = 20-2x; решаем уравнение 20-2х=0.
х=10.
III этап. Ответ на вопрос задачи.
+
10
Значит, длина и ширина равны 10 см.
S (10) = 10 (20-10) =10·10 =100 см2.
mах
Ответ: 10 см.

14.

Число 24 представить в виде суммы
двух неотрицательных слагаемых так,
чтобы сумма квадратов этих чисел была
наименьшей.
• I этап. Составление математической модели.
Пусть х одно из слагаемых и 24-х –другое.
Сумма квадратов этих чисел f(х)=х2+(24-х)2.
II этап. Работа с составленной моделью.
Найдем наименьшее значение этой функции.
f`(х)=2х+2(24-х)(-1)=2х-48+2х=4х-48.
4х-48=0;
х=12.
• III этап. Ответ на вопрос задачи.
12
+
min
В точке 12 значение функции наименьшее.
Значит сумма квадратов чисел наименьшая, если эти числа
Ответ: 12,12.
равны 12 и 24-12=12.

15.

Однажды в разговоре П. Л. Чебышев
заметил: “В старину математические
задачи задавали боги, например,
удвоение куба, по поводу изменения
Делосского жертвенника.
Далее наступил второй период, когда
задачи задавали полубоги: Ньютон,
Эйлер, Лагранж.
Теперь третий период, когда задачи
задает практика”