Методы решения логарифмических уравнений

1. методы решения логарифмических уравнений

2. Основные методы решений логарифмических уравнений

3. Определение

Логарифмом положительного числа b по
основанию a, где a>0, a 1 , называется
показатель степени, в которую надо
возвести a, чтобы получить b.

4. 1. Использование определения логарифма.

ОДЗ:
x>4

5. 2. Метод потенцирования.

Пример 2.
lg ( x – 9 ) = lg (4x + 3)
2
x – 9 = 4x + 3
x – 4x – 12 = 0
2
2
x 6
x 2
x= –2 - не входит в ОДЗ
Ответ: 6.
3
x 4
4 x 3 0 x 3
2
ОДЗ: x 9 0
x 3
x>3

6. 3. Введение новой переменной.

Пример 3.
log x – 2log x – 3 = 0
2
4
4
ОДЗ: x > 0
Пусть log x = t
t – 2t – 3 = 0
4
2
t 3
t 1
log 4 x 3
log 4 x 1
Ответ:
1
4;
64.
x 64
x 1
4

7. 4. Приведение логарифмов к одному основанию.

Формулы перехода:
log c b
1) log a b = log a
c
1
2) log a b = log a
b
Пример 4.
log 3 x – 6log x 3 = 1
log 3 x –
6
log 3 x
ОДЗ: x > 0, x 1
=1
Пусть log 3 x = t
t – 6t = 1
t2 – t – 6 = 0
t 2
t 3
log 3 x 2
log 3 x 3
1
Ответ: 9 ; 27.
1
x
9
x 27

8. 5. Метод логарифмирования.

Пример 5.
x log x = 64x
2
ОДЗ: x > 0
логарифмируем обе части уравнения по основанию 2
log 2 x log x = log 2 64x
log 2 x log 2 x = log 2 64x
log 22 x = log 2 64 + log 2 x
log 22 x – log 2 x – 6 = 0
2
Пусть log 2 x = t
t2– t – 6 = 0
t 2
t 3
1
Ответ: 4 ; 8.
log 2 x 2
log 2 x 3
1
x
4
x 8

9. 6.

Применение формулы
a logc b = b log c a
Пример 6.
9
log 3 lg x
= 2lg x + 3
x 0
ОДЗ: lg x 0
x 0
x 1
x>1
(lg x) log3 9 = 2lg x + 3
lg 2 x – 2lg x – 3 = 0
Пусть lg x = t
t 2 – 2t – 3 = 0
lg x 1
t 1
lg x 3
t 3
x 0,1
x 1000
x = 0,1- не входит в ОДЗ

10.

Учитель высшей категории Сильченкова С.Н.,
г.Белый Тверской обл.