Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

1. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

2.

a11x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1
a x a x a x ... a x b
21 2 22 2 23 3
2n n
2
..........
..........
..........
..........
..........
.....
am1 x1 am 2 x2 am3 x3 ... amn xn bm

3.

• Здесь
x1 , x2 ,..., xn - неизвестные;
aij - коэффициенты при неизвестных,
где
i - номер уравнения,
j - номер неизвестного;
bi - свободные члены (правые части).

4.

• Система наз. неоднородной, если
не все bi равны нулю.
Система наз. однородной, если все
bi равны нулю.

5.

• Матрица системы
a11 a12 a13
a21 a22 a23
A
... ... ...
am1 am 2 am 3
... a1n
... a2 n
... ...
... amn

6. Расширенная матрица

a11 a12
a21 a22
A
... ...
am1 am 2
...
...
...
...
a1n
a2 n
...
amn
b1
b2
...
bm

7.

Решением системы будем называть
упорядоченный набор чисел
x1 , x2 ,..., xn
обращающий каждое уравнение
системы в верное равенство.

8.

Решить систему — значит найти
все ее решения или доказать, что ни
одного решения нет.
Система, имеющая хотя бы одно
решение, называется совместной.
Если система имеет только одно
решение, то она называется
определенной.

9.

Если система не имеет решений, то
она называется несовместной.
Система, имеющая более чем одно
решение, называется неопределенной
(совместной и неопределенной).
Если число уравнений системы
совпадает с числом неизвестных , то
система называется квадратной.

10.

Две системы, множества решений
которых совпадают, называются
эквивалентными или равносильными.
Преобразование, применение которого
превращает систему в новую
систему, эквивалентную исходной,
называется эквивалентным или
равносильным преобразованием.

11. Метод Гаусса

12.

Рассмотрим квадратную систему:
x1 x2 3x3 2 x4 11;
4 x 6 x x
1;
1
2
3
3
x
2
x
2
x
x
3
;
1
2
3
4
5 x1 x2 2 x3 x4 2.

13.

Исходную систему можно представить в
виде таблицы:
(-5)
(-4)
(-3)
1
1
3
2
11
4 6 1 0 1
3 2 2 1 3
1 2
5 1 2

14.

1
0
0
0
3
1
10 13
5 7
4 13
11
2
8 45 (-1) (-2)
7 30 2
9 53 5

15.

1
0
0
0
1
3
10 13
0
1
0 39
2
11
8 45
6 15
29 175

16.

1
0
0
0
2 11
3
1
10 13 8 45
6 15
1
0
0 205 410
0

17.

Полученная матрица соответствует системе:
x1 x2 3x3 2 x4 11;
10 x 13x 8 x 45;
2
3
4
x
6
x
15
;
3
4
205 x4 410.

18. Матричный метод

19.

• С помощью этого метода можно
решать квадратные системы
линейных уравнений

20.

a11x1 a12 x2 a13 x3 ... a1n xn b1
a x a x a x ... a x b
21 2
22 2
23 3
2n n
2
..........
..........
..........
..........
..........
.....
an1 x1 an 2 x2 an 3 x3 ... ann xn bn

21.

• Систему можно записать в виде
A X B
где
a11
a21
A
...
an1
a12 a13
a22 a23
... ...
an 2 an 3
...
...
...
...
a1n
a2 n
...
ann

22.

x1
x2
X
...
xn
b1
b2
B
...
bn

23.

• Если матрица
A невырожденная, то
можно выполнить преобразования
A A X A B
1
1
X A B
1

24. Метод Крамера

25.

• Если определитель системы n
линейных уравнений с n
неизвестными отличен от нуля, то
эта система является определенной
и её единственное решение
находится по формуле

26.

i
xi

27.

a11
a21
...
an1
a12
a22
...
an 2
... a1n
... a2 n
... ...
... ann

28.

Здесь
i
– определитель,
получающийся из определителя
заменой i-го столбца столбцом
свободных членов.

29.

x1
A11 A21
x2 1 A12 A22
... ... ...
x
A
A
n
1n
2n
...
...
...
...
An1 b1
An 2 b2
...
...
Ann bn

30.

A11 b1 A21 b2 ... An1 bn
x1
b1
b2
...
bn
a12
a22
...
an 2
... a1n
... a2 n
A11 b1 A21 b2 ... An1 bn
... ...
... ann

31.

• Если 0 и по крайне мере один из
определителей i 0, то система не
имеет решения.
• Если 0 и i 0 , система либо
не имеет решения, либо имеет
бесконечно много решений.

32. Т е о р е м а К р о н е к е р а - К а п е л л и

Теорема
Кронекера-Капелли
m
Для того чтобы система
неоднородных линейных уравнений
с
неизвестными была совместной,
необходимо и достаточно, чтобы
n
r A r A

33.

• Замечание. Пусть система совместна и
r A r A k
- если число уравнений равно числу
неизвестных, то система имеет
единственное решение;
- если число уравнений меньше числа
неизвестных, то система имеет
множество решение.

34. Однородные системы

a11x1 a12 x2 ... a1n xn 0,
a x a x ... a x 0,
21 1
22 2
2n n
..........
..........
..........
..........
.....
am1 x1 am 2 x2 ... amn xn 0.

35. Теорема о совместности однородной системы

Для того чтобы однородная система
линейных уравнений имела решение,
необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы этой системы был меньше числа
неизвестных n.