Линейная алгебра. Плоскость в пространстве. (Часть 11)

1.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Оренбургский государственный университет»
Кафедра прикладной математики
И.Г. Руцкова
Электронный курс лекций «Линейная алгебра»,
часть 11
Оренбург 2016

2.

M x; y ; z
M 0 M x x0 ; y y0 ; z z0 M 0 M n
n ,M 0 M 0
А x x0 B y y0 C z z0 0
Пример 1.
M 0 1;7;3 ;
n 2;3;5
2 x 1 3 y 7 5 z 3 0,
2 x 2 3 y 21 5z 15 0,
2 x 3 y 5z 38 0

3.

А x x0 B y y0 C z z0 0
n ,M 0 M 0 n , r r0 0,
n , r n ,r0 0
x cos y cos z cos p 0

4.

M x; y ; z
M 0 M
M 0 M , a , b - компланарны
M 0M a b 0
x x0
m1
m2
Пример 2.
M 0 0;1;2 ,
a 1;3;2 ,
b 2;5;4
x 0
1
2
y y0
n1
n2
z z0
p1 0
p2
y 1 z 2
3
2 0,
5
4
r r0 a b 0
12 x 5 z 2 4 y 1 6 z 2 10 x 4 y 1 0,
12 x 5z 10 4 y 4 6 z 12 10 x 4 y 4 0,
2x z 2 0

5.

M 0 M1 ,
x x1
x2 x1
x3 x1
a M1M 2 , b M1M 3 .
y y1
y2 y1
y3 y1
z z1
z 2 z1 0
z3 z1
r r1 r2 r1 r3 r1 0,
Пример 3.
M1 0;8;3 ,
M 2 1;2;4 ,
M 3 5;7;1 .
x 0 y 8 z 3
1 0 2 8 4 3 0,
5 0 7 8 1 3
x y 8 z 3
1 6
1 0,
5
1
2
12 x z 3 5 y 8 30 z 3 2 y 8 x 0,
13 x 3 y 31z 3 40 117 0

6.

Общее уравнение плоскости в пространстве
Ax By Cz D 0, A, B ,C R
Доказательство
M1 x1 ; y1 ; z1 , M 2 x2 ; y2 ; z2 ,
(11)
M1M 2 x2 x1; y2 y1; z2 z1 ,
n ,M1M 2 A x2 x1 B y2 y1 C z2 z1 Ax2 By2 Cz 2 Ax1 By1 Cz1
M1
Ax1 By1 Cz1 D 0,
M 2 Ax2 By2 Cz 2 D 0,
n ,M1M 2 D D 0,
Ax1 By1 Cz1 D ,
Ax2 By2 Cz 2 D;
n A; B;C M1M 2 , M1 ,M 2

7.

Нормальный вектор к плоскости
n 2; 3;5

8.

Уравнение плоскости «в отрезках»
Ax By Cz D 0,
Ax By Cz D ,
a
D
D
D
, b , c ,
A
B
C
Пример 5.
A 0, B 0, C 0, D 0
Ax By Cz
1,
D D D
x
y
z
1,
D
D
D
A
B
C
x
y
z
1
a
b
c
2 x 3 y 6 z 12 0,
2 x 3 y 6 z 12,
2x 3 y 6z
1,
12 12 12
x
y
z
1
6 4 2

9.

Взаимное расположение плоскостей в пространстве
1 :
A1x B1 y C1z D1 0,
A12
2 :
A2 x B2 y C2 z D2 0,
A22
1 || 2
1 2
n1 || n2
1 2 n1 n2
B12
B22
C12
C22
0,
0,
n1 A1 , B1 , C1 1 ,
n2 A2 , B2 , C2 2 .
A1 B1 C1
;
A2 B2 C2
A1 B1 C1 D1
A2 B2 C2 D2
n1 ,n2 0 A1 A2 B1B2 C1C2 0
cos
n1 ,n2
| n1 | | n2 |
,