Математика. Управление социальными системами. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

1.

Математика
Управление
социальными системами
Системы линейных
алгебраических уравнений
(СЛАУ)
1

2.

ПРАВИЛО КРАМЕРА
Системой линейных алгебраических уравнений,
состоящей из двух уравнений с двумя неизвестными x и y,
называется система вида:
a11 x a12 y b1
a21 x a22 y b2 ,
(1)
2

3.

ПРАВИЛО КРАМЕРА
a11 a12
Матрица A
называется матрицей системы (1);
a 21 a 22
b1
Вектор b называется столбцом свободных членов
b2
системы (1),
х
Вектор х столбцом неизвестных.
у
3

4.

ПРАВИЛО КРАМЕРА
Теорема 1 (правило Крамера). Если определитель матрицы системы
(1) не равен нулю, то система (1) имеет единственное решение,
вычисляемое по формулам:
где
определители, полученные из
столбцом свободных членов .
заменой его j-го столбца
4

5.

ПРАВИЛО КРАМЕРА
5

6.

ПРАВИЛО КРАМЕРА
Системой линейных алгебраических уравнений, состоящей из трех
уравнений с тремя неизвестными x, y и z, называется система вида:
где
a ij , bi i , j 1, 2 , 3
– некоторые постоянные действительные числа.
6

7.

ПРАВИЛО КРАМЕРА
7

8.

ПРАВИЛО КРАМЕРА
8

9.

ПРАВИЛО КРАМЕРА
9

10.

ПРАВИЛО КРАМЕРА
10

11.

Системы линейных алгебраических уравнений
О п р е д е л е н и е. Системой линейных алгебраических
уравнений, состоящей из m уравнений с n неизвестными
х1,…,хn, называется система вида:
a11 x1 a1n x n b1
a x a x b
21 1
2n n
2
a m1 x1 a mn x n bm ,
где a11,…,amn, b1,…,bm некоторые числа.
(1)
11

12.

Системы линейных алгебраических уравнений
x1
Введем
x вектор–столбец неизвестных,
x
b1
n
b вектор-столбец свободных членов,
b
m
a11 a1n
a 21 a 2 n
A
матрица системы.
a
a
mn
m1
12

13.

Системы линейных алгебраических уравнений
Тогда система (1) может быть записана в векторной форме:
А x b
(2)
Если b1=0,….,bm=0, то система называется линейной однородной.
Однородная система в векторной форме имеет вид
А x 0
Система (2) называется линейной неоднородной системой.
13

14.

ПРИМЕРЫ
П р и м е р 1. Для системы:
2 x 3 y z 5
x y 5z 3
4 x 7 z 7
указать матрицу системы А и столбец свободных членов b
Записать систему в векторной форме.
14

15.

ПРИМЕРЫ
Р е ш е н и е. Обозначим столбец неизвестных :
x
x y
z
Тогда матрица А рассматриваемой системы составляется из числовых
коэффициентов, стоящих в системе при неизвестных:
2 3 1
A 1 1 5
4 0 7
15

16.

ПРИМЕРЫ
Столбец
b составляется из свободных членов системы:
5
b 3
7
Поэтому систему можно переписать в векторной форме:
A x b
О т в е т:
2 3 1
5
A 1 1 5 b 3
4 0 7
7
A x b
16

17.

Системы линейных алгебраических уравнений
О п р е д е л е н и е. Расширенной матрицей системы (1) называется матрица,
обозначаемая A b
и полученная приписыванием к матрице А справа после
вертикальной черты столбца
b
.
a11 x1 a1n x n b1
a x a x b
21 1
2n n
2
a m1 x1 a mn x n bm ,
17

18.

Системы линейных алгебраических уравнений
О п р е д е л е н и е. Решением системы (2) A x b называется
любой n- мерный вектор x , подстановка которого в систему дает
тождество.
О п р е д е л е н и е. Система называется совместной, если она имеет
хотя бы одно решение. В противном случае система называется
несовместной.
18

19.

Системы линейных алгебраических уравнений
Т е о р е м а 1. (Кронекера – Капелли). Система (1)
a11 x1 a1n x n b1
a x a x b
21 1
2n n
2
a m1 x1 a mn x n bm ,
совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу
расширенной матрицы, то есть:
r A r A b .
При этом если r A n, то система имеет единственное решение;
если r A n, то система имеет бесконечное множество решений (n –число
неизвестных).
19

20.

ПРИМЕРЫ
П р и м е р 2. Исследовать на совместность систему:
x 2z 1
3 x y 1
4 x y 2 z 1.
Р е ш е н и е.
x
x y
z
1 0 2
1
А 3 1 0 , b 1
4 1 2
1
20

21.

ПРИМЕРЫ
Приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду:
Следовательно: r
A 2,
r A b 3
О т в е т: система несовместна.
и
r A r A b .
21

22.

Метод Гаусса
Определение. Две системы, множества решений которых совпадают,
называются равносильными.
Теорема. 2. Применение к расширенной матрице системы
элементарных преобразований приводит к равносильной системе.
Метод Гаусса основан на приведении расширенной матрицы
системы к ступенчатому виду Гаусса и решению полученной системы.
22

23.

Метод Гаусса
Шаги метода Гаусса рассмотрим на примере.
Пример 1.
23

24.

Метод Гаусса
I. Привести расширенную матрицу к ступенчатому виду.
1 3 5 5 5
A/ b 2 5 8 9 9
1 2 3 4 4
1 3 5 5 5
0 1 2 1 1
0 1 2 1 1
( 2) ( 1)
1 3 5 5 5
0 1 2 1 1
0 0 0 0 0
24

25.

Метод Гаусса
1 3 5 5 5
0 1 2 1 1
0 0 0 0 0
II. Проверить совместность системы.
Если