Решение логарифмических уравнений

1. Решение логарифмических уравнений

2.

log a (bc) log a b log a c
b
log a
c
log a b log a c
log a b r log a b
r
log a r b
1
log a b
r
log c b
log a b
log c a

3. Определение:

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком
логарифма или в основании логарифма
называются логарифмическими.
log a f ( x) b
log f ( x ) b a

4. Решение простейшего логарифмического уравнения основано на применении определения логарифма и решении равносильного уравнения

Решение простейшего логарифмического уравнения
log a f ( x) b, где a 0, a 1
основано на применении определения логарифма и
решении равносильного уравнения
f ( x) a
log 2 3 x 5 4
b
Пример 1.
3x 5 2
4
3 x 16 5
3 x 21
x 7
Ответ : 7

5.

Решить самостоятельно
1. log 3 4 x 1 4
2. log 1 2 5 x 5
2
3. lg 2 x 6 1
4. log
3
x
1
6
2
5. log 2 x 3 x 2
2
Ответы :
1. 20
2. 6
3. 8
4. 3
5. 1; 4

6. Метод потенцирования

• Под потенцированием понимается переход от
равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не
содержащему их:
если
log a f ( x) log a g ( x)
то
f ( x) g ( x)
решив полученное равенство, следует сделать
проверку корней на одно из условий
f ( x) 0 или
g ( x) 0

7.

Пример :
log 7 (3 x 4) log 7 (5 x 8)
3 x 4 0
5 x 8 0
3x 4 5 x 8
3x 5 x 8 4
2x 4
x 2
Проверка :
3 (-2) 4 0 - неверно
5 (-2) 8 0 - неверно
Ответ : нет решений

8. Решить самостоятельно

1. log 7 4 x 3 log 7 5 2 x
2. log 0, 2 2 x 8 log 0, 2 6 5 x
3. lg x x lg 4 x 4
2
Ответы :
1. 4
2. нет решений
3. 4

9. Применение свойств логарифма

• Если перед логарифмом находится
множитель, то он вносится в логарифм в
степень
• Сумма (разность логарифмов)
заменяется на логарифм произведения
(частного). ОДЗ определяется для
начального вида уравнения.
• Если уравнение содержит только одно
выражение с переменной, то ОДЗ можно
не определять.

10. Пример

5 2 0 неверно
5 3 0 неверно
1 ( 5) 0 верно
Ответ: -1
1 2 0 верно
1 3 0 верно
1 ( 1) 0 верно

11. Пример

log 3 5( x 1) log 3 25
5( x 1) 25
5 x 5 25
5 x 20
x 4
Ответ: х=4

12. Пример

log 2 4 x log 2 2 x 2
4 x 0
2 x 0
log 2 4 x log 2 2 x 2
4 x
2
2 x
4 x
4
2 x
4 x 8 4x
log 2
5x 4
x 0,8
4 0,8 0 верно
2 0,8 0 верно
Ответ : 0,8

13. Пример

log 2 ( 2 x 4) 2 log 2 ( x 3) 2
2 x 4 0
x 3 0
log 2 ( 2 x 4) log 2 ( x 3) 2 2
2x 4
log 2
2
2
x 3
2x 4
2
2
x 3 2
2x 4
4
2
x 3
2x 4
4 0
2
x 3
2 x 4 4 x 3
0
2
x 3
2
2 x 4 4 x 3 0
2
..................................
x1 4
x2 2,5
Проверка
2 4 4 0 верно
4 3 0 верно
2 2,5 4 0 верно
2,5 3 0 неверно
Ответ : 4

14.

Метод введения новой переменной
A log x B log a x C 0
2
a
log a x t
At 2 Bt C 0
...
log a x t1 x a t1
log a x t 2 x a t2
Замечания
log a x B log a x
B
log x A log x
2
a
A
2
2
a

15.

log x 5 log 3 x 6 0
2
3
log 3 x t
t 5t 6 0
2
t1 3, t 2 2
1) log 3 x 3
x 3 27
3
2) log 3 x 2
x 32 9
Ответ : 9;27.

16. Если в уравнении содержатся логарифмы с разными основаниями, то прежде всего следует свести все логарифмы к одному основанию,

используя формулы перехода
log c b
1
1
log a b
; log a b
; log a r b log a b
log c a
log b a
r
Пример :
log 2 x 2 log 1 x 9;
2
log 2 x 2 log 2 1 x 9;
log 2 x 2 log 2 x 9;
3 log 2 x 9;
log 2 x 3;
Ответ : x 8

17.

Пример:
log 2 x log 4 x log 0,5 x 3 9
log 2 x log 22 x log 2 1 x 3 9
1
log 2 x log 2 x 3 log 2 x 9
2
1
log 2 x(1 3) 9
2
log 2 x 4,5 9
log 2 x 9 : 4,5
log 2 x 2
x 2 2
1
x
4

18. Системы уравнений, содержащие степени и логарифмы

Пример
x y 7 0
log x 1 2
3 y
x y 7 0
x 1
9
y
x y 7 0
x 1 9 y
......................
x 8
y 1
52 x 5 y 1 25
4x 3y 1
52 x y 1 52
4 x 3 y 1
2 x y 1 2
4x 3y 1
......................
x 1
y 1

19. Подготовиться к самостоятельной работе

1. log 4 6 2 x 2
2. log 2 x 2 x log 2 2 x 3
2
3. log 5 x log 25 x log 0, 2 x 5
4. log 3 2 x 3 log 3 4 x 3 4
5. log 2 x log 2 x 3 0
2
4

20. Ответы

1.
2.
3.
4.
5.
-5
3
25
3
2; 8
Домашнее задание:
Домашняя контрольная работа

21. Решение логарифмических неравенств

Ответ:
1. [2; )
log 3 5 x 1 2
4
2. ;20
log 4 3 x 4 3
3
log 0.5 2 3 x 2
2
3. ( ; ]
3
log 0.25 3 x 8 1
log 2 x 3 x 2
2
log 3 x 2 x 1
2
log 2 6 x 30 log 2 4 x 12
log 0,3 4 x 8 log 0,3 16 2 x
8
4. ; 4
3
5. ; 4 1;
6. [ 1;0) (2;3]
7. 21;
8. [4; 8)

22. Подготовка к контрольной работе

1.